1、1立体几何知识点一、空间几何体1.多面体：由若干个多边形围成的几何体，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.2.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做底面,其余各面叫做侧面. 3.棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥。正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心。4
2、.棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似的正多边形5.旋转体：由一个平面图形绕一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴，6.圆柱、圆锥、圆台：分别以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。圆柱、圆锥、圆台的性质：平行于底面的截面都是圆；过轴的截面(轴截面)分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。 注：在处理圆锥、圆台的侧面
3、展开图问题时，经常用到弧长公式 Rl7.球:以半圆的直径为旋转轴，旋转一周所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体(简称球)8.简单空间图形的三视图：一个投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到这个平面内的图形叫做俯视图。一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面，投影到这个平面内2的图形叫做主视图(正视图)。和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，投影到这个平面内的图形叫做左视图(侧视图)。三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形。（1）.三视图画法规则：高平齐：主视图与
4、左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等（2）.空间几何体三视图：正视图（从前向后的正投影） ；侧视图（从左向右的正投影） ；俯视图（从上向下正投影） 例题 1.某四棱 锥底面为直角梯形，一条侧棱与底面垂直，四棱锥的三视图如右图所示，则其体积为 例题 2.右图是底面为正方形的四棱锥，其中棱 垂直于底面，它的三视图正确的是（ ）PA来源 :学| 科| 网 Z|X|X|K来源:学_科_网（3）.空间几何体的直观图斜二测画法特点：斜二测坐标系的 轴与 轴正方向成 角；原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行,长度yx45不变；原来与 y 轴平行的线段仍然
5、与 y 平行，长度为原来的一半常用结论：平面图形面积与其斜二侧直观图面积之比为 ：12例如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45，腰和上底均为 的等1腰梯形，那么原平面图形的面积是( )正视图侧视图俯视图1112DCBA 主主主主主主主主主主主主主PDCBA3A2 B C D21主2主2主19.特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高， 为斜高，l 为母线）：hcS直 棱 柱 侧 面 积 rS圆 柱 侧 2chS正 棱 锥 侧 面 积 rlS圆 锥 侧 面 积)(21正 棱 台 侧 面 积 lR)(圆 台 侧 面 积 lr圆 柱 表 圆 锥 表S =2Rlr圆 台 表
6、球 面 2410.柱体、锥体、台体和球的体积公式：VSh柱 2Vhr圆 柱 13Vh锥 hrV231圆 锥1()3台 22()()SR圆 台V =球 4R例题3: 已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形例 4.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是（ ）A B C D16202432例 5半径为 R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为_.练习：1. 已知一个几何体的三视图及其大小如图 1,这个几何体的体积 V( )A 12B 16C 18D 64
7、 Main Document Only. 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 （ ）. 32.16 C. 2D. 82. 某几何体的三视图如图所示,其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是 （ ）A 203B6C 10D 163侧（左）视图 421俯视图2正（主）视图（第 3题图）24侧（左）视图正（主）视图俯视图443. 一个几何体的三视图是三个边长为 1的正方形和对角线,如图所示,则此几何体的体积为( )A16B13C56D14.一个空间几何体的三视图如图所示,根据图标出的尺寸,可得这个几何体的体积为( ) A B C D4812245.若一个
8、底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为 （ ） 侧侧侧侧侧侧侧侧侧3 34A B6 C D1232736二、 立体几何点 线 面的位置关系平行关系平面几何知识线线平行线面平行 面面平行垂直关系平面几何知识线线垂直线面垂直 面面垂直判定 性质 判定推论性质判定判定 性质判定面面垂直定义1. ,/aba2. /3. ,/4. /5. , 平行与垂直关系可互相转化例 1 如图，在正四棱柱 中，E、F 分别是 的1ABCD1ABC、5中点，则以下结论中不成立的是( ) A B. 1EFB与 垂 直 EFD与 垂 直C. D. 与 C异 面 1与 AC异 面例 2.已
