1、分 类 号： O224 密 级： 学校代码： 10638 学 号： 307070104013 硕 士 学 位 论 文向量优化问题的最优性条件的一些研究姓 名 蒋 娅 指 导 教 师 李 军 教授 培 养 单 位 数学与信息学院 学 科 专 业 应用数学 研 究 方 向 优化理论及应用 申请学位类别 理学硕士 论文提交日期 二一年四月 论文答辩日期 二一年六月 西华师范大学学位评定委员会四川南充二一年六月Some Research on Optimality Conditions of Vector Optimization Problems A Dissertation Submitted t
2、o the Graduate Faculty In Partial Fulfillment of the Requirement For the Degree of Master of Natural ScienceByJIANG Ya Supervised byProfessor Li JunMajor inApplied MathematicsInDepartment of Mathematics and InformationChina West Normal UniversityNanchong, Sichuan Province, ChinaJune, 2010目 录摘 要 IABS
3、TRACT.II主要符号对照表 V第 1 章 前 言 .11.1 本课题 研究的学术背景 11.2 本课题的国内外研究现状 21.2.1 广义凸性的研究现状 21.2.解的有效性的研究现状 21.2.3 最优性条件的研究现状 31.3 本文的主要内容 4第 2 章 锥约束向量最优化问题的 弱有效解的一些充分条件 .52.1 预备知识 52.2 最优性充分条件 .6第 3 章 无穷维向量优化问题的弱 PARETO 最优解的充分条件 93.1 预备知识 93.2 最优性充 分条件 .10第 4 章 一类集值映射向量优化问题的最优性条件 134.1 预备知识 .134.2 最优性条件 .15第 5
4、章 结论与展望 .185.1 主要研究结论 .185.2 研究展望 .18参考文献 .19致 谢 I关于学位论文使用授权的声明 .II关于学位论文原创性的声明 III在学期间的科研情况 .IV摘 要在给定条件下，同时要求多个目标达到最优的问题，称为多目标规划问题或向量极值问题，也称向量优化问题.它是一门新兴的应用数学的分支.近二、三十年来，随着科学技术的不断进步，它被广泛地应用于国民经济的各个部门和科学技术的各个领域中.向量优化问题的最优性条件一直是最优化理论研究中十分重要的课题而对于最优化问题中的各种解的最优性条件的研究，则更是许多学者关注的焦点自从 Hanson 提出不变凸的概念以后，凸性
5、条件得到不断的推广,从而使最优化理论可以在非常一般的条件下建立起来本文主要研究了向量优化问题的弱有效解和弱 Pareto 最优解的一些充分条件，并在序线性空间中讨论了集值向量优化问题的最优性条件，推广了已有文献中的一些相应结果全文共分五章，主要工作如下：在第一章中，介绍了向量优化问题的学术背景及国内外研究现状，并介绍了本文的主要内容在第二章中，在实赋范线性空间中，利用几类广义凸性概念，获得了一类锥约束向量最优化问题的弱有效解的一些充分条件在第三章中，在无穷维空间中，用 -不变凸来代替 -凸，得到了无穷维向量最优化问题的弱 Pareto 最优解的一些充分条件在第四章中，在序线性空间中，首先引入了
6、次似凸集值映射的概念，然后利用择一性定理，获得了弱有效解意义下的集值映射向量优化问题的最优性条件在第五章中，对本文的主要研究工作加以总结归纳，并提出了研究展望关键词： -拟凸； -伪凸； -不变凸； -伪不变凸； -拟不变凸；HK弱有效解；弱 Pareto 最优解；最优性充分条件AbstractA multi-objective programming problem or vector extremum problem, also called vector optimization problem, is a problem that requires multiple objective
7、s to achieve optimal problem at the same time under some given conditions. It is an emerging branch of applied mathematics. In the past two or three decades, with the continuous progress of science and technology, it has been widely applied in various sectors of national economy and science and tech
