1、2008年度北京市教育科学研究参评论文-刘静类别： 编号： 题目：“猜想”的课堂教学模式 内容提要：在数学教学中，教师如何发挥主导地位，利用有限的数学课堂教学培养学生的猜想能力呢？本文提出了有利于提高学生猜想能力的数学课堂教学模式，并从教师的主导作用的角度对此模式进行了说明，包括五个方面的内容：创设好的问题情境；鼓励学生提出猜想；教给学生猜想的方法；对学生提出的猜想延迟判断；培养学生的反思习惯。主题词：猜想、数学猜想、猜想的课堂教学模式 “猜想”的课堂教学模式一问题的提出猜想是根据某些已知的事实材料与数学知识，通过理论思维的能动作用对未知量及其关系所作出的一种猜测性推断。猜想是一种重要的思维方
2、式，不仅对于数学发展有着巨大的作用，而且对培养学生的创新能力具有十分重要的意义。 猜想意识、猜想能力不是与生俱来的，是从学习过程中逐步形成和提高的，是一个长期的过程，那么，在数学教学中，教师如何发挥主导地位，利用有限的数学课堂培养学生的猜想能力呢？本文提出了有利于提高学生猜想能力的数学课堂教学模式。二 “猜想”的课堂教学模式建构主义认为，载有数学新知识的信息，以各种渠道传递给学生，作为认识主体的学生接受到数学信息时，首先对新的信息进行识别、辨认，在原有的认知结构中进行搜索，在辨认、检索中，运用类比、归纳、分析、论证等方法，形成对信息的一个猜想，它要回答这样的问题，即新的信息与原有的认知结构是否
3、有非人为的本质联系，如认为有，则把新的信息纳入到已有的认知结构中，但同化过程并没有完成，因为仅仅是猜想，其可靠性还没有得到首肯，反映为学生对新的信息认识模糊，因此还有一个检验这个猜想是否适应客观事实的过程，由于信息的不断增加，这个猜想被认为较可靠，则检验结束，如认为不可靠，猜想被推翻，则要重新建立猜想，再进行检验，这样同化基本完成。下面结合教学实践,笔者尝试提出猜想的课堂教学模式(图1)。在这一过程中，学生的原有知识水平、原有知识结构、智力水平、观察能力、比较能力、分析能力等对于其能否作出合理的猜想也发挥着重要的作用。本文仅从教师主导作用的角度，提出了教师在这一教学模式下的活动流程（图2） ，
4、作为对这一课堂教学模式的说明。猜想的课堂教学模式：观察比较直觉联想实验类比归纳问题情境提出猜想正确证明不正确举反例反思(图 1)此模式是从学生的角度，以时间为顺序，以学生经历的活动为线索展开的，学生对问题情境经过观察、比较、直觉、联想、实验、类比、归纳等思维活动，对于所面临的问题的可能结果提出猜想，并设法验证其猜想，正确的猜想要有合乎逻辑的证明，不正确的猜想要举出反例说明，最后反思提出猜想及探索、验证的过程。它可以是一节课的整堂教学模式，也可以是一节课的某一片断教学模式，这个模式也是我们 “问题解决”的一种模式，但它更多的是借助猜想来寻找并证明问题的答案的。虽然该模型是以学生的活动为线索，但实
5、际包含教师和学生的双边活动，在这一过程中，教师是活动的设计者和组织者，学生是活动的主体，他们角色不同，分工不同，但又互相促进相互影响。教师的主导作用非常重要，在教师的主导作用下让学生的主体地位得到充分的发挥。所以这一模式主要取决于教师对活动的控制和把握，因此以下从教师的角度，教师在这一模式中如何发挥主导作用，教师的主要活动流程对以上的模式给予说明。教师的主要活动流程：创设问题情境帮助学生梳理已有的知识结构，引导学生观察、比较、实验等必要时组织讨论鼓励学生提出猜想对学生提出的猜想延迟判断，组织学生讨论交流帮助学生突破证明猜想过程中的障碍交给学生反思的方法，培养学生良好的反思习惯(图 2)以下结合
6、自己的教学案例，对此流程的关键环节给予具体说明，也是教师如何利用课堂教学培养学生猜想能力的具体的措施。（一） 创设好的问题情境：任何猜想都源于问题，是对问题回答的猜测，然而并非所有的问题都适合培养学生的猜想能力，所以对问题情境的选择是很重要的，好的问题情境能够为学生提供较广阔的探索空间，能够激发学生求知的欲望，给学生创造一个具有合理的自由度的思维空间,使学生可能导致发现,充分的调动学生的观察、比较、实验、类比、归纳等活动，使其思维处于积极活跃的状态。教师要根据内容的需要选择好的问题情境。在课堂上，如何提出好的问题情境呢？1首先，教师课前可以围绕“重要概念、重要定理、重要结论”的得出精心设计问题
7、情境。 以立体几何为例，在教学中“重要概念”如线线角、线面角、二面角、正棱锥、球面距离等；“重要定理”如线面平行的判定定理、线面平行的性质定理、面面平行的判定定理、面面平行的性质定理、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理、三垂线定理等；“重要结论”如正棱柱的性质、正棱锥的性质，课本上例习题等都可以设计问题给学生猜想的机会，让学生经历“猜想”的过程，代替结论的直接抛出。2现行教材中的大部分习题仍然是在给定结论的基础上提出问题，这样可供猜想的空间十分有限。我们可以将课本例题或习题进行适当变化，改变题目的条件或结论有意识地将常规性习题演化成一些没有明确结论，或没有确定形式和方法的问题。例1在三垂线