9、知 是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）,mn,A B,mn若 则 ,若 则 C D若 则 ,mnn若 则 练习：1.设直线 与平面 相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ）mA在平面 内有且只有一条直线与直线 垂直 B过直线 有且只有一个平面与平面m垂直C与 直线 垂直的直线不可能与平面 平行 D与直线 平行的平面不可能与平面 垂直2.设 为两条直线, 为两个平面,下列四个命题中，正确的命题是( )ab， ，A若 与 所成的角相等，则 B若 ， ， ，则， ab a b abC若 ， ， ，则 D若 ， ， ，则 3.给出下列四个命题: 垂直于同一直线的两条直线互相平行
10、.垂直于同一平面的两个平面互相平行. 若直线 与同一平面所成的角相等,则 互相平行.12l 12,l若直线 是异面直线,则与 都相交的两条直线是异面直线. 12,l其中假命题的个数是（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)44.设 为平面， 为直线，则 的一个充分条件是( )、 lnm、 m(A) (B) ,(C) (D) mn5设 m、 n是不同的直线, 、 、 是不同的平面,有以下四个命题:6 若 /, 则 / 若 , /m,则 若 /m,则 若 /n,则 /其中真命题的序号是（ ）A B C D三、线线平行的判断： （1）三角形中位线定理；（2）构造平行四边形，其对边平行；（3）对应线
11、段成比例，两直线平行； （4）平行于同一直线的两直线平行；（平行的传递性）（5）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；（线面平行的性质）（6）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，所得交线平行；（面面平行的性质）（7）垂直于同一平面的两直线平行；（线面垂直的性质）线面平行的判断： （1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。例 1、 （三角形中位线定理）如图，在正方体 中， 是 的中点，求证：1ABCDE1A平面 。/ACBDE证明：连接 交 于 ，连接
12、 ，OE 为 的中点， 为 的中点1AC 为三角形 的中位线 EO1/又 在平面 内， 在平面 外BD1BDE 平面 。 1/AC例 2、 （证明是平行四边形）已知正方体 ， 是底 对角线的交点.求证：1ACBDOABCC1O面 ； 1BD证明：（1）连结 ，设 ，连结1AC11BDO1A1E D1C1B1 DCB A D1ODBAC1B1A1C7 是正方体 是平行四边形1ABCD1ACA 1C1AC 且 又 分别是 的中点，O 1C1AO 且,O1,A1OA是平行四边形 面 ， 面 C 1O面 11,A BDC1B1ABD3、面面平行的判断： （1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平
13、面，这两个平面平行。（2）垂直于同一条直线的两个平面平行。例 4、如图，在正方体 中， 、 、 分别是1ABCDEFG、 、 的中点.求证：平面 平面 .ABD1 BD证明： 、 分别是 、 的中点， EF又 平面 ， 平面 平面FGBGEF 四边形 为平行四边形， 11 1G又 平面 ， 平面 平面 ， 平面 平DEDBD1EF1DEF面 B练习：1、 （利用三角形中位线）如图,已知四棱锥 的底面 是菱形, 平面 , PACPABC点 为 的中点.求证: 平面 ;FPC/BDF2、 （构造平行四边形）如图,在三棱柱 中,每个1ABC侧面均为正方形, 为底边 的中点, 为侧棱 的中点，求证:
14、平面 ;DE1CD1AEBDBCEB1C1AA1AFPDCB83、 （线面平行的性质）如图，四面体 ABCD被一平面所截，截面 EFGH是一个矩形.求证： CD平面 EFGH.（1）证明：截面 EFGH是一个矩形， EF GH， 又 GH平面 BCD. EF面 BCD，而 EF面 ACD，面 ACD面 BCD=CD. EF CD， CD平面 EFGH.4 （对应线段成比例，两直线平行，面面平行得到线面平行）如下图，设 P为长方形 ABCD所在平面外一点， M、 N分别为 AB、 PD上的点，且 = ，求证：直线 MN平面 PBC。MBANPD ND CBMAP分析：要证直线 MN平面 PBC，
15、只需证明 MN平面 PBC内的一条直线或 MN所在的某个平面平面 PBC 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j证法一：过 N作 NR DC交 PC于点 R，连结 RB，依题意得= = = = NR=MB 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jNRDCPMBABDC NR DC AB，四边形 MNRB是平行四边形 MN RB. 又 RB 平面 PBC，直线 MN平面 PBC 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j证法二：过 N作 NQ AD交 PA于点 Q，连结 QM，CABEH FGD9A BCDA BCDEF = = ， QM PB 头htp:/w.xjkyg