8、nology in various fields. An optimality condition of vector optimization problems has been a very important topic. For a variety of optimization problems in the optimal solution conditions, it has been the focus of attention of many scholars. Since Hanson proposed the concept of invariant convex, th
9、e convexity conditions have been extended continuously, so that optimization theory can be established in very general cases.In this dissertation, some sufficient conditions of weakly pareto optimality solutions and weakly efficient solutions for vector optimization problems (vp) are investigated, a
10、nd then the optimality sufficient and necessary conditions for set-valued vector optimization problems are proved in ordered linear spaces, these results extend some corresponding results in the literature.The main results of this dissertation consist of the following five parts: In Chapter 1, we re
11、call the background and the development of vector optimization problems, and introduce the main content and the significance of the investigation.In Chapter 2, under some assumptions of generalized convexity, the author obtains several sufficient conditions of weakly efficient solutions for vector o
12、ptimization problems with cone constraints in the real normed spaces.In Chapter 3, by replacing -vexity with -inconvexity, we obtain several sufficient conditions of weakly pareto optimal solutions for vector optimization problems in infinite dimensional spaces.In Chapter 4, by using a alternative t
13、heorem, the subconvexlike set-valued maps are introduced to investigate the optimality sufficient and necessary conditions of weakly efficient solutions for set-valued vector optimization problems in ordered linear spaces.In Chapter 5, the main research work in this paper is summarized and research
