1、2015 届湖北武汉六中高三下学期临门一脚考试数学（理）试题考试时间：2015 年 5 月 26 日下午 15：0017：00，试卷满分：150 分 祝考试顺利第卷（选择题共 50 分）一、选择题（本题包括 10 小题；每题 5 分，共 50 分。在每小题只有一个选项正确。 ）1设复数 满足 ，则 =zi21zA B C Dii2i22设 ,ab是两个非零向量，则“ ”是“ ,ab夹角为钝角”的0baA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3某商场在今年元霄节的促销活动中，对 3 月 5 日 9 时至 14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示已知9 时
2、至 10 时的销售额为 5 万元，则 11 时至 12 时的销售额为A10 万元 B15 万元 C20 万元 D25 万元4执行如右图所示的程序框图,若输出 的值为 22，那么输入s的 值等于nA6 B7 C8 D95如图，矩形 的四个顶点D(),01,10,()ABC，正弦曲线 和余弦曲线 在矩形 内fxsingxcosA交于点 F，向矩形 区域内随机投掷一点，则该点落在BC阴影区域内的概率是A B C D 2121126. 设函数 f（ x）=sin（2 ）+ cos（2 ）3x，且其图象关于直线 x=0 对称，则 y =f（ x）2|A周期为 ，在（0， ）上为增函数 B周期为 ，在（0
3、， ）上为增函数224C周期为 ，在（0， ）上为减函数 D周期为 ，在（0， ）上为减函数7. 已知 为椭圆 的两个焦点， P 在椭圆上且满足 ，则此椭),(21cF12byax 21cPF圆离心率的取值范围是A B C D3,),332,2(0,8. 已知函数 ，设方程 的四个实根从小到lg06xff， ， xbfR大依次为 ，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为1234， ， ，A B C Dx129x34061x34925x9. 已知 x， y 满足约束条件 若 z y ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值.,y为（ ）A. 或1 B2 或 C2 或 1 D2
4、 或112 1210. 已知数列 中， ， 为 的前 n 项和。na*1n)0(3, Nban nSa b=1 时， =12; 存在 ，数列 成等比数列；7SRb 时，数列 是递增数列；当 时数列 是递增数列(1,)b2n (,1)n以上命题为真命题的是（ ） 。A B C D第卷（非选择题共 100 分）二、填空题：考生作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11. 不等式 对一切非零1|2|sinyxa实数 x， y 均成立，则实数 a 的取值范围为 12. 三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于 .13. 二项式 的展开式中常数项为 （用数字作答） 。531()x14. 若函数
5、 y =f（ x）在定义域内给定区间 a， b上存在 xo（ aa1）上的“平均值函数”， xo是它的一个均值点，则 xo与 的大小关系是 ab1选做题（15、16 题二选一）15. 过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点)，再作割线 PBC 依次交圆于 B， C 两点.若 PA6， AC8， BC9，则 AB_16. 在极坐标系内，已知曲线 C1的方程为 ，以极点为2cos原点，极轴方向为 正半轴方向，利用相同单位长度建立平面x直角坐标系，曲线 C2的参数方程为 ( 为参数)设点 P 为曲线 C2上的动点，过点 P 作413xty曲线 C1的两条切线，则这两条切线所成角的最大值是_三、
6、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 （12 分）设ABC 三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c. 已知C ，acosA=bcosB3（1）求角 A 的大小；（2）如图，在ABC 的外角ACD内取一点 P，使得 PC2过点 P 分别作直线 CA、CD 的垂线 PM、PN，垂足分别是 M、N 设PCA ，求 PMPN 的最大值及此时 的取值18（ 12 分）某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛
7、的资格.现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立.（第 17 题）AB DCMNP课 程 初等代数 平面几何 初等数论 微积分初步合格的概率 32433221（）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（）记 表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求 的分布列及期望 E19 （ 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，SABCDAB底面 ， , 点 是 的中点， ，且SABCDMNSC交 于点 N（）求证: 平面 ；/（）求证：平面 平面 ；SAN（）求二面角 的余弦值D
8、C20 （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 无 穷 数 列 na的 各 项 均 为 正 整 数 ， nS为 数 列 na的 前 项 和 （）若数列 na是等差数列，且对任意正整数 都有 成立，求数列 n的通项22公式； （）对任意正整数 ，从集合 12,na 中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与 12,na 一起恰好是 1至 nS全体正整数组成的集合（）求 12,a的值； （）求数列 na的通项公式21 （本小题满分 13 分）已知双曲线 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，离心率 虚轴Cx5,2e长为 2.（）求双曲线 的标准