16、com126t:/.j又 NQ AD BC，平面 MQN平面 PBC 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j直线 MN平面 PBC 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jMBANPDQ5、 （中位线定理、平行四边形）如图，四棱锥 PABCD 的底面是平行四边形，点 E、F 分 别为棱 AB、 PD 的中点求证：AF平面 PCE；分析：取 PC的中点 G，连 EG.，FG，则易证 AEGF是平行四边形6、 （平行的传递性）已知正方体 ABCD-ABCD中，E，F 分别是 AB，BC的中点。求证：EF 面 ADC。四、立体几何垂直总结1、线线垂直的判断： 线面垂直的定义：若一直
17、线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。2、线面垂直的判断： （1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。EFBACDP（第 1 题图）10ECA BDP（4）如果两个平面垂直，那么在个平面内垂直于交线的直线必垂直于另个平面。3、面面垂直的判断： 一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。证明线线垂直的常用方法：例 1、 （等腰三角形三线合一）如图，已知
18、空间四边形 中， ， 是ABCD,ADBE的中点。求证：（1） 平面 CDE;（2）平面 平面 。 ABABE证明：（1）同理，CE又 平面EDCD（2）由（1）有 平面AB又 平面 ， 平面 平面CEAB例 2、 （菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥 PABCD的底面是菱形 ， E为 P的中点 （）求证： 平面 E；（）求证：平面PDPC平面 AB例 3、(线线、线面垂直相互转化)已知 中 ,ABC90 SA面 , ,求证： 面 ABCDSS证明： 90 又 面 面 AS又 面 ,SCBADBC例 4、(直径所对的圆周角为直角)如图 2 所示，已知 垂直于圆PO 在平面，
19、是圆 O 的直径， 是圆 O 的圆周上异于 、 的AB任意一点，且 ，点 是线段 的中点.求证： 平PCECAEAEDB CSDCBA CBPEOA图 211面 .PBC证明： 所在平面， 是 的弦， .AOBCOABCPA又 是 的直径， 是直径所对的圆周角， .C 平面 ， 平面 .,P 平面 ， 平面 ， .BCAEPAEB ，点 是线段 的中点. .CC , 平面 ， 平面 .PB 平面 . AE例 5、 （证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是等腰梯形，ABCD，DAB 60，AE BD，CBCDCF. 求证：BD平面 AED；证明 因为四边形 ABCD 是等腰
20、梯形，ABCD，DAB60，所以ADCBCD120.又 CBCD ，所以CDB30，因此ADB 90，即 ADBD.又 AEBD，且 AEAD A，AE，AD平面 AED，所以 BD平面 AED.例 6、 （勾股定理的逆定理）如图 775 所示，已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC 为等腰直角三角形，BAC90，且 ABAA 1，D、E、F 分别为 B1A、C 1C、BC 的中点求证：(1)DE平面 ABC； (2)B1F平面 AEF.12例 7、 （三垂线定理）证明：在正方体 ABCDA 1B1C1D1中，A 1C平面 BC1D证明：连结 AC AC 为 A1C 在平面 AC 上的射影
21、BD BD111同 理 可 证 平 面练习；1、 如图在三棱锥 PABC 中，ABAC，D 为 BC 的中点，PO平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD 上.证明：AP BC；2、直三棱柱 ABCA 1B1C1中，ACBC AA1，D 是棱 AA1的中点，DC 1BD.证明：12DC1BC 。3如图，平行四边形 ABCD 中，DAB60，AB2，AD4.将CBD 沿 BD 折起到EBD 的位置，使平面 EBD平面 ABD.(1)求证：ABDE；(2)求三棱锥 EABD 的侧面积4、在正三棱柱 中，若 AB=2， ，求点1CBA1AA 到平面 的距离。1D1 C1 A1 B1 D C A B 1
22、35、如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PA 垂直于底面，E 、F 分别是 AB、PC 的中点，PAAD .求证：(1)CDPD ；(2)EF平面 PCD.五、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当( 时， ； 当 时，tank 90,k180,9； 当 时， 不存在。09
23、k过两点的直线的斜率公式： 注意下面四点：(1)当 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；21x(2)k 与 P1、P 2 的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式： 直线斜率 k，且过点)(1xky1,yx注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是 y=y1。当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。斜截式： ，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 bb两点式：（ ）直线两