14、prospects are presented.Key words:H-pseudoconvexity；H-quasiconvexity;K-invexity； -pseudo-inconvex；-quasi-in convexity；Weakly efficient solution；Weakly pareto solutions； Optimality conditions主要符号对照表符号 中文含义 英文含义conv 凸包 Convex hullcone 锥包 Cone hullcor 代数内部 Algebraic interioricr 相对代数内部 Relative algebrai
15、c interiorint 内部 Interiorvp 向量优化问题 Vector optimization problem存在 Exist任意 For all第 1 章 前 言1.1 本课题研究的学术背景人们在处理日常生活、生产过程、经营管理、社会发展等实际问题的时候，总是希望获得最佳的处理结果，获取最佳处理结果的问题就称为最优化问题在给定条件下，同时要求多个目标都尽可能达到最优的问题，称为多目标最优化问题研究多目标最优化问题的学科称为多目标最优化或多目标规划问题，也称为向量优化问题追求最优化目标是自然界发展的一种普遍规律，也是每个人的理想，是促进社会不断进步的动力最优化方法就是从所有可能的
16、方案中选择最合理的一种方案以达到最优目标的一门学科它是近二、三十年来迅速发展起来的一门新兴学科随着现代化生产的发展和科学技术的不断进步，向量优化问题日益受到人们的重视，并被广泛应用于经济规划、管理规划、城市与工农业规划、金融决策、工程设计、卫生保健及军事管理等各个领域，这构成了向量优化的应用背景Franklin 在 1772 年就提出了如何协调多目标规划中的矛盾问题，意大利著名经济学家 Pareto 于 1896 年在福利经济学的框架中引入了 Pareto 最优性这个概念，从此以后，Pareto 最优性，特别是它与竞争平衡的关系被许多经济学家用来进行广泛的研究自 Pareto 正式提出多目标最
17、优化问题到 Johnsen 做出系统的总结，前后大约共经历了六、七十年的时间众所周知，1951 年，Koopmans 从数量经济学角度对多目标最优化做了大量的工作同年，Kuhn 和 Tucker 对向量极值问题的研究为这一学科的建立奠定了重要的基础1958 年，Hurwicz 又将向量优化问题推广到拓扑向量空间，这使得最优化理论和方法被大多数学者广泛接受，并陆续投入到这一领域中进行研究 随着科学技术尤其是电子计算机技术的不断发展，我们对向量优化理论和方法的探索也不断深入，从而使得其应用范围也变得越来越广泛，对向量优化问题的研究，引起了国际上越来越多的人的关注和重视，研究队伍得到不断的壮大从 1
18、972 年至今，共先后召开了十多届关于向量优化问题和多目标决策优化问题的国际性学术会议如今，向量优化理论和方法更是不断向各门学科和各个领域进行广泛、深入的渗透1.2 本课题的国内外研究状况1.2.1 广义凸性的研究状况关于函数凸性的研究是最优化理论的一个重要分支，它在最优化理论中起着重要的作用从 1960 开始，从事凸性研究的学者不断增多，并获得了许多重要的有意义的结果凸函数的种类多种多样，如拟凸函数、伪凸函数、不变凸函数、伪不变凸函数、类凸函数、弧式凸函数、似凸函数、次似凸函数、 -凸E函数、 -凸函数、 -凸函数、 ( )-凸函数等将函数的凸性推广到广义凸F,F性是目前运筹学研究方向的一个
19、重要课题，因此，对于广义凸性的研究也受到了越来越多的学者的关注，并取得了大量的成果1986 年，Jeyakumar 在1空间中提出了次似凸向量值函数的概念；1988 年，刘三阳 利用 Hanson 定nR 2义的 H-凸、H-拟凸、H-伪凸概念，在任意维实赋范线性空间中给出了向量优化问题的两组弱对偶定理、强对偶定理和严格逆对偶定理；1989 年，李声杰 利3用 Avriel 提出的广义弧凸函数的概念，研究了广义弧凸映射和有效解的 Kuhn-Tucker 条件； 1990 年，李泽民 在序线性拓扑空间中定义了次似凸向量值函数，4并在该定义下获得了择一性定理；1996 年，卢力 在 Banach
20、空间中定义了广5义 -不变凸等广义凸性概念，并探讨了 Banach 空间中向量优化问题弱有效解的 K-T 型充分条件； 1999 年，Youness 在 空间中提出了 -凸集， -凸函6nRE数，并讨论了 -凸规划问题的最优性结果； 2000 年，黄永伟 在序线性拓扑空E 7间中，证明了广义次似凸集值映射的一个择一性定理，并利用该定理获得了集值映射向量优化问题的最优性条件；2002 年，张秀芳 在 Contingent 切锥意义8下定义了 Banach 空间中的伪切锥和伪凸性的概念，并讨论了其相应的性质1.2.解的有效性的研究现状1951 年，Koopmans 明确提出了 Pareto 有效解
