1、天津*大学本科生毕业论文应用 MATLAB 求解经典物理若干典型问题The application of MATLAB in solving some classical physics questions专业班级：物理 学生姓名： 指导教师： 学 院：理学院2011 年 5 月摘 要MATLAB 是 MathWorks 公司推出的一套科学计算软件，MATLAB 的意思是矩阵实验室。MATLAB 具有起点低、功能强大、易学易用以及兼有数值运算和符号运算功能的优点。利用 MATLAB，绘图十分方便，它既可以绘制各种图形，包括二维图形和三维图形，还可以对图形进行修饰和控制。本文通过在 MATLAB
2、 环境下编写通过科学计算解决经典物理问题，如力学、热学、电磁学中的一些常见问题。本文的思路主要是，先介绍经典物理习题，然后对习题进行分析，解答，再通过MATLAB 软件进行编程，模拟实验结果。通过多次验证。得到所需答案。再通过图形绘制，形象的描绘出图形，与预期结果进行比较、验证。作出总结。本文展示的 MATLAB 软件在解决物理问题中的应用。关键词：力学；热学；电磁学；MATLAB 程序ABSTRACT.MathWorks MATLAB is introduced in a scientific computing software, MATLAB means Matrix Laborator
3、y . MATLAB has a low starting point, powerful, easy to use, and both numerical calculation and symbolic operation advantages. Using MATLAB, the drawing is very convenient, both to draw various graphics, including the two-dimensional graphics and three-dimensional graphics, graphics can also be modif
4、ied and controlled. This article written by the MATLAB environment to solve by classical physics scientific computing problems, such as mechanical, thermal, electromagnetics some common problems. The main idea of this paper is to introduce classical physics problems, and then exercises to analyze, a
5、nswer, and then programmed by MATLAB software to simulate the experimental results. Through multiple authentication. Get the answers you need. And through graphics rendering, the image depicts the graphics, compared with the expected results to verify. Conclusion. This article presents the MATLAB so
6、ftware to solve the problem of physics.Key Words：Mechanics;heat;electromagnetism,;MATLAB 目 录引言 .11 力学问题 .31.1 质点运动学 .31.1.1 已知质点的运动方程求其速度和加速度 .31.1.2 已知质点的运动方程求质点的轨迹 .41.1.3 考虑空气阻力的抛射体运动 .51.1.4 已知加速度求速度、运动方程和轨迹 .71.2 卢瑟福散射（Rutherford scattering)研究 .92 热学问题 .122.1 理想气体物态方程 .122.2 范德瓦耳斯方程 .132.2.1 范德
7、瓦耳斯气体等温线 .132.2.2 临界参数 .153 电磁学问题 .163.1 求电偶极子在其所在平面产生的电场中任一点 P 的电位 .163.2 由电位的表示式计算电场并画出等电位线和电场方向 .173.3 带电粒子在电磁场中的运动 .19结论 .21参考文献 .22致谢 .23天津职业技术师范大学 2011 届本科生毕业论文0引言近几十年来，计算机技术的广泛应用已经深入地影响到社会的各个方面，大大加快了社会的变革进程，计算机的应用离不开计算语言，而计算语言本身也处于不断的发展之中。MATLAB 是 MATrix LABoratory （矩阵实验室）的缩写，它自从 1984 年由美国Mat
