1、0向量的数性积和矢性积在解题中的一些应用20071115183数学科学学院 数学与应用数学 2007 级（1）班指导教师 摘 要 本文通 过两个向量的数性 积和矢性积在三角、平面几何、空间解析几何的不同应用来深刻的了解向量是解题的重要方式. 关键词 向量；数性积；矢性积向量是现代数学的基本概念之一,是线性代数、解析几何、微分几何等各种理论的基础,而两向量的数性积和矢性积又是向量的两大基本点,因而两向量的数性积和矢性积就显得十分重要.下面就两向量的数性积和矢性积的应用予以举例.数性积定义 两个矢量 和 的模和他们夹角的余弦的乘积叫做矢量 和ab a的数性积（也称内积）,记做 或 .即b.),(c
2、osbaba如果 那么,0ba .),(cosba特别地,当 时, 记 则ba.2a,.2数性积性质 1 设 , 均为非零矢量,有 = 射影 = 射影 .（几baaba何意义）数性积性质 2 .（正交条件）0ba矢性积定义 两个矢量 和 的矢性积（也称外积）是一个矢量,记做或 ,它的模是 ,它的方向与 和 都垂直,并且ba )(sinbabaab1按 这个顺序构成右手标架 ,如图 1ba, ba,;00图 1矢性积性质 1 两不共线矢量 和 的矢性积的模,等于以 和 为邻边所构abab成的平行四边形的面积. （几何意义）矢性积性质 2 两矢量 和 共线的充要条件是 = .b01 向量的数性积和
3、矢性积在三角中的应用在一些三角公式中,用传统的代数方法证明往往非常复杂,且艰涩难懂,如果用向量数性积或矢性积来证明,便十分的简洁且易理解.1.1 向量数性积在三角中的应用例 1 证明公式.sincos)cos(证明 如图 20图 2在单位圆中取 的终边 , 的终边 ,则 ,OAB)sin,(coOA,)sin,(coOBsincosA又 )cos(),( OBA2证毕.sincos)cos(例 2 证明余弦定理.证明 如图 3图 3在 中, 的长度分别为 ,ABCA, bacBCA22 222cos)180()(aBBCA即 bcs同理可证 证毕.CabAo221.2 向量的矢性积在三角中的应
4、用例 3 证明正弦定理证明 如图 3,在 中, 的长度分别为 .ABA, bac,cbCSABCsin21sin21又 BASABCsin21acsin21bacsin21即 同理可证 ABisin CcBbcAasini,sni3证毕.CcBbAasinisin例 4 证明三角形面积的海伦（Heron）公式： 式),()(2 cpbap中 为三角形的面积.),(21cbap证明 设 的三边向量 那么ABC , cbacABbCaB根据矢性积的几何意义有 21222)(41ba又 222)()(ba且 cbc,0因此 ,2)(a)(122baa从而 )1()()()(16 )2)(2(16(4
5、)1(2 2222 2222 cbabaccbabacbacba将 带入（1）得)(2cbap证毕.(p2 向量的数性积和矢性积在几何中的应用向量的数性积和矢性积在几何中的主要应用体现在用数性积证明关于平分、4三角形的高线、中线的相关问题,而矢性积主要应用其几何意义解决相关图形的面积问题.2.1 向量的数性积在平面几何中的应用例 5 证明平行四边行的对角线交于一点且互相平分.图 4证明 如图 4 在平行四边形 中,设对角线 的中点为 ,连接 和ABCDACOD,则有OB,OAD所以 三点共线,点 平分 .B例 6 证明三角形三条高线交于一点.图 5证明 如图 5 在 中, 边上的高交于点ABC
6、, .P令 则 又因为,cPbaPA , caCAbcBab则 , BCa0)( P0)( b,即 所以 在第三边 的高线上.cbACB例 7 证明三角形三条中线交于一点.图 6证明 如图 6 为 的三条中线,设 交于点 ,则存在CFBEAD,ABEAD,G5唯一实数对 使得, )(2BACEBGDA又 则,ABG ABCA2)( 2)(22又因为 和 不共线,B,即02132即有CABACAGC32)(31)(1)(31B则 ,所以点 在中线 上,且 为三等分点.2FFG2.2 向量的矢性积在平面几何中的应用例 8 在直角坐标系内已知三点 试求以),523(),1(),32CBA为两邻边的平
7、行四边形的面积.ACB,解 由矢性积的几何意义得, ,612480231kjikjiACB从而 ,6242AB所以以 为两邻边的平行四边形的面积为C, .216例 9 已知 的顶点 和 求)38,97()1,04(BA),385,(C6（1） 的面积；ABC（2）边 上的高 ；h（3） 所在的平面方程 .解 （1） ),15,(),1,3(AC425ACB.6321)()4221 S（2）又 ,315.2ACShB（3）因为 所在平面的法向量就是 所以它的方程就是,ACB0)137(4)0(2)4( zyx即 .9673 向量的数性积和矢性积在空间解析几何中的应用向量的数性积和矢性积在空间解析