21、；1959 年，Karlin 又提出了弱有效解的概念这是有限维多目标规划问题中的两种常见的解而锥有效解则是无限维多目标规划中的一种常见的解1968 年，Geoffrion 提出了真有效解的概念，即 -有效解一般情况下 , -有效解集是 Pareto 有效解集的真子集，GG而当绝对最优解集非空时， -有效解集与 Pareto 有效解集相等；2002 年，Yang 在广义次似凸集值映射下，给出了 -有效解存在的必要条件； 1994 年，9 GLin 在锥凸集值映射下，讨论了标量化问题最优解与 -有效解之间的关系，10还给出了 -有效解存在的充要条件G1.2.3 最优性条件的研究现状众所周知，对于最
22、优性条件的讨论在最优化理论中占有十分重要的地位，从而成为了国内外许多专家、学者广泛研究的重要课题之一因此，对向量优化问题的最优性条件的研究也就有着越来越重要的意义，其中又以必要条件的结果较为丰富，可以说相对于充分条件的研究而言，前者较为容易，但是，有满足最优性必要条件的容许点未必是最优解，为此，我们必须建立某些准则，从而使得满足这些准则的容许点为最优解最优性条件的研究既能为算法提供理论基础，也与最优化的其他理论，如对偶理论、有效性理论、稳定性理论等有着紧密的联系同时，向量优化问题的最优性条件的研究还能揭示向量变分不等式与向量均衡问题的解的存在性之间的关系近年来，向量优化问题的最优性条件的研究也
23、取得了许多成果1989 年，刘三阳 研究了实赋范空间中的向量优化问题，利用广义凸性，讨论了 Fritz-24John 型条件和 Kuhn-Tucker 型条件，获得了弱有效解的必要条件；1999 年，刘先忠 对向量优化问题在不假定可微的情况下，得到了其存在严格局部有效解1的若干充分条件；2001 年，宋军 提出了集值映射的三种切上导数的概念，并12利用这些概念给出了弱有效解、强有效解的充要条件；同年，臧睿 通过引入13非光滑的伪不变凸函数，分别对有限维和无限维向量优化问题给出了弱有效解的充分条件在研究最优性条件的过程中，择一性定理起着桥梁作用，它是研究最优性条件的一种有利工具1996 年，Li
24、 通过在线性拓扑空间中建立择一性定理，14得出了无穷维可微向量极值问题的最优性条件；1999 年，Li 又在实线性空间15中建立了次似凸集值映射的择一性定理，获得了一些最优性条件；2000 年，Lin 在实线性拓扑空间中定义了弱次微分的概念，推广了集值映射的 Moreau-9Rockfellar 型和 Farkas-Minkowski 型择一性定理，得到了弱极小点存在的 K-T型必要条件；2005 年，龙宪军 在实拓扑向量空间中，利用择一性定理，获得16了关于近似锥次类凸集值映射向量优化问题的最优性充要条件近年来，对集值映射向量最优化问题的最优性条件的研究也取得了许多成果1995 年，李声杰讨
25、论了目标函数是集值映射的约束和无约束最优化问题，应用切导数，获得了 K-T 型必要条件；1999 年，李正民 在局部凸向量空间17中得到了 Fritz-John 型必要条件；2002 年，贾继红 将单值映射的弧连通凸概8念推广到集值映射，建立了择一性定理，获得了最优性必要条件；2006 年，胡资骏 利用序线性空间中关于次似凸集值映射的择一性定理，得出了具有广义19等式和不等式约束的向量极值问题的最优性条件；2007 年，王其林在拓扑向量空间中利用定义的广义次似凸集值映射建立了择一性定理，并利用该定理获得了带广义等式和不等式约束的优化问题的弱有效解的最优性条件1.3 本文的主要内容受以上工作的启
26、发，本文研究了锥约束向量最优化问题的弱有效解、无穷维向量最优化问题的弱 Pareto 最优解的一些充分条件，并研究了一类集值映射向量优化问题的最优性条件本文共分五章，按如下方式组织：第一章主要介绍了向量优化问题的学术背景及国内外研究现状，并介绍了本文研究的主要内容；在第二章中，在实赋范线性空间中利用几类广义凸性概念，获得了一类锥约束向量最优化问题的弱有效解的一些充分条件；在第三章中，在无穷维空间中用 -不变凸来代替 -凸，得到了无穷维向量最优化问题的弱 Pareto 最优解的一些充分条件；在第四章中，在序线性空间中首先引入了次似凸集值映射的概念，然后利用择一性定理，获得了弱有效解意义下的集值映
