1、Page 1 of 9高中数学必修 1 知识点第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4)集合元素的三个特性使集合本身具
2、有了确定性和整体性。3、集合的表示： 如我校的篮球队员 ，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋1用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,52集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集R关于“属于”的概念：集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A 记作 aA ，相反，a 不属于集合 A 记作 aA列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某
3、些对象是否属于这个集合的方法：语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式 x-32 的解集是x R| x-32或x| x-324、集合的分类：1有限集 含有有限个元素的集合2无限集 含有无限个元素的集合3空集 不含任何元素的集合 例：x|x2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意： 有两种可能（1）A 是 B 的一部分， ；（2）A 与 B 是同一集合。B反之： 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A2 “相等”关系(55，且 5 5，则 5=5) 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同”结论：对于两
4、个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，我们就说集合 A 等于集合 B，即：A=BPage 2 of 9 任何一个集合是它本身的子集。A A真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A)如果 AB, BC ,那么 AC 如果 AB 同时 BA 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1、交集的定义：一般地，由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作
5、AB(读作A 交 B)，即 AB=x|xA，且 xB2、并集的定义：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集。记作：AB(读作A 并 B)，即 AB=x|xA ，或 xB 3、交集与并集的性质：A A = A, A= , AB = BA，AA = A,A= A ,AB = B A.4、全集与补集（1）补集：设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集（即 ） ，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的 集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作： CSA 即 CSA =x xS 且 xA（2）全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，
6、这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。（3）性质：CU(C UA)=A (C UA) A= (CUA)A=U四、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意：如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使
7、这个式子有意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. SCsA APage 3 of 9(6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)构
8、成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备)值域补充:（1） 、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. （2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。2. 函数图象知识归纳(1)定义：
9、在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x，y)，均在 C 上 . 即记为 C= P(x,y) | y= f(x) , xA 。图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2)画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以(x,y) 为
10、坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法（请参考必修 4 三角函数）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。3. 了解区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示4什么叫做映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B
11、 的一个映射。记作 “f：A B”给定一个集合 A 到 B 的映射，如果 aA,b B.且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象Page 4 of 9说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合 A、B 及对应法则 f 是确定的；对应法则有“方向性” ，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的；对于映射 f：A B 来说，则应满足：（）集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；（ ）集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；（）不要求集合 B
12、中的每一个元素在集合 A 中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一 1个图形是否是函数图象的依据；解析法：必须注明函数的定义域； 2图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的 3特征；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征 4注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数 ：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同
13、的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况 （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集补充二：复合函数：如果 y=f(u),(uM),u=g(x),(x A), 则 y=fg(x)=F(x)，(x A) 称为f、g 的复合函数。例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)5函数单调性（1）增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1axnxan1，且 *nN当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数此
14、时， 的a次方根用符号 表示式子 叫做根式（radical） ，这里 叫做根指数（radical nanexponent） ， 叫做被开方数（radicand ） 当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数 的正的次方根用符号 表示，负的 次方根用符号 表示正的 次方根与负的 次方nnnnann根可以合并成 （ 0） 由 此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是a0，记作 。n注意：当 是奇数时， ，当 是偶数时，n2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推
15、广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3实数指数幂的运算性质（1） rasr（2）（3） 二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数（exponential function） ，其中 x 是自变量，)1,0(ayx且函数的定义域为 R)1,0(*nNmanm )1,0(*nNmanm)0(|),(Rsrasrb)(Page 7 of 9注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 12、指数函数的图象和性质a1 01 0a1图象特征 函数性质a1a0a1a0函数图象都在 y 轴右侧 函数的定义域为（0，）图象关于原点和 y 轴不
16、对称 非奇非偶函数向 y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为 R函数图象都过定点（1，0） 1loga自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降 增函数 减函数第一象限的图象纵坐标都大于 0第一象限的图象纵坐标都大于 00l,xa 0log,1xa第二象限的图象纵坐标都小于 0第二象限的图象纵坐标都小于 0og1四）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数xy)(RabclN()mnlblog5lPage 9 of 92、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1） ；（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数特别地
17、，当),0时，幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；10（3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数在第一象限内，当 从右边趋向),(x原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无yyx限地逼近 轴正半轴x第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数)(Dxfy0)(xfx的零点。)(Dxfy2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的) )(fy图象与 轴交点的横坐标。即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有0(f)(fy交点 函数 有零点)(fy3、函数零点的求法：求函数 的零点：x（代数法）求方程 的实数根； 1 0)(f（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来， 2 )(xfy并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数 )0(2acbxy），方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二x次函数有两个零点），方程 有两相等实根（二重根） ，二次函数的图象与 轴有一2个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点），方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无0cbxax零