8、定理这一节有一道比较典型的例题， （人教版第二册下AP26）例3，课本上是以证明的形式出现的， “求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在直线上。 ”我们在给学生讲时就可以换一种问法， “如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么你能判断这一点在平面内的射影在什么位置吗？” 在此问题的解决过程中学生通常能够根据直觉，猜想出结论，老师追问“为什么？”师生共同寻找证明方法。这个问题解决完了，老师可以接着追问“类比这个问题你还能提出新的问题吗？能否改变条件使得射影仍然在这个角的平分线上” 。3除了课前精心设计问题情境，教师在课堂教学过程中也
9、可以捕捉好的问题情境，引导学生抓住意外的机遇，注意不同寻常的现象，用审视的眼光对待传统的、固有的认识，及时地发现和提出问题。例2，以正棱锥的概念为例，给出正棱锥的定义之后，学生讨论完正棱锥的性质，有一个学生举手提问：“老师，侧棱都相等的棱锥是正棱锥吗？”，其他学生举出了反例给出了“不一定是”的答案。老师抓住学生提出的这个问题，问“正棱锥有侧棱都相等的性质，但侧棱都相等的棱锥是正棱锥就不成立了。你还能提出类似的假命题吗？能给出证明吗？”学生提出了以下的假命题：侧棱与底面成角相等的棱锥是正棱锥；侧面与底面成角相等的棱锥是正棱锥；侧面是等腰三角形的棱锥是正棱锥等，并共同讨论验证了它们都是假命题。这不
10、是老师刻意安排的问题情境，但老师抓住了课上学生提出的问题，并以此为契机引导学生进行了类比猜想，不仅渗透了猜想的意识，而且培养了学生提出问题的意识，教师在课堂上要善于捕捉学生提出的问题，发挥主导作用，引导学生进行讨论。（二） 教给学生猜想的方法学生要有能力提出较合理的猜想，需要掌握一些基本的提出猜想的方法，这就离不开教师通过课堂教学的直接或间接的渗透。教师要通过具体问题情境的解决，引导学生经历观察、比较、直觉、联想、实验、类比、归纳等思维活动，获得合理的猜想，HFEDC1B1A1CBA避免胡思乱想和胡乱猜想。以下通过一些具体案例对如何通过课堂教学，利用具体问题的解决过程交给学生猜想的方法给予说明
11、。1 通过直觉、比较提出猜想直觉思维是人脑对客观世界及其关系的一种非常直接的识别或猜想的心理状态.创造心理学表明:猜想的来源是直觉思维. 数学直觉思维是对数学对象的直接领悟和洞察，它是一种不包含普通逻辑推理过程的直接悟性。例3直三棱柱ABC-A 1B1C1的侧棱和底面边长都是a，截面AB1C和截面A 1BC1相交于D、E两点，求三棱锥B 1-DBE的体积。 在求B 1到面DBE的距离时，过B 1作B 1H 平面DBE于H，H点的位置如何确定是解决问题的关键。通过分析已知条件，观察图形，由图形的对称性，则可以猜想H可能位于 A1BC1的中线BF上，于是，可先作B 1H BF于H，再证明B 1H
12、平面DBE。在这个问题的解决过程中，观察、分析、比较图形的特点，为我们添加辅助线提供了思路，先猜想再证明有利于我们对解题方法的探索。2 通过观察与实验提出猜想数学发现的一个重要手法就是观察与实验，为了探索问题的结论，我们常常可以根据问题的条件进行实验，通过量一量、比一比、试一试等实验活动，从中发现其变化规律，提出合理的猜想.在三垂线定理的教学中，教师提出问题：平面的一条斜线不能和平面内的所有直线垂直，它会和平面内具有什么特点的直线垂直呢？同学们用笔摆一摆，你有什么发现？学生通过动手实验，做出猜想，平面内的直线如果和平面的斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。你能证明你的猜想吗？学生不难做出证
13、明。通过实验直接观察得到结论.其中实验的过程，有时就是提出猜想结论的过程.当然要确信猜想的真实性，还需进一步做出理论上的证明. 3 通过类比提出猜想类比就是根据两个对象或两类事物的属性相同或相似,由一类事物的属性猜测另一类事物属性也可能具有相同或相似的属性。类比可以帮助我们发现问题,寻求解题思路。类比是一种重要思维方法,教学中应突出其在发展学生联想性思维和发现性思维中的作用。类比变大量的记忆为联想型思维,变机械枯燥的数学为演绎快乐的数学,对减轻学生负担,提高效率,培养学生的科学素养与人文精神十分有益。例 4.三棱锥 S-ABC,三条侧棱两两垂直,长度测得分别为a,b,c,我们可以得到哪些结论?