27、射向量优化问题的最优性条件；第五章主要对本文的主要研究工作加以总结归纳，并提出了研究展望第 2 章 锥约束向量最优化问题的弱有效解的一些充分条件对于向量 最 优 化 问 题 的 最 优 性 条 件 的 研 究 一 直 是 最 优 化 理 论 研 究 中十 分 重 要 的 课 题 而 对于最优化问题中的各种解的最优性条件的研究，则更是许多学者关注的焦点自从 Hanson 提出不变凸的概念以后，凸性条件得到20不断的推广，从而使最优化理论可以在非常一般的条件下建立起来近年来，集值优化问题已经取得很大的进展 本章在实赋范空间中,利用已有的31几类凸性条件在适当条件下，获得了锥约束向量最优化问题弱有效
28、解的几个充分条件2.1 预备知识设 和 均为实赋范空间， 是开凸集， 是闭凸锥，Y、XZX0 YK是内部非空的闭凸锥， 表示 的拓扑对偶空间，SQ, 是 Frechet 可微的， 在 处的导数显然，gf00: fx为)(X),()YLx设 是 Frechet 可微的，可以定义以下几种广义凸性RXh0:定义 2.1.1 称 次 线 性 泛 函如 果 对凸 的处 是在 ,00 xHXx使得：Hx:0,)(0xh)(0,0hx定义 2.1.2 称 h 次 线 性 泛 函如 果 对拟 凸 的处 是在 ,00 Xx使得：RXx:0,)(0xh)(0,0xhH定义 2.1.3 称 ，如果对h )0 伪 凸
29、 的或 严 格伪 凸 的处 是在 Xx次线性泛函 使得：,0x RH:,)(0,0x 或)(0xh),(00时当 xhh,0x定义 2.1.4 称 使得： h 000 :, XXx 如 果处 是 不 变 凸 的在)()(0xh 本章考虑如下向量最优化问题：)(VPSxgtsf)(.min用 表示 的可行集，即：C)(,)(0X定义 2.1.5 称 ：使 得如 果 不 存 在的 弱 有 效 解为 CxVPx0)(0xffQint引理 2.1.1 设 ，又锥25 处 满 足 约 束 规 格且 在的 弱 有 效 解是 0,(在 闭的， ：)(,0xgS中 是 弱X使 得则 Svu,(2.1)()(0
30、0xgvfu(2.2)(2.3)u2.2 最优性充分条件定理 2.2.1 设 、(2.2)和(2.3)成立，如果)1.2(,0 使 得且 SvQCx对 则次 线 性 泛 函,x ,00,0 拟 凸 的处 是在伪 凸 的处在使 HxvgHxufx是 0)(VP的 弱 有 效 解证 明：若 ：使 得则的 弱 有 效 解不 是 CVP,)(0Qxffint(0由于 ：有,Qu)(0uff又由(2.3)知得：)(0xff因为 所以有：,0伪 凸 的处在 Hxuf (2.4)(0,0fux另一方面,根据 ：得和 2.CSv0)xvg(-)g0又因为 所以有：,0拟 凸 的处在 Hxvg 0)(,0xgv
31、x(2.5)根据(2.1)、(2.4) 、(2.5)和 的次线性性质得：0,x0)()(0,0gvxfuHx )(0,xfuH0)(,0xgvx上式矛盾，故 是( VP的 弱 有 效 解定理 2.2.2 设 、(2.2)和(2.3)成立，如果)1.2(,0 使 得且 SQC对 则 是 的弱有效, 0,0 伪 凸 的处在使 得次 线 性 泛 函 xvgufCxx 0x)(VP解证 明： 若 ：使 得则的 弱 有 效 解不 是 CVP,)(0Qxffint)(0由于 ：得及 )3.2(Qu (2.6)(0uff另一方面, 因为(2.1) 和 的次线性性质得：,xH0)()(0,0 xgvf又因为
32、故有：0伪 凸 的处在 vguf)()()( 00ufxuf又由于 ：得及 2.)(,S )()0ff(2.7)(2.7)与(2.6)矛盾，故 是 0x)(VP的 弱 有 效 解定理 2.2.3 设 、(2.2)和(2.3)成立，如果)1.2(,使 得且 SvQuC，则 是 处 是 不 变 凸 的在 0xvguf0)(的 弱 有 效 解证 明： 若 ：使 得则的 弱 有 效 解不 是 Cx,)(0fxfint)(0由于 ：有和 )3.2(Qu (2.8)(0uff又因为 因此有：,0处 是 不 变 凸 的在 xvgf (2.9),()()()( 00xgvfuxvgufxvguf 又由(2.1
33、)和(2.9)有： (2.10)()()00xff由(2.8)、(2.2)、(2.10)和 ：有Cx (2.11)(vg又由于 ：得及 2.(,Sv (2.12)0)x(-)x0(2.11)和(2.12)矛盾故 是 0x)(VP的 弱 有 效 解注 2.2.1 当 ，gf和 不 变 凸 的 时 侯不 变 凸 和分 别 是处 关 于 同 一 个在 SQx0有 ，故将定理 2.2.3 中的相应条件做适当的变换可得如处 是 不 变 凸 的在 0vuf下充分条件：推论 2.2.1 设 、(2.2)和(2.3)成立，如24 )1.2(,0 使 得且 SvuCx果 ，则 是 的弱gf和 不 变 凸 的不