9、方程；（）若直线 与双曲线 相交于 ，:lykmCA两点（ 均异于左、右顶点） ，且以 为直径的圆过双曲线 的左顶点 ，求证：直线BA， ABD过定点，并求出该定点的坐标l22 （本小题满分 14 分）已知 ln(,1mfxx为常数 ，在 1x处的切线方程为)20xy（）求 的单调区间；fx第 19 题图（）若任意实数 ，使得对任意的 上恒有 成立，1,xe1,2t32fxtat求实数 的取值范围；a（）求证：对任意正整数 ，有 n4()(lnln)231 参考答案一、 C B C C B C C D D A二、11 12 3 1310 14(1) (0，2) (2)1, 01lnxab【解析
10、】(1)函数 f（ x）= x2 mx1 是区间1，1上的平均值函数，关于 x 的方程 x2 mx1= 在（1，1）内有实数根由 x2 mx1= x2 mx+m1=0，解得 x=m1， x=1又 1（1，1） x=m1 必为均值点，即1 m110 m2所求实数 m 的取值范围是 0 m2（2）解：由题知 lnx 0= 猜想：l nx 0 ，lnbaab证明如下： ，令 t= 1，原式等价于 lnt2 t 1令 h（ t）=2ln t t+ ，则 h（ t）= ， h（ t）=2ln t t+ h（1）=0，12()0t得证 lnx0 ab15. 4 16. 6三、解答题：本大题共 6 小题，共
11、 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （1）由 acosAbcos B 及正弦定理可得 sinAcosAsin BcosB，即 sin2Asin2B，又 A(0， )，B(0， )，所以有 AB 或 AB 又因为 C ，得 AB ，与2 3 23AB 矛盾，所以 AB，因此 A 4 分2 3（2）由题设，得 在 RtPMC 中，PMPCsinPCM2sin；在 Rt PNC 中， PNPCsinPCN PCsin(PCB) 2sin ( )2sin ( )，(0， ). 6 分3 3 23所以，PMPN 2sin2sin ( )3sin cos2 sin( ). 10 分
12、3 3 3 660PNMCDBA（第 17 题）第 18 题图因为 (0 ， )，所以 ( ， )，从而有 sin( )( ，1，23 6 6 56 6 12于是，当 ，即 时，PMPN 取得最大值 2 6 2 3 318. （1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件 A，B，C，D，且事件 A，B，C，D 相互独立，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为：PABCDPABCD（ ） （ ） （ ） 2115442（2）由题设知 的所有可能取值为 0，1，2，3， ，532 （ ， ）， ，037128()（ ） 17()8（ ）， ， 的分布列为：355PC（ ） 3PC（ ） , 53
13、12B （ ， ） 51234E19 （）证明：连结 交 于 ，连结 BDACEM是正方形， 是 的中点 ACQ是 的中点， 是 的中位线MSS 2 分 /又 平面 ， 平面 ， E 平面 4 分 B（）证明：由条件有 ,AC 平面 ，且 平面 DCSMSD.AC又 是 的中点， ,A. 平面 平面 6 分 .,由已知 平面N.N又 平面 平面 平面 8 分 S,SA.（）取 中点 ，则 作 于 ，连结 F/FQMQ 底面 ， 底面 ABCDBCD 为 在平面 内的射影QM , 为二面角 的平面角 10 分A设 ，在 中， ，SaRtF112,24aMSAFEa 二面角 的余弦的大小为 12
14、分 2tn4FQMDC320 （ ） 设 无 穷 等 差 数 列 na的 公 差 为 d， 则 11()22ndSana所以 又 .2)2(122dnS2(则 = .3)(1a所以 则 或 .50)2(4122da1na12n（）（i）记 ,nnAS ，显然 1aS .6对于 2122S，有 2222,1,|1,34Aa故 4，所以 3 .7（ii）由题意可知，集合 1,n 按上述规则，共产生 nS个正整数而集合121,na按上述规则产生的 1S个正整数中，除 , 这 n个正整数外，还有 |iai(,2) ，共 2n个数所以， 1)3nnnS .9又 3(2所以 11)2nnn.10当 时，
15、1113()32nnnnaS而 1也满足 所以，数列 a的通项公式是 1na .1221 （）由题设双曲线的标准方程为 ，由已知得： ， ，2(0,b)xy52cb又 ，解得 ， 双曲线的标准方程为 . -5 分22abc,1ab24xy（）设 ，联立 ，得 ，12(x,y),)AB24kmxy22(1k)8(m1)0故 ， -7 分22122406(k)1084(m)kkx，221211124()1mkyxxkx以 AB 为直径的圆过双曲线 的左顶点 ， ，即 ，C,0DADB121yx，1212()40yxx2224(1)6401mkmk解得： ， . -10 分360mk1k203当 时
16、， 的方程为 ，直线过定点 ，与已知矛盾； -11 分1l()y()，当 时， 的方程为 ，2 x直线过定点 ，经检验符合已知条件 -12 分03，所以，直线 过定点，定点坐标为 -13 分l 103，22 【解析】：（1）由 f（x）= +nlnx（m，n 为常数）的定义域为（0，+） ，f（x）= + ，f（1）= 14把 x=1 代入 x+y2=0 得 y=1，f（1）= =1，m=2，n= ，.2f（x）= lnx，f（x）= ，x0，f（x）0，f（x）的单调递减区间为（0，+） ，没有递增区间.4（2）由 （ 1） 可 得 ， f（ x） 在 ， 1上 单 调 递 减 ， f（ x
17、） 在 ， 1上 的 最 小 值 为 f（ 1） =1，只需 t3t 22at+21，即 2a 对任意的 t ，2上恒成立，5令 g（t）= ，则 g（t）=2t1 = = ，令 g（t）=0 可得 t=1，而 2t2+t+10 恒成立，当 t1 时，g（t）0，g（t）单调递减，当 1t2 时，g（t）0，g（t）单调递增7g（t）的最小值为 g（1）=1，而 g（ ）= +2= ，g（2）=42+ = ，显然 g（ ）g（2） ，g（t）在 ，2上的最大值为 g（2）= ，只需 2a ，即 a ，实数 a 的取值范围是 ，+） .9（3）由（1）可知 f（x）在区间（0，1上单调递减，对于任意的正整数 n，都有 f（ ）f（1）=1，即 ln 1，.11整理可得 +lnn2，则有：+ln12， +ln22， +ln32， +lnn2.13把以上各式两边相加可得：4（ + + ）+（ln1+ln2+lnn）2n.14