8、hWorks 公司推出以来，经过不断改进和发展，现已经成为国际公认的优秀的工程应用开发环境。MATLAB 是一种广泛应用于工程计算及数值分析领域的新型高级语言。它以矩阵作为数据操作的基本单位，使得矩阵运算变得非常简捷、方便、高效。MATLAB 提供了十分丰富的数值计算函数，而且 MATLAB 和著名的符号计算语言 Maple 相结合，使得 MATLAB 具有符号计算功能。MATLAB 的绘图功能也很强，它既可以绘制各种二维、三维图形，还可以对图形进行修饰和控制，以增强图形的表现效果。MATLAB 具有编程语言的基本特征，使用 MATLAB 也可以像使用 BASIC、FORTRAN、C 等传统编
9、程语言一样，进行程序设计，而且简单易学、编程效率高。MATLAB 包含基本部分和各种可选的工具箱，其基本部分构成了 MATLAB 的核心内容，而 MATLAB 工具箱扩充了其功能。应用范围也越来越广。物理模型的建立及其数学处理在物理学的教学中占有重要地位，而 MATLAB 在这方面具有独特的优势。因此，利用 MATLAB 这一先进的科学计算语言来辅助物理学的教学工作必将大大提高教学效率。另外，MATLAB 起点低、功能强、易学易用以及兼有数值运算和符号运算功能的优点，可以初步掌握这门科学计算语言，并在整个物理学习过程中不断反复使用是完全必要和可行的。运动学的任务是描述随时间的推移物体空间位置的
10、变动，不涉及物体间相互作用与运动的关系。本文在力学中主要讨论如何使用 MATLAB 描述质点理想模型的运动，最后引入伽利略变换，它和物理学一条基本原理即相对性原理密切相关。质点平面运动指质点在平面上的曲线运动。这时，质点经常改变运动方向，速度、加速度等物理量的矢量性更突出。如何选择坐标系的问题更加重要。本文在质点运动方面，主要讨论抛体运动，在理想情况下，受空气阻力、斜抛等得运动轨迹如何在 MATLAB中体现出来。以及，已知速度、如何求加速度等。本文在热学方面主要处理了理想气体物态方程、范德瓦耳斯方程如何用 MATLAB描述出来。理想气体，只要在足够宽广的温度、压强变化范围内进行比较精细的研究，
11、就可发现，气体的物态方程相当复杂，而且不同气体所遵循的规律也有所不同。天津职业技术师范大学 2011 届本科生毕业论文1但在压强趋于零，其温度不太高也不太低的情况下，不同种类气体在物态方程上的差异可趋于消失，气体所遵从的规律也趋于简单。这种压强趋于零的极限状态下的气体称为理想气体。荷兰物理学家范德瓦耳斯在克劳修斯的论文的启发下，对理想气体的两条基本假定即忽略分子固有体积、忽略除碰撞外分子间相互作用力作出了两条重要修正，得出了能描述真实气体行为的范德瓦耳斯方程。在发现电现象 2000 多年之后，人们才开始对电现象进行定量的研究。1785 年，库伦通过扭秤实验总结出两个静止电荷之间电相互作用的定量
12、规律，通常称之为库仑定律。实验表明，静电力具有叠加性。原则上，库仑定律加上静电力的叠加原理可以求解任意带电体之间的静电力。实验也指出，试探电荷在场中所受的静电力与试探电荷电量之比反映了电场本身的性质，该比值被称为电场强度。电场强度也具有叠加性，由场强的定义加上场的叠加原理可以求解任意带电体的场强分布。本文在电磁学中，主要研究如何用 MATLAB 求解电偶极子，带电粒子在电场中运动的问题。本文在物理题目的选取上，主要是普遍、常见的问题，意在将计算语言和物理课程的学习结合起来，起到相辅相成的作用。在程序的编写中，也力求简洁。天津职业技术师范大学 2011 届本科生毕业论文21 力学问题1.1 质点
13、运动学在一些问题中，若物体的形状和大小可以忽略，则可以把该物体视为具有一定质量的几何点，这就是所谓的质点。质点运动学的基本问题是；已知质点的运动学方程求质点的轨迹、速度和加速度；已知质点的速度或加速度求质点的运动方程和轨迹。下面，结合大家熟悉的几个具体例子来说明如何用 MATLAB 处理上述问题1.1.1 已知质点的运动方程求其速度和加速度例：某质点的运动学方程为 （单位： m，s） ，求 t=1s 时质ktjir3510点的速度矢量。解题分析质点的位置矢量为 ，ktzjtyitxr)()(质点的速度矢量为 ，dtdtv质点速度大小和方向余弦分别为 22zyxvvxcosvycosvzcos程
