1、2015 届湖北省武汉市华师一附中高三 5 月适应性考试理科数学试题华中师大一附中 2015 届高三年级 5 月适应性考试数学（理）试题 答案及评分标准华中师大一附中高三年级数学组提供 2015.5一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B C A A D A B B B C二、填空题：（本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25分）11 12 13 14 ；8912121,512nna15 1633三、解答题：（本大题共 6 小题，共 75 分）17解：（）由题设得 ，()sin2cos
2、12sin()14fxxmxm，()2sin1in()44gx因为当 时， ，0,3,4x所以由已知得 ，即 时， ，28max()21g所以 ； 6 分1m（）由已知 ，因为三角形中 ，33()sin()144gB30B所以 ，所以 ，即 ，7232B又因为 ，由余弦定理得：ac，2222223()os()()14acbacac当且仅当 时等号成立，1c又 ， ，所以 的周长 ，abABC,)lbc故ABC 的周长 l 的取值范围是 12 分3,4)18解：由题意知，这 4 个人中每个人选择 A 题目的概率为 ，选择 B 题目的概率为 ，1323记“这 4 个人中恰有 人选择 A 题目”为事
3、件 （ ） ，i i0,1234，412()()3iiiPAC（）这 4 人中恰有一人选择 B 题目的概率为 4 分348()()1PAC（） 的所有可能取值为 0，3 ，4，且，402167()()()38PAPC，11344238403 ()1，22(4)()的分布列是0 3 4P178281所以 12 分1742()0383E19解：（）证明：取 中点 ，连结 、 ，ABHDF因为在等腰 中， ， ，RtC902ABC分别是边 、 的中点，所以 ，D、 1又因为翻折后 ，所以翻折后 ，且2为等腰直角三角形，所以 ，因为翻折后 ， ，且 ，EADBAD平面 ，因为 ， 平面 ，/CB，又
4、， 平面 ，CHH又 ， ，且 ，/F/12FE是平行四边形， ， 平面 ； 5 分E/EAC（）以 为原点建立如图所示空间直角坐标系 则 ， ，DDxyz(0,1)(0,1)B， ， ，设 （ ） ，(1,0)(2,10)C1(,)2F(0, )Qtt则 ， ， ，,BQt,EQt1,2AF设平面 的法向量为 ， 则由 ，且 ，得 ，(,)nxyz0nB 0nEQ0ytzxACEFQHxyz取 ，则 ，1y(,)nt要使 平面 ，则须 ，/AFBEQ11(,),)022nAFttt所以 ，即线段 上存在一点 ，使得 平面 ， 9 分3tD03/AFBEQ设平面 的法向量为 ， 则由 ，且 ，
5、得 ，11(,)nxyz10n10n10yzx取 ，则 ， ，1y1(,)n1533cos,9n因为二面角 为锐二面角，所以其余弦值为 ，QBEA53即线段 上存在一点 （点 是线段 上的靠近点 的一个三等分点） ，使得DAD平面 ，此时二面角 的余弦值为 /AFBE5312 分20解：（）因为 为等差数列，且 ，所以 ，na27126a76a即 ，又因为公差 ，所以 ，72a1d()5ndn； 5 分1()(45)92nnS（）由（）知 的前 4 项为 4，3，2，1，所以等比数列 的前 3 项为 4，2，1，na nb， ，14()nb(5)nb0 213)6(5)(2 nT ，21()2
6、nn 1114)(4()nn 12(6(5)2(6)1nnn ， 8 分14()(2nnT，11214()042nnnnT，且 ，345T6所以 时， ， 10 分*Nmax459()2n又因为 ，所以 时， ，29nS*Nmax45()10nSS因为存在 ，使得对任意 ，总有 成立，*nT所以 ，所以 ，maxax()()nST9102所以实数 的取值范围为 12 分(,)21解（）由题意，点 为 ，设 ，则 ，1F,0(,)Pt1PFtk又 ，所以 ，解得 ，即 ， 1()|()|2PFxtxtk 2ttt(1,)设椭圆 的右焦点为 ，则 ，即 ，M2(1,0)F12|51aPF52a又半
7、焦距 ，所以椭圆 的离心率为 ； 5 分cce（）因为椭圆 的半焦距 ，所以 ，设 ， ，直线 的1c21ab1(,)Axy2(,)Bl方程为 ，1xmy由方程组 消去 得： ，2abxyx222()(1)0abmyba， 7 分2241212()myabab连结 ，由 知 ，OB|ACABOBS 9 分22121121|()4AC mSFyyyab 令 ，则 ， ，21mt21()t2221(1)ABCabttabSt若 ，即 ，则 ，当且仅当 ，ba22bttb即 时， ； 10 分21m2max()1ABCS若 ，即 ，设 ，则 时，0ba2(ftbt，22()0tft所以 在 上单调递
8、增，所以 ，当且仅当 ，ft1,)22min()(1)ftfba1t即 时， ； 12 分0m2max()ABCS综上可知： 13 分21,()a22解：（）证明：令 ，(ln(1)(0)xxhxf则 时， ，0x221() 0()() 所以 在 上是增函数，所以 时， ， h,x()0hx所以 时， ，即 ； 4 分0xln(1)x)1f（）令 ，则 ，)0g2(1ln)(xxg由（）知 时， ，0x(1)lnx所以 时， ，即 在 上是减函数，)gg(0,)， ，2143l(24)l2131即 ，所以 ； 9 分0ln50ln020145（）证明：由 及柯西不等式得：12xx2221()(1nxx2121)()(1)nnxx 2 2121( nnx ，22)n所以 ，2111nxx所以 ，22 015201511()()nxxn又由（）知 时， ，因而 ，nmllm()(1)mn所以 时， ，即 ，2052015()()n2015()6n所以 ，1()6nn所以 14 分2220151)()6nnxx