14、学生通过分析得到结论:1)对棱两两垂直2)S 在底面射影是底面垂心3) ABC 三边可求,三内角可求4)可证明 ABC 为锐角三角形5)三侧面面积易求，底面积可求至此学生得到一些比较明显的结论，接下去不知该做什么，此时老师做适当引导， “此例垂直关系比较多，这是三维空间中的垂直关系，在二维平面中，由直角三角形中的两个垂直关系，可以得到射影定理那么漂亮的结论。我们能否把二者类比？”复习平面几何中直角三角形的射影定理类比到侧棱两两垂直的三棱锥中得到如下结论：ABCHSAC2BABCHSA2cSAB22S2C22h1cba1其中 h 为三棱锥的高SABC如果没有类比我们很难发现如此多的结论，在这里结
15、论的发现比结论的证明显得更为重要。BASC 4 通过归纳提出猜想归纳推理是指通过对特例或事物的一部分进行观察与综合进而发现和提出一般性结论或规律的过程，是通过揭露对象的部分属性，过渡到对象整体属性的思维过程。我们可通过所探讨问题的部分对象进行研究分析，找出蕴含在部分对象之中的共同特征，然后加以归纳，猜想该问题的一般结论或方法。例5：平面内有n（n 2）条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求这n条直线的交点个数f(n)f(2)=1,f(3)=1+2,f(4)=1+2+3,f(5)=1+2+3+4,由这几种特殊情形，猜想一般情形，f(n)=1+2+3+n-1= ,再用数学归纳法予以证明
16、。)1n(这是一道课本例题的改编题，让学生经历结论的探索过程，用归纳法猜想出结论，对于学生解决问题的能力也是很好的训练。总之，教师在课堂教学中上，无论是新授课还是习题课，要利用适当的问题适时地交给学生猜想的方法，通过一定的训练，必然会转化为学生自觉地行为。 “没有大胆的猜想就没有伟大的发现”，我要说，没有合理的猜想方法，就做不出大胆的合理猜想。（三） 鼓励学生提出猜想：课堂上学生的表现除智力因素外，还有情感因素。对于“猜想”教师的鼓励是非常重要的，鼓励学生积极思考，不迷信已有结论，不满足现成解答，大胆猜想。并在学生提出合理猜想时给予及时肯定和大力表扬;在学生提出的猜想偏向了或有错误的时候进行引
17、导和鼓励，让他们知道猜想错误是正常的，否则猜想何必还需论证的道理，以保护他们猜想的积极性;在学生懒于进行猜想的时候做些鼓动和“利诱”。教师要尊重学生、对学生的回答作出肯定的、鼓励性的评价，并为学生创造思维的自由空间和表达的机会,只有这样学生才能表现出有寻根问底大声询问的倾向,才能乐意把自己发现的东西告诉他人,才能敢于对不同意见哪怕权威的观点提出挑战。但我们不能鼓励学生的胡思乱想，对于某些学生的胡乱猜想教师必须予以纠正。（四） 对学生提出的猜想延迟判断思维过程需要思考的时间，在学生提出猜想之后，教师不要急于做出判断，还要留给学生自由的思维空间对做出的猜想进行验证。验证的过程是一个执果索因的过程，
18、过程本身可能还要求提出新的假设猜想，是一个再猜想再验证的过程，这个过程学生可能能够对自己提出的猜想做出判断。所以教师不要急于打断学生的思维，更不能代替学生的思维过程直接给出判断。可以让学生对他提出的猜想予以证明，老师可以经常问学生“为什么？能证明吗？”这样的问题。等待学生，给学生思考的时间，你能够发现学生的智慧，学生也会因此而收获成功的喜悦。（五） 培养学生的反思习惯反思是问题解决的一个关键环节，教师要及时指导学生对猜想提出的过程与证明思路的探索进行回顾与反思。及时将其纳入(或重建)学生的认知结构中,并及时归纳某些技巧提高为思想方法,然后变换条件,产生新的猜想情境,对结论进一步深化、延拓、扩展
19、,将“猜想”模式看成一个动态的循环的过程。“猜想”的教学模式中，教师的主导作用发挥着至关重要的作用，以上提出了五点内容可供借鉴。教学是一个长期的过程，对学生猜想能力的培养不可能一蹴而就，此模式对提高学生猜想能力的效果的定量分析是我们需要进一步研究的问题。但是如果我们教师能够在教学中应用前述的教学模式，利用以上的教学观念，持之以恒，必然会在提高学生的猜想能力方面发挥作用。参考文献：1陈水平合情推理在数学学习建构中的作用 数学教育学报 1998.82郑毓信如何培养学生的猜想和直觉能力中学数学教学参考 2000.13李学安数学教学中如何培养学生的创新能力科学时代综合版2007.114教育部.全日制普通高中数学教学大纲(试验修订版).北京:人民教育出版社,20005张惠良提出数学猜想的一些途径 数学教学研究 2005.3