14、序syms tr=-10,15*t,5*t3; %用数组表示位置矢量V=diff(r,t); %求速度v=sqrt(sum(V.2) %求速度矢量长度，即速度矢量的大小alpha=acos(V(1)/v); beta=acos(V(2)/v); gamma=acos(V(3)/v);%求速度矢量的方向角v1=subs(v,t,1), alpha=subs(alpha,t,1),beta=subs(beta,t,1),gamma=subs(gamma,t,1)%求 t=1s 时质点的速率和方向角，使用了置换命令的函数 subs运行结果：v1=21.2132alpha=1.5708beta=0.7
15、854gamma=0.7854天津职业技术师范大学 2011 届本科生毕业论文31.1.2 已知质点的运动方程求质点的轨迹例：设一物体以抛射角 ，速度 抛出，落点与射点在同一水平面，且不计空0气阻力。求物体在空气中飞行的时间、落点距离和飞行的最大高度。解题分析：质点运动学，有201costaxx 201sintavyy解出 t，它就是落点时间 . 有两个解，只取其中的一个有效解，然后求最大it飞行距离 。max10costvMATLAB 程序：clear all y0=0;x0=5; %取初始位置，为了画出竖抛运动，未将 x0 取在原点。v0=input(v0=);theta=input(th
16、eta=); %输入抛射速率和岀射角度v0x=v0*cosd(theta);v0y=v0*sind(theta); %输入初速度的 x 分量和 y 分量ay=-9.81;ax=0; %加速度的 y 分量和 x 分量tf=roots(ay/2,v0y,y0); %解出方程的根，求飞行时间。有两个解，只取有效解tf=max(tf); %落点时间t=0:0.1:tf; %为了画图，取时间数组y=y0+v0y*t+ay*t.2/2;x=x0+v0x*t+ax*t.2/2; %t 时刻，质点的位置xf=max(x), %飞行达到的最远距离，即射程yf=max(y), %飞行中达到的最大高度grid on
17、, hold on %画网格，保持图形plot(x,y), %画图，xlabel(x),ylabel(y) %坐标标注hold off仿真结果与讨论：运行该程序，例如，取初速度 =30，岀射角 分别取035,45,55,65，75,85，90，则可画出图 1.1 所示曲线，并在命令窗口中给出相应的射程、飞行时间和最大高度。天津职业技术师范大学 2011 届本科生毕业论文4图 1.1 抛体的运动轨迹在上述程序中，我们设定了目标高度为零。我们还可对上述程序进行修改，使其能预先设定目标高度。1.1.3 考虑空气阻力的抛射体运动例：一物体在有阻力的空气中作抛体运动，设抛体质量为 m，初速度为 （可0设
18、 ） ，受到的空气阻力大小与速率 v 的一次方成正比，b 是比例系数。19,50yxv求抛体的运动轨迹和速度的 x、y 分量以及速率 v 随时间的变化。解题分析：以地面为参考系，以抛出点为原点建立直角坐标系。质点受重力和空气阻力的作用，其运动微分方程为 vbgmdtr2令 y(1)=x, y(2)=dx/dt, y(3)=y, y(4)=dy/dt, 将方程写成一阶微分方程组的形式 2/122/12)()4)(3)()2(1ymbygdtyytd天津职业技术师范大学 2011 届本科生毕业论文5再用命令函数 ode45 解此常微分方程组。MATLAB 程序m=1; %为简单起见，取 m=1.b
19、=input(b=); %输入 b 值，例如，b=0.3.t,y=ode45(ex1,0:0.01:5,0,5,0,19,b,m);%使用了数值法解微分方程的命令函数 ode45v=sqrt(y(:,2).2+y(:,4).2);subplot(2,1,1) %绘制子图plot(y(:,1),y(:,3) %绘制运动轨迹，即 x-y 曲线，注意：y(1)=x,y(3)=y.subplot(2,1,2)plot(t,y(:,2),t,y(:,4),t,v) %绘制速度的 x，y 分量以及速率 v 时间 t 的变化曲线。函数文件function ydot=ex1(t,y,flag,b,m)ydot=y(2);-b./m.*y(2).*sqrt(y(2).2+y(4).2);y(4);-9.8-b./m.*y(4).*sqrt(y(2).2+y(4).2);运行结果如图 1.2 所示。可以改变 b 值（例如 b 分别取 0.3 和 0）来观察运动轨迹和速度的 x 分量、y 分量 及速率 v 随时间的变化。（a)b=0.3