24、点 ，12,xy1,x2,截矩式： 其中直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,即 与 轴、 轴的截距分别为 。l(0)a(0)blxy,ab一般式： （A， B 不全为 0）C注意：1 各式的适用范围 )(21xy142 特殊的方程如：平行于 x 轴的直线： （b 为常数） ； 平行于 y 轴的直线： （a 为常数） ； yx（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线 （ 是不全为 0 的常数）的直线系： （C 为常数）00CyBA0, 00BA（二）过定点的直线系（）斜率为 k 的直线系： ，直线过定点 ；xk0,yx（）过两条直线 ， 的交点的直线系方程为 :
25、11xl:22CyBAl 021yxAyx（ 为参数） ，其中直线 不在直线系中。2l（5）两直线平行与垂直当 ， 时， ；11:bkyl:bkyl2121,/bkl211kl注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（6）两条直线的交点相交0:11CBxAl 0:22CBxAl交点坐标即方程组的一组解。方程组无解 ； 方程组有无数解 与 重合/1l2（7）两点间距离公式：设 是平面直角坐标系中的两个点，则 12(,),y， （ ） 2211|()ABxy（8）点到直线距离公式：一点 到直线 的距离0xP0:1yxl（9）两平行直线距离公式：在任一直线上任取一点，再转化为点到
26、直线的距离进行求解。六、圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1）标准方程 ，圆心 ，半径为 r；22rbyaxba,（2）一般方程 0FED当 时，方程表示圆，此时圆心为， 半径为42当 时，表示一个点； 当 时，方程不表示任何图形。042FE（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出 D，E，F ；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相
27、离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线 ，圆 ，圆心 到 l 的距离为 ， 则有0:CByAxl22:ryxbaC,； ；相 离与rd相 切与lrd相 交与ld（2）设直线 ，圆 ，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中:a的判别式为 ，则有 ； ；相 离与l相 切与l0相 交与l0注：如果圆心的位置在原点，可使用公式 去解直线与圆相切的问题，其中 表示切点坐标，r2ryx 0,yx表示半径。(3)过圆上一点的切线方程：圆 x2+y2=r2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为 (课本命题)20ryx圆(x-a) 2+(y-b)2=r2，圆上一
28、点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广)4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆 ，2121:rbyaxC22:RbaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。011Cyx20d,r4212BACbad15当 时两圆外离，此时有公切线四条；rRd当 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当 时，两圆内含； 当
29、 时，为同心圆。rd0d直线与圆数学练习题1过点 且垂直于直线 的直线方程为（ ）(,3)P32yxA B C D02yx5052yx 072yx2已知过点 和 的直线与直线 平行，,m(,4)1则 的值为（ ）A B C D8203已知点 ，则线段 的垂直平分线的方程是（ ）(1,2)3,AA B C D54yx54yx52yx52yx4两直线 与 平行，则它们之间的距离为（ ）0610mA B C D 2133271025若动点 到点 和直线 的距离相等，则点 的轨迹方程为（ ）P(,)F40xyPA B C D360xy330xy320xy6已知点 ，若直线 过点 与线段 相交，则直线
30、的斜率 的取值范围是（ (2,),)l(1,)PABlk）A B C D 34k324k324k或 2k7与直线 平行，并且距离等于 的直线方程是_ _ 52yx8点 到直线 的距离是_.(1,)P109点 在直线 上，则 的最小值是_.xy4xy2xy10求经过直线 的交点且平行于直线03:,532:21 ll 032yx的直线方程。16 的圆心坐标与半径分别为（ ）22:(4)()9CxyA， ， ， ，(),9B,3()C4,23()D4,29圆心为 且与直线 相切的圆的方程为（ ）(3)450xy()A22xy()22()yC()16D3416x圆 的周长和面积分别为（ ）2233xy
31、()A6,19()B,()C26,()D23,9若点 在圆 的内部,则实数 的取值范围是( ) 221xym()0m()0()0105自点 作圆 的切线，则切线长为（ ）1,4A223xy()()B3C()D56 圆 上的点到直线 的距离最大值是（ ）0122yx2yxA 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 7已知两圆方程为 ，则两圆的位置关系是2 280,410yA 内切 B 外切 C 相交 D 相离8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 求直线 被圆 所截得的弦长 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 01y0122yx9 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知两圆 ，046,22 yxyxy求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j