34、变 凸 和分 别 是处 关 于 同 一 个在 Qx0 0x)(VP有效解第 3 章 无穷维向量优化问题的弱 Pareto最优解的充分条件继上一章所讨论的向量最优化问题的弱有效解的最优性条件，本章将继续对无穷维向量优化问题的弱 Pareto 最优解的条件进行讨论无穷维空间中的向量极值问题已引起了不少专家学者的兴趣 文献 研究了无穷维向27,6148量极值的最优性条件，得出了一些有意义的结果本章用 -不变凸来代替 -凸，推广了文献 中的一些定理，得到了无穷维向量最优化问题的弱 Pareto 最优28解的一些充分条件3.1 预备知识设 是 Banach 空间, 是局部凸的 Hausdorff 空间,
35、具有内部非空的正锥 ,且 ，XY Y且 表示 的内部，在 中建立序关系： ，Y00 yy； 用 表示 的拓扑对yy .,intyY偶，称 = ： 为正锥 的对偶锥，其中Y,0, 表示连续线性泛函 在点 的值,本章考虑无穷维向量优化问题： )(VP0)(,)(.minxhZgtsf其中 在 Frechet 意义下可微，简称 -可WXYXf :,:,: F微 为 Banach 空间，假定 都分别具有拓扑内部非空的正锥WZ, Y，且 还是点锥。 表示 的可行集，即： =xYK)(VPK0)(,)(:xhg定义 3.1.1 称 为 的弱 Pareto 最优解，如果不存在 使得：)( x)(0fxf设
36、0XxYXYX，：，： 定义 3.1.2 称 如果不 变 凸 的 ，是 广 义在关 于 0)(xx2000 ),(,)( Xx定义 3.1.3 称 如果伪 不 变 凸 的 ，是 广 义） 在（ 关 于 0xY02000 ),(),()( YxxXx定义 3.1.4 称 如果拟 不 变 凸 的 ，是 广 义） 在（ 关 于 0xY200 ),(),()( 定义 3.1.5 称 如果存在映射 使得：凸 的 ，是在 x X：,00x Xx定义 3.1.6 称 如果存在映射 使得：伪 凸 的 ，是在：)(),(00xXx定义 3.1.7 称 如果存在映射 使得：拟 凸 的 ，是在 0x X：0),()
37、(x注 3.1.1 在 处广义 -不变凸 在 处广义 -伪不变凸；f0xf0x在 处广义 -不变凸 在 处广义 -拟不变凸3.2 最优性充分条件定理 3.2.1 假定在 满足：Kx0（i） 可 微 的 ；是在 Fhgf0,（ii） ， 使 得 ：， WwZzyY00（a） + + ）（ xf0）（g）（ xh),(0，Kx（b） ，）（ 0,0z（iii ） 不伪 不 变 凸 的 ， 广 义处 分 别 是 广 义在，关 于 相 同 的 0, xhgf 0, 000 wzy拟 不 变 凸 的 ， 且变 凸 的 ， 广 义（c）则 为 的弱 Pareto 最优解 0x)(VP证明：若 不是 的弱
38、Pareto 最优解，则 使得：0x)(VP,Kx（3.1）0)(xf（3.2）Zg（3.3）)(h因为 所以由（3.1）有：广 义 伪 不 变 凸 的 ，是 f （3.4）200),(),(xxf由于 0） ，及 和（3.2）可得：YwzyKx),(,000 WZ)(b （3.5）)(,(0gzg又由 ：的 广 义 不 变 凸 的 条 件 知g （3.6）2000 ),(),()( xxx用 作用于（3.6）得：0z 200000 ),(,),(),)(, zgzgzxg （3.7）由于 ） 式 有 ：及 （ 3.0K)(0)(xh又由于 是 从而有：h广 义 拟 不 变 凸 的 ， （3.
39、8）200),(),(xh又用 分别作用于（3.4） 、 （3.8）式可得：0,wy， （3.9）20000 ),(,),( xyfy ， （3.10）)wxh（3.9）+（3.10 ）得：（ + ） + ） )(0xfy)(0w),0,(0y,020),(x（3.11） 利用 及 可得：)(ac+ ，)(0xfy)(0hw)(0xgz+ ） ，,将以上两式代入（3.11） ，有： （3.12）0),(,),( 200 xzxgz因此，由（3.5） 、 （3.7）和（3.12）将导致矛盾故 为 的弱 Pareto 最优解0x)(VP注 3.2.1 在定理 3.2.1 的条件（iii）中，用 不
