1、2.5.2 微分公式与法则,2.5.3 微分在近似计算中的应用,第五节,2.5.1 微分的定义,函数的微分,第五节,函数的微分,学习重点,微分的意义与近似计算,计算函数的微分,一、微分的概念,引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,边长由,其,的微分,定义: 若函数,在点 的增量可表示为,( A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理: 函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,定理 : 函数,证: “必要性”,已知,在点 可微 ,则,故,
2、在点 的可导,且,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,定理 : 函数,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点 的可导,则,一般形式,基本微分公式与基本导数公式一一对应,微分的四则运算法则,导数运算,微分运算,结论：,微分形式的不变性,微分形式的不变性,例2,解,在括号中填入适当的函数，使等式成立,例3,解,例4,解,在括号中填入适当的函数，使等式成立,复合函数的微分,例5 求椭圆 在点 处的切线方程。,解 将方程两边同时微分，得,可得,所以切线斜率为,所以，所求切线方程为,即,利用微分的形式不变性求隐函数的导数更为方便。,微分的几何意义,在点M的附近
3、， 可以用切线段近似代替曲线段。,以直代曲,微分在近似计算中的应用,使用原则:,以直 代曲,常用近似公式:,很小),比较直接开方的结果,误差小于0 .001,例如：,例6 计算 的近似值，精确到0.01。,解 令,则,所以,例7,解,例8. 有一批半径为1cm 的球 ,为了提高球面的光洁度,解: 已知球体体积为,镀铜体积为 V 在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,( g ),用铜多少克 .,估计一下, 每只球需,要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm ,小结,微分学所要解决的两类问题:,函数的变化率问题,函数的近计算似问题,微分的概念,导数的概念,求导数与微分的方法，叫做微分法.,研究微分法与导数理论及其应用的科学，做微分学.,导数与微分的联系:,1.,5. 设,由方程,确定,解:,方程两边求微分,得,当,时,由上式得,求,则,导数与微分的区别:,练 习 题,