8、几何中的应用主要体现在运用数性积求解空间中平面的方程、点到平面的距离、两平面、两直线、直线与平面的位置关系,而矢性积则运用于求解空间中平面的方程、将直线方程化为参数方程、空间中的直线方程,点到直线的距离、两异面直线间的距离等问题.3.1 向量的数性积在空间解析几何中的应用3.1.1 求解空间中平面的方程例 10 已知平面 经过点 而且垂直与非零向量 求),(00zyxP),(CBAn的方程.解 设 是空间中任意一点.若 在 上,即有 垂直与 ,所以有),(zyxPP0.0pn这就是平面的向量方程.坐标表示为 .0)()()(00zCyBxA这就是经过点 又垂直于方向 的平面的方程.),(0zy
9、x,3.1.2 求点到平面的距离公式例 11 求点 与平面 的距离.),(11P0:DzByAx7解 设点 在平面 上的垂足为 那么所求的距离就是1P),(00zyxP.10P因为 在 上,故0 .00DCzByAx由 的方程得, 是 的向量.即 与 共线,所以有),(CBn1Pn.00ppn又因为 , )()()(11 010100DCzByAx zCyxP于是得 .2211010 CBADzyxnP这就是点 与平面 的距离.),(1zyx 0zByAx3.1.3 空间中两平面的位置关系由平面的方程可以判断两个平面之间的相互位置关系.因而首先来讨论两个平面的夹角.对平面0:222111DzC
10、yBxA法向量分别为 ).,(),(11nCBn当两个平面相交时,它们构成的两个相邻且互补的二面角叫做两个平面的夹角.这两个角中的一个等于向量 与 的夹角 ,就可以得到,1221n.),(cos 2212112121 CBACBAn这就是计算两个平面夹角的公式.因而,就能由此判断两平面的位置关系,（1）两个平面垂直的充要条件是 .0:21211 CBA（2）两个平面平行的充要条件是8.:| 21211CBA（3）两个平面重合的充要条件是.212121:D例 12 求两个平面 的夹角.05,06zyxzyx解 由夹角公式得, 216312)(cos22221CBACBA所以 ,即所给两个平面的夹
11、角为3.0例 13 两平面 具有什么样的位置关系？5,zyzyx解 由题意得,因为 所以 所),21(),1,(2nn ,02)1()(121 n以两平面是互相垂直的.3.1.4 空间中两直线的位置关系由点 及方向向量 所定的直线),(11zyxP),(11ml111:nzylxL和由点 及方向向量 所定的直线),(22zyx ),(22l222:nzmylxL之间的位置关系完全可以由向量 的相互关系确定.21,P直线 之间夹角可以取两个互补角中的一个,因此其中一个角等于方向21L与向量 的夹角.即两直线夹角计算公式为与 .),(cos 22121121 nmlnl 因而,就能由此判断两直线的
12、位置关系,9（1） 两直线垂直的条件是 0:21211 nmlL（2） 两直线平行的条件是 .:| 21211l例 14 求直线 的夹角.34zyxzyx和解 由两直线的夹角公式得,又因为 )1,2(),1(21n.29184cos 22所以 ,即两直线的夹角为4.45例 15 求过点 且与直线 平行的直线方程.)3,1(P5123zyx解 由 3.1.4,（2）可知,所求直线方程为 .4zyx3.1.5 空间直线与平面的位置关系直线 和平面 分别由方程LnzmylxL000:和 :DCzByAx给定,记平面法向量 和直线的方向向量 之间的夹角为),(n),(nl而 为直线与平面的夹角,则有
13、.又因为),0(202所以 利用两向量的夹角公,sin2cos( ,)(cossin式,得 .si 222nmlCBAl因而,就能由此判断直线与平面的位置关系,10（1）直线和平面平行的充要条件是 ,0:| CnBmAlL（2）直线和平面垂直的充要条件是 .:l例 16 求直线 和平面 的夹角.251zyx 05yx解 ),(),0(n,212)(si2即 .43.2 向量的矢性积在空间解析几何中的应用3.2.1 求解空间中平面的方程例 17 一个平面经过点 和 并且垂直于平面 ,)3,12()5,4( 0432zyx求它的方程.解 因为给的平面的法向量为 ,且给定的两点也决定一个向量)32(
