1、第一章 集合与函数概念一、集合1集合的含义及表示：元素：一般地，我们把研究对象统称为元素。集合：一般地，我们把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集） 。列举法：把集合的元素一一列举出来，并用大括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法 。集合的表示方法 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。图示法：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn 图。自然语言。元素的特性：互异性，无序性，确定性。集合的分类 数集：x| 有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集。点集：（x ，y）| 无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集。（我们把不含任何元素的集合叫做空集，
2、记为 ，并规定：空集是任何集合的子集。 ）N：全体非负整数组成的集合成为非负 整数集（或自然数集） 。N*（N +）：所有正整数组成的集合称为正整数集。特殊的数集 Z：全体整数组成的集合称为整数集。Q：全体有理数组成的集合称为 有理数集。R：全体实数组成的集合称为 实数集。2集合间的关系及其运算：子集：一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作 。如果集合 ，但存在元素 ，且 ,我们称集合 A 是集合 B 的真子集，记作 。xA如果集合 A 是集合 B 的子集（ ） ，且集合 B 是集合
3、A 的子集（ ） ，此时，集合 A 与集合 B 中的元素是一样的，因此，集合 A 与集合 B 相等，记作 A=B。我们把含有限个元素的集合 A 叫做有限集，用 card 来表示有限集合 A 中元素的个数。若 card（A）= n，则 A 的子集数为 2n，真子集数为（2 n-1） ，非空真子集数为（2 n-2） 。一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集，记作 AB，即AB=x|xA,或 xB。取法：皆要但不重复。性质：AB=BA , A =A , AA=A ,A AB ,B AB.交集：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的
4、集合，称为 A 与 B 的交集，记作 AB，即AB=x|xA,且 xB。取法：取公共部分。性质：AB=BA，A = ，AA=A ，A B A , AB B.补集：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集 ，简称为集合 A 的补集，记作 ，即 。取法：U 以内，A 以外。Cx| ， 且性质： UU=,(),(C),()摩根律： UU()BB card(AUB)=car()+rd(B)-caA)二、函数及其表示1.函数定义：一般地，我们有：设 A，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 A 中的任意一f个数 x，在
5、集合 B 中都有唯一 确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作()fx:fAB。其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函(),yfA数值的集合 叫做函数的值域。|f2.函数的三要素：定义域，值域，对应关系。3.函数的表示方法：解析法，图像法，列表法。4.函数解析式的求证：零点式： 12()yax 待定系数法 注意：二次函数解析式的设法 顶点式： hk一般式： 2yxbc 换元法5.定义域求法：给出优先；令函数解析式有意义；根据实际问题。6.函数值域的求法：观察法；配方法；换元法；根据单调性；方程法（根
6、据判别式） ；分离常数法数形结合（图像法） ；复合函数求值法。7.分段函数：根据自变量的不同取值范围，将函数分别用不同的形式表示出来，这种函数叫做分段函数。注意：分段函数是一个函数而不是几个函数。8.区间：设 是两个实数，而且 ，我们规定：,abab满足不等式 的实数 x 的集合叫做闭区间，表示为 ；x,ab满足不等式 的实数 x 的集合叫做开区间，表示为 ；满足不等式 或 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 。axb ,ab这里的实数 都叫做相应区间的端点。,注意：实数集 R 可以用区间表示为 ， “ ”读作“无穷大” ， “ ”读作“负无穷大” ， “ ”读作“正无,穷大” 。
7、我们把满足 的实数 x 的集合分别表示为 。,xaxb,ab9.映射：一般地，我们有：设 A,B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 ，使对于集合 A 中的任意一个f元素 x，在集合 B 中都有唯一 确定的元素 y 与之对应，那么就称 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。:fAB注意：定义中的关键词“任意” 、 “唯一” ；集合 A 中的元素可以多对一，不能一对多；集合 A 中的元素必有象，B 中元素可以没原象；映射 与 一般是不同的；联系：函数是映射的特殊情况，映射是函数:fAB:f的推广。规定：若 是从 A 到 B 的映射，那么与 A 中元素 对应的 B 中的元素 b 叫做 的