40、变凸代替 凸，从而推广了文献 中的定理 3.428定理 3.2.2 假定在 满足： Kx0（i） 可 微 的 ；是在 Fhgf,（ii） ， 使 得 ：， WwZzyY0000（a） + + ，）（ xf0）（g0）（ xh0),(0Kx（b） ，）（,z（iii ） 在 处为 ，且 hwfy00 广 义 伪 不 变 凸 的Y则 为 的弱 Pareto 最优解x)(VP证明：由于 0） ，及（b） 、 （3.1） 、YzyK(),(,000 WZ（3.2） （3.3）可得： （3.13）)(,)(, 00 xfyxf （3.14）hwh由（3.5） 、 （3.13）和（3.14）可得：（ ）
41、（ ）( )( )gzfy00xhgzfy00x而 在 处为 ，hwf0 广 义 伪 不 变 凸 的因此，由上式可得： ),()()( 0000 xhwxgzfy20),(x（3.15）（3.15）与（a）及 产生矛盾Y故 为 的弱 Pareto 最优解0x)(VP注 3.2.2 在定理 3.2.2 的条件（iii）中，用 广义伪不变凸取代 伪凸，从而推广了文献 中的定理 3.328第 4 章 一类集值映射向量优化问题的最优性条件在研究最优性条件的过程中，择一性定理起着桥梁作用，它是研究最优性条件的一种有利工具近年来，由于集值映射优化问题在经济、非线性规划等方面的深入应用而引起越来越多的人的关
42、注，并取得了许多有价值的成果，参见文献 文献 研究了集值映射向量优化问题的 Kuhn-Tucker 最优性30,2119条件；文献 讨论了线性空间中集值映射向量最优化问题的最优性条件本章在序线性空间中，首先引入了次似凸集值映射的概念，然后利用择一性定理，获得了弱有效解意义下的集值映射向量优化问题的最优性条件，推广了已有文献中的一些相应结果4.1 预备知识设 是任一非空集合， 是正锥 确定序的线性拓扑空间， 是 中含原DY Y点 的凸锥； ,且 ，其中 表示拓扑内部。在 中引入序：OYintint；y,y；YY；int；yyYY用 表示 的拓扑对偶空间，称 = ： 为正 YyYyy,0,锥 的对
43、偶锥，其中 表示连续线性泛函 在点 的值 , )(设 是从 到 的集值映射，简记为 ，FDYDF2:，)()(xDxyFyx,),；)(,0,0,( xFFyxy)()定义 4.1.1 集值映射 称为 次似凸，如果 ，对YD2: Yuint，使得：Dx21,.YxFxFu)()(1)(32定义 4.1.2 集值映射 称为广义 次似凸，如果 ，对YD2: uint， ，使得：Dx21, ,0),1(30)(1)(2xxuY)(3注 4.1.1 当 时，定义 4.1.2 就是次似凸的定义，即如果集值映射 在 F上 次似凸，则 在 上是广义 次似凸的.YFY引理 4.1.1 （择一性定理）设 是一个
44、线性空间， 是序线性拓扑空间，19 XY是 的一个非空子集，具有代数内部非空的正锥 ，若集值映射DX 关于 是次似凸的，则下面的结论(i)和(ii)有且仅有一个成立.YF2:(i) ，使得： ；x0 YxFint)(0(ii) ，使得： YOy, 0),(yD本章考虑以下向量优化问题： )(VP)(.minxHZGtsW其中 ， ， 是集值映射， 是线性空间YDF2:Z2: WD2:D上任一非空子集， ， ， 分别是由正锥 确定序的序线性拓扑空X ZY,间，并且 均非空，从而Zint,it， 记YWYit)int( ZY)( W的可行集为 ，)PK即： ),(,)(|xHOZxGDW定义 4.
45、1.3 称 为 的弱有效解，如果存在 ，使得：0P)(0xFy称 为 的弱有效元，若 ，YFyint)(0 ),(0y( ,0K且 .K注 4.1.2 为 的弱有效解 有x0)( ),(,),(0xyxF对y0Yint令 称集值映射 在,2:),(, VDHGIWZYVZ I上是 次似凸，如果 ，对D WZYuintitintit)(321， ，使得：x21, x,0),(.)(1)(2xIxIuV34.2 最优性条件命题 4.2.1 若 在 上是 次似凸，则集值映射)(xIKV)(0yxF(xG在 上是 次似凸)(xHKV证明：令 则DxHxGyFJ ),()()0，( 0WZOyx即： ),()0WZOI下证 在 上是 次似凸的(JKV由于 在 上是 次似凸，所以 ， ，I VuintDx21,0),1(，使得： 由 的定义及 的Dx3 IxxIu)()1(32)(J)(xI次似凸性，我们有：),()1()(1)( 022 WZOyxIIuJxJu VOyxWZ,03)(所以， 在 上是 次似凸)(xJKV定理 4.2.1 （最优性必要条件）假设(i) 是 的弱有效