14、n.)2,(a又由已知条件得知,所求的平面与 都平行,所以它的法向量就是a).2,4(),624(12,3na因而,所求平面方程为 ,0)3()(4)(zyx即 .723.2.2 将直线方程化为参数方程例 18 化直线方程 ,为参数方程.01543zyx解 先求直线上一点,于是上式中令 ,得.2yx11解这联立方程组得, 因此 在直线上.,137yx)0,13(0P再求直线的方向向量.给定的两方程所表示的法向量分别是 和)4,23(1n可取直线的方向向量为),21(2n ).,20(13,24,121 n所以直线的参数方程是 .,37tzyx3.2.3 求空间中的直线方程例 19 一条直线经过
15、点 ,并且垂直于直线)42(和51zyx ,12438zyx求它的方程.解 给定直线的方向向量分别为 又由题意得,所求).3(),1(ba和直线与已知的两条直线垂直,因而它的方向向量为 ).1,5(2,164(23,12 ba即所求的直线方程为 .15zyx例 20 求过点 且与两个平面 平行的直线的方)2,3( 03,0zyx程.解 由题意,已知两个平面的法向量分别为 那么所).1,3()1,(ba和求直线的方向向量可取为两个平面法向量的矢性积,即为 ).,4(),30(13,10 ba因此所求的直线方程为 .242zyx3.2.4 空间点到直线的距离12已知通过点 而方向向量为 的直线),
16、(11zyxM),(nml,: 000zylxL和点 求点 到直线 的距离),(00zyx0如图7图 7记 到直线 的距离为 以 为邻边的平行四边形的面积显然是0ML.d,01M另一方面,按矢性积长度的几何意义,这个面积又是 ,于是有.d 01M,d01所以,01Md,)(10rd改用坐标表示得, .22 210102101021010 nml mlyxlxznmzyd这就是计算点到直线的距离公式.例 21 求点 到直线 的距离.)2,13(P041:zyxL解 把直线方程化为直线的标准方程,令 由直线 的方程得, 即L,021zyx点 在直线 上,又因为直线的方向向量为)0,21(L13).
17、3,0()1,2(),1(则点 到直线 的距离为PL.231322201 Md3.2.5 空间两异面直线间的距离有异面直线 要求它,:111nzmylxL ,: 222nzmylxL们之间的距离通常是利用公式.令 分别是点 则异面直线的距离公式为21,P),(),(21zyxz .)det( 212121111221 mlnmlzyA式中 分别是直线 的方向向量和过已知两点 所构2121,PA21,L21,P成的向量.例 22 求下面两直线之间的距离：.12341:,02:1 zyxLzxyL解 方法 1假设过 的平面方程为 ,即0)(zxky.12)1(k如果它又与 平行,得2L,即 .0)
18、(4k于是过 而与 平行的平面 的方程为12.2zy14上的点 与平面 之间的距离为2L)1,3(,541)(230即 与 之间的距离为 .1L25方法 2 直线 的方向向量为1L),12(),01(),1 直线 的方向向量为 所以得2 24().,(6),4(),1再在 上找一点 ,及 上一点 利用两直线之间的公式得1L)0(2L13.5416)20( ),(,(11d即 与 之间的距离为 .1L25总之，运用向量的数性积和失性积在解决一些问题时，明显比用原来的方法要方便快捷的多，同时也更容易理解.参考文献1 吕林根,许子道.解析几何第三版.北京：高等教育出版社 ,2001.6,38-542
19、 杨文茂,李全英.空间解析几何第二版.武汉：武汉大学出版社 ,2006.93 吴光磊,田畴.解析几何简明教程第二版.北京：高等教育出版社 ,2008.34 李养成.空间解析几何新版.北京：科学出版社,2007.85 周建伟.解析几何.北京：高等教育出版社,2005.5The Dotproduct And Generalproduct Of Vectors In Solving The Problems Of ExercisesTang Jian 20071115183Class 1 Grade 2007 College of mathematical science15Advisor Li Shu XiaAbstract This essay is going to clarify that vector is a most important method to solve the problems of trigonum,space analypic geomedry and plane geomedry.Keywords vector；dotproduct；generalproduct