8、象， 叫做 b 的原象。A 中元素在f aaB 中必有象，且有唯一象；B 中元素不一定有原象。规律：设 A 中有 m 个元素，B 中有 n 个元素，则从 A 到 B 可以构成 nm 个映射。三、函数的基本性质1.单调性：一般地，设函数 的定义域为 I：增函数：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值()fx，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 D 上时增函数。如果对于定义域 I 内某个区12,x12x12)f()fx间 D 上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 D 上时减函数。,x1x12f()fx2.判断函数单调性的方法：图像法；直接法；定义法。
9、3.求函数单调性的步骤：取值；作差；判断符号；得出结论。 （注意：求单调区间时应先求定义域。 ）4.复合函数单调性：同增异减。5.奇偶性：一般地，对于函数 的定义域内任意一个 x，都有 ，那么函数 就叫做偶函数。()fx()fxf()fx一般地，如果对于函数 的定义域内任意一个 x，都有 ，那么函数 就叫做奇函数。6.复合函数奇偶性：全奇则奇，全偶则偶。7.证明函数奇偶性的步骤：求函数定义域；求 的值；比较 与 的关系；得出结论。()f()fx()f8.在奇函数中， 或没有意义。(0)f9.奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于 y 轴对称。10.奇函数在对称区间上是有相同的单调性，相反的最值
10、；偶函数在对称区间上是有相反的单调性，相同的最值。11.对称性：关于直线 对称； 关于直线 对称。()()faxfxa=()()fxfb2abx=关于点 对称； 关于点 对称。ffx,0ffx,012.周期性：周期为 T()(fxTf周期为 2Tx（ 为常数，且 ） 周期为 2T()(afxf 0a13.平移规则：左加h右减x上加()()yfyfxk下减()()yfxyfxk第二章 基本初等函数（）指数与指数幂的运算1一般地，如果 ，那么 x 叫做 的 次方根，nxaan其中 ，且 nN2 n 为奇数： 的 次方根有一个。记作 .nna为负数an 为偶数：负数没有偶次方根。n 为奇数： 的 次
11、方根有一个。记作 .an为正数n 为偶数： 的 次方根有两个。记作n.na0 的 次方根为 0.记作 =0.0n3根式的性质： =a 为奇数时，nn,0 为偶数时， |na,a4正数的正分数指数幂的意义：.=0,1mnanN， 且正数的负分数指数幂的意义：.-1,nma， 且0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义。5有理数指数幂的运算性质： ;,rsrsaQ ;0,srr .0,rrabbrQ指数函数1一般地，函数 y=ax（a 0,且 a1）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R。2一般地，指数函数 y=ax（a0,且 a1）的图像和性质如下表所示。0a1 a1
12、图 像-10 -5 5 10 15108642-2-4-6-8-10-15 -10 -5 5 10 15108642-2-4-6-8-10定义域 R值 域 （0，+）过定点（0，1） ，即 x=0 时，y=1在 R 上是减函数 在 R 上是增函数性 质当 x0 时，y1当 x0 时，0y1当 x0 时，0y1当 x0 时，y13判断指数函数的底数大小的方法：在第一象限内，从x 轴开始，逆时针方向查找，先看到的图像底数最小，最后看到的图像底数最大。4注意：指数函数只能为一个自变量的形式；底数必须大于零且不等于一；幂的系数只能为一。5规定 a0,且 a1 的原因：当 a0 时，如 a=-2,x=1
13、/2 时，则该式无意义；当 a=0 时，0 x 中当 x0 时，该式无意义；当 a=1 时，1 x=1 没有研究价值。对数与对数的运算1 一般地，如果 ax=N（a 0,且 a1） ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作：log aN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数。2 通常我们将以 10 为底的对数叫做常用对数，并把log10N 记为 lg N.在科学技术中常使用以无理数e=2.71828 为底的对数，以 e 为底的对数称为自然对数，并且把 logeN 记为 ln N.3 零和负数没有对数。对数的性质 log a1=0log aa=14 对数与指数间的关系：当 a0，a1
14、时，a x=N x= logaN5名称辨别：名 称式 子a b c指数式 ab=N 底数 指数 幂对数式 b=logaN 底数 对数 真数5 对数的运算性质：如果 a0，且 a1，M0，N 0，那么： loga(MN)=logaM+logaN =logaM-logaNlog =nlogaM (nR)n = logabnmal =NNalog logaaN=N logab= (c0,且 c1）balog6 引申：log ablogbclogcdlogde=logaelog ablogba=1log ab +log =01log ab = alog对数函数1 一般地，我们把函数 y=logax（a
