1、双曲线及其标准方程1.双曲线定义：平面内与两定点 F1，F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2a 点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫12()F小 于做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。注意：对于双曲线定义须抓住三点：1、平面内的动点到两定点的距离之差的绝对值是一个常数；2、这个常数要小于|F 1F2|；3、这个常数要是非零常数。思考：1、平面内与两定点的距离的差等于常数 2a（小于|F 1F2|）的轨迹是什么？ 双曲线的一支2、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（等于|F 1F2|）的轨迹是什么？是在直线 F1F2 上且 以 F1、F 2 为端点向外的两条射线3、平面内与两定点
2、的距离的差的绝对值等于常数（大于|F 1F2|）的轨迹是什么？ 不存在结论：1、当|MF 1|-|MF2|= 2a|F1F2|时,M 点的轨迹不存在。4、当|MF 1|-|MF2|= 2a =0 时， M 点的轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线。2.双曲线的标准方程：焦点在 x 轴： 焦点在 y 轴：).0,(12bay ).0,(12bax3.椭圆与双曲线的区别与联系椭圆 双曲线根据|MF 1|+MF2|= 2a 根据|MF 1|-|MF2|= 2aac0，a 2-c2=b2 （b0） 00）22abc最 大 , 22,cab最 大“椭 圆 方 程 中 “双 曲 线 中相同点： 1.,焦 点
3、 坐 标 相 同 焦 距 相 等 ； 2.,abc焦 大 小 满 足 勾 股 定 理 .小结：8.4 双曲线的简单几何性质1.范围：在 x=a，x=-a 的外侧，是无限延伸的。 （不是封闭曲线）2.对称性：关于 x 轴、y 轴和原点都是对称的。x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。3.顶点：（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。 )0,(),(21aA、顶 点 是 （2）如图，线段 叫做双曲线的实轴，它的长为1A22a，a 叫做实半轴长；线段 叫做双曲线的1B2虚轴，它的长为 2b,b 叫做双曲线的虚半轴长（3）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线。 )0(
4、2myx4.离心率：（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率。 （2）e 的范围：aceca0， e 1（3）e 的含义：e 是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大 ! 1)(222eaccab也 增 大增 大且时 ，当 bee,0(),1( 的 夹 角 增 大增 大 时 ， 渐 近 线 与 实 轴5 渐近线),(,2abyax双 曲 线 直 线 叫 做 双 曲 线 的 渐 进 线 .等 轴 双 曲 线 2e6.双曲线的性质7.椭圆与双曲线的性质比较8.由双曲线方程推出渐近线方程 2 2(0) 0.xyxyabab双 曲 线 渐 近 线 方 程9.双曲线的第二定义动点
5、 M 与一个定点 F 的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 ，则这个点(1)cea的轨迹是双曲线。“三定”：定点是焦点；定直线是准线；定值是离心率.注意：（1）双曲线的两准线之间的距离是 ，中心到准线的距离是 ，焦点到相应准2ac2c线间的距离是 。2bc（2）第二定义中的定直线是任意直线，定点也是任意的，这样得到的双曲线方程不一定是标准形式。10.焦半径点 是 上任意一点， ， 是焦0(,)pxy )0,(,12babyax双 曲 线 )0(1，cF2()，点，当 在双曲线右支上时， ，2100()PFexexc2200()aPexec当 在双曲线左支上时， ，p2100()a200()F
6、x11.直线与双曲线的位置关系判断直线与双曲线位置关系的操作程序211xyykx例 1、 已 知 双 曲 线 及 直 线 ，（ ） 若 直 线 与 双 曲 线 有 交 点 ， 求 的 范 围 ； 62| .OABkS（ ） 若 ， 求112yxk） 联 立解 ： （ 0)(2kx)1|(时 ，当 1k1xy个 交 点直 线 与 双 曲 线 有 1时 ，当 0)(8422k12k且综 上 ， 当 时 ， 直 线 与 双 曲 线 有 交 点 .)(,|21)( 的 距 离到 直 线是 ABOdABSO 21kd12yxk联 立 02)(2kx|2akAB由 弦 长 公 式 ： |1|4822k22
7、11kkS思考：1.什么情况下只有一个交点？ 直线与双曲线只有一个交点。时 ，或当 1k2.什么情况下有两个交点？ ，直线与双曲线有两个交点。时且当 23.什么情况两个交点在右支？ ，直线与双曲线有两个交点都在右支上。时当 1k4.什么情况下两个交点在两支上？ ，直线与双曲线有两个交点在两支上。时当 1例 224xy已 知 双 曲 线 方 程 （1）求过 的直线交双曲线于 两点，若 M 为弦 AB 的中点，求直线 AB 的1M（ ， ） AB、方程。（2）是否存在直线 ，使 为 被双曲线所截弦的中点，若存在求出直线 的方程，l12N， l l若不存在，请说明理由。解：设 ，则)()(21yxB
8、A， )(21x的 方 程 为 ：直 线)1(2xy.012y即 2124yx21 MAByxk，即 21ABk21解法二： )1(:xkylAB设 421yxk联 立0424)21( xk1(2，k的 方 程 为 ：直 线 AB)1(2xy.0yx即 ， 则，的 直 线 交 双 曲 线 于假 设 过 )()()2( 21yxDCN，即 1CDk1122lyxy的 方 程 为 ： 即直线 与双曲线没有4yx把 代 入 得 90504x其 中 l焦点与所设矛盾以 N（1,1/2）为弦的中点的直线不存在。例 3 在双曲线 的一支上有不同的三点 且与213yx1(,)Axy3(26),BCxy， （
9、 ， ）点 的距离成等差数列。 05F（ ， ） 13y（ ） 求 ； 2（ ） 求 证 的 垂 直 平 分 线 必 过 定 点 .解：（1） edA1|AFd1BCFdee同 理 ，成 等 差 数 列、 CB成 等 差 数 列CB,13,6y成 等 差 数 列.123y（2） )6,(0xA的 中 点 坐 标 为设13221xy:相 减 31312yxxy120xkAC)(260xyAC的 中 垂 线 方 程 为 ： 025130yx即4212x 221yN.250），（此 直 线 过 定 点例 4 双曲线 的离心率分别是 则 的最小值为？2211xyxaba与 12,e12eee2221,解 ： 21e21)( )(2121 )(2121ee84)(min21e例 5 已知双曲线 ，曲线上存在关于直线 对称的两点，求 的范围。213yx:4lykxk时 ， 不 满 足 条 件解 ： 当 0k),(),(),( 021 yxyxBA中 点 坐 标设2231xy:相 减 21213yx)(:klAB1322yx联 立 03)1()3(2)13( 2kxkx0)(4)( 222 kk2243或,31,0),(3, 3,100ykx031yxk4又