15、0,且 a1）叫做对数函数。其中 x 是自变量，函数的定义域是（0，+） 。2 一般地对数函数 y=logax（a0,且 a1）的图像和性质如下表所示。0a1 a1图像定义域 （0，+ ）值域 R过定点（1，0） ，即 x=1 时 y=0在（0，+）上是减函数在（0，+ ）上是增函数性质当 0x1 时，y0当 x1 时，y0当 0x1 时，y0当 x1 时，y03 补充：关于 x 轴对称点（a,-b）M(a,b) 关于 y 轴对称点（ -a,b）关于原点对称点（-a,-b）关于直线 y=x 对称点（b,a）4 当底数相同时，指数函数与对数函数互为 反函数 反函数。互为反函数的两个函数图像关于直
16、线y=x 对称。幂函数1 一般地，函数 y=x 叫做幂函数。其中 x 是自变量， 是常数。2 规定：=1 或 2 或 3 或 1/2 或-13 所有幂函数在区间（0，+）上都有意义，并且函数图像都过点（1，1） 。幂函数 y=x 的性质 若 0，幂函数图像都过点（0，0） ， （1，1） ，并且在区间0，+）上是增函数。若 0，幂函数在（0，+）上是减函数，当 x 从右方趋向于 0 时，图像在 y 轴右方无限逼近 y 轴，当 x 轴趋向于+时，图像在 x 轴上方无限逼近 x 轴。4.y=x y=x2 y=x3 12yy=x-1定义域 R R R 0，+） （-，0） （0，+）值 域 R 0，
17、+） R 0，+） （-，0） （0，+）奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数单调性 增函数 （-，0减函数0，+）增函数 增函数 增函数 减函数（-，0） （0，+）公共点 均过点（1，1） ，且前四个图像还均过点（0，0）5.图像.y=x 1 1.510.5-0.5-1-1.5-2 -1 1 2 3y=x 2 108642-2-4-10 -5 5 10y=x 3 4321-1-2-3-4-6 -4 -2 2 4 6 2yx4321-1-2-3-4 -2 2 4 6y=x -1 4321-1-2-3-4-6 -4 -2 2 4 6第三章 函数与方程一、方程的根与函数的零点1.
18、关于 x 的实系数一元二次方程 ，设 ， 20axbc2(),0fxabcxRa方程有根的等价条件是 x0； 恒成立的等价条件是 ；()0f 恒成立的等价条件是 ；()fx0a一根为正，一根为负的等价条件是 ；120cxa两根为正的等价条件是 ；120bxca两根为负的等价条件是 ；120bxca一根为正，一根为零的等价条件是 ；120()fbxa一根为负，一根为零的等价条件是 ；120()fbxa两根均大于 m 的等价条件是 ；1200xm两根均小于 m 的等价条件是 。1200bxma2.设判别式 ，则有：24bac当 时，一元二次方程有两个不等的实数根 ，相应的二次函数的图像与 x 轴有
19、两个交点012,x；12,x当 时，一元二次方程有两个相等的实数根 ，相应的二次函数的图像与 x 轴有唯一的交点12x；1,0x当 时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图像与 x 轴没有交点。3.零点：对于函数 ，我们把使 的实数 x 叫做函数 的零点。()yfx()0fx()yf4.方程 有实数根 函数 的图像与 x 轴有交点 函数 有零点。()0fxy5.求函数零点的方法：代数法（解方程） ；几何法（图像法） ；6.求函数零点的步骤：令 ；解方程 ；写出零点。()0fx()0f7.一般地，我们有：如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有y,ab，那么，函数 在区间 内
20、有零点，即存在 ，使得 ，这个()0fab()fx,cab()0fcc 也就是方程 的根。()fx二、用二分法求方程的近似解1.二分法：对于在区间 上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的,ab()0fab()yfx()fx零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。2.给定精确度 ，用二分法求函数 零点近似值的步骤如下：()fx确定区间 ，验证 ，给定精确度 ；,ab0fab求区间 的中点 c；计算 ；()fc若 ，则 c 就是函数的零点；若 ，则令 （此时零点 ） ；()0fabc0,xac若 ，则令 （此时零点 ） 。()0fcbac0,xcb判断是否达到精确度 ：即若 ，则得到零点近似值 （或 b） ；否则重复第 步。|ba三、函数模型及其应用1.常数函数 不增长；0y2.一次函数 匀速增长；()kxb3. 函数 增长，增长速度因 的不同而不同；y4. 函数 增长，增长速度越来越快，最后成爆炸式增长；(1)xa5.函数 增长，增长速度越来越慢，最后几乎不增长。logy6.当 时，总会存在一个 ，当 时，有 。,0n0x0logxnxa7.当 时，总会存在一个 ,当 时，有 。1ax8.利用现有函数模型解决实际问题；建立确定的函数模型解决问题；建立拟合函数模型解决问题。
