1、 本科生毕业论文（设计）整体思想在数学中的应用The whole idea in the junior middle school mathematics application学院名称： 曲阜师范大学 专 业： 数学教育 姓 名： 孙凌东 2014 年 月整体思想在初中数学中的应用专业班级：数学教育 学生姓名：孙凌东摘要 整体思想是最常用、最基本的数学思想之一，它是研究问题的整体形式、整体结构，并对其进行调节和转化，使其简单化的的一种方法。它是数学解题的一种重要策略，是提高解题速度的一种重要途径。关键词：整体思想；观察全局；整体代入；整体换元；局部补全；整体构造；化零为整The whole
2、idea in the junior middle school mathematics applicationAbstract:：The whole idea is the most commonly used, one of the most basic mathematical thought, it is the overall form of the research question, the overall structure, and carries on the adjustment and transformation, so that it is a method of
3、simplified. It is an important strategy of the solving mathematics problem, is an important way to improve the problem solving speed.Key words： The whole idea; Observe the global; As a whole generation into; As a whole in yuan; Partial completion; The overall structure; To rectify曲阜师范大学 2014 年毕业论文 整
4、体思想在数学中的应用1目 录第一章 引言 3第二章 整体思想在代数中的应用 42.1 观察全局 42.2 整体带入 42.3 整体换元 52.4 整体构造 6第三章 整体思想在几何中的应用 73.1 局部补全 73.2 数形结合 73.3 化整为零 8结论 9参考文献 9曲阜师范大学 2014 年毕业论文 整体思想在数学中的应用2第一章 引言数学课的教学，是使学生获得基础知识和基本技能，从而形成解决问题的能力的过程，数学思想的培养，直接影响了学生后续学习的质量和水准。初中数学的教学就是要使学生获得知识技能和一些数学学习的基本思想，从而为接受更高教育的学习做好准备。初中学生的理解和接受能力是有限
5、的，所以教学中所涉及到的数学思想也是普遍和易懂的。在数学思想的培养过程中，很少有老师单纯未了教授数学思想而刻意单独做文字阐述，而基本上是在一些特定的情境或者以例题、习题的为载体，通过解决问题或者解答题目逐步渗透数学思想。从而通过较长一段时间的该方式的教学，是学生能够形成以一定的思想为指导解决问题的方法。教学中教会学生建立数学思想，掌握思想方法，可以使学生在解题时，寻求出已知和未知的练习，提高学生分析问题的能力，从而使学生的思维品质和能力有所提高。或许直到初三毕业，好多学生也不能叙述到底有哪些数学思想，也说不出某某数学思想到底是什么含义，但是他们能够对很多例题或者习题的内容加以分析，进而利用长期
6、锻炼出来的数学思想来解决，这就是培养数学思想最朴素的目的。人们在研究某些数学问题时常常有意识地放大考察问题的视角,把将要解决的问题看作是一个整体,通过研究问题的整体形式,从而达到顺利而又简捷的解题目的。它就是我们经常应用的整体数学思想。整体数学思想是一种重要的数学观念,一些数学问题若拘泥于常规,则举步维艰。若从整体考虑则会“柳暗花明”一举成功,顺利解题。下面，我将对数学思想中的整体思想进行举例说明。曲阜师范大学 2014 年毕业论文 整体思想在数学中的应用3第二章 整体思想在代数中的应用2.1 观察全局我们说观察全体就是从全局上对题目中给出的已知条件进行观察分析、综合考虑，进而求得问题的结果。
7、例 1 已知 a -2a-1=0,求 a -2a +a -4a-2 的值。2432分析：考察所求的表达式，其中既有一次方、二次方又有三次方、四次方看似复杂，无从下手，由 a =2a+1,可将表达式变形为：2原式=a a -2a+1-2a+1+2a+12=2 a -2 a 2=02.2 整体带入做题时我们发现有些题目，如果孤立地利用已知条件，问题也许可以得到解决，但解题过程比较复杂；而如果把已知条件看作一个整体，直接或变形以后代入求解，问题就会变得容易很多。例 2 若 a2-2a=b2-2b=1,且 a b,则 + =-b分析：本题若按常规解法，从已知条件中解除 a、b 的值，代入计算就太繁了。
8、运用整体思想，则可考虑 a、b 是方程 x2-2x=1 的两个解，由韦达定理可得：a+b=2,ab=-1,+ = = =-6ab22)(例 3 已知 + =3，求 的值。x1yyx3分析：把 + =3 变形得：x+y=3xy而 = = =yx23xy)(34曲阜师范大学 2014 年毕业论文 整体思想在数学中的应用4例 4 若 + +2 +1=0，则 + -| |=（） 。132a2b2a1b分析：根据非负数的性质先求出 + 、| |的值，再代入计算即可。2解： + +2 +1=0，132a2b + =0，)( ，0,2 ， ，7132aa1b + -| |=7-1=6.2b故答案为：6.2.
9、3 整体换元有些数学问题看似结构复杂,计算繁难,很难直接求解,但若通过恰当整体换元,把问题作整体变换,问题就会巧妙地化繁为简,化难为易。整体换元就是通过研究新元性质来解决问题。此法常用于分解因式及解方程。例 5 分解因式（x 2-3x+2）(x 2-3x-4)-72分析：根据题目的形式特征，我们可以把某一部分看作一个整体，运用整体换元，把原方程化为形如 x2+px+q 的二次三项式，进一步用十字相乘法，最后注意分解要彻底。如果把（x 2-3x+2）和(x 2-3x-4)相乘，将得到一个四次多项式，这时再分解就困难了。例 6 解方程 3x -6x-2 +4=0242x分析：如果先移项，两边平方，
10、方程变形为一个四次方程，题目就难解了，注意到 ，3（ x2-2x）,设 为 y，原方程变形为 3y2-2y-42x 42x8=0,再从中解得 y 回代得 x。例 7 一个五位数 的 2 倍与 相等，求此五位数。abcd8abcd分析：此题若想分别求出 a、b、c、d 的得数很难，换个角度，观察这两个数的异同点，我们可以把 看作一个整体就可以很快求出这个数。解：设四位数 =x,则所求五位数为 3 +x410由题意得 2（3 +x）=10x+8410曲阜师范大学 2014 年毕业论文 整体思想在数学中的应用560000+2x=10x+88x=59992x=7499即所求五位数为 374992.4
11、整体构造整体构造，就是根据已知条件和所求，整体构造相应的式子，通过对两个式子的联合研究来解决问题 有些问题直接去求，无从下手，但通过整体构造后，就能迅速得出答案。例 8 若 、 是方程 x -3x-5=0 的两个根，则 2+2 2-3 的值是（）2 A 21 B 24 C 27 D 29分析：构造对偶式 2+2 2-3 =A， 2+2 2-3 =B则 A+B=3（ 2+ 2）-3（ + ）=3（ 2+ 2） 2-2 -3( )=48A-B= 2- 2-3( )=( )( )-3( )=( )( -3)=0A=24,故选 B。例 9 若方程组 的解为 ，且 2 4,则 的取值范围是,31yxky
12、x,kyx（）分析：解方程组用 分别表示出 ，进而用 表示出 ，利用 2 4，可k, k得解。在此，若把 看作整体，通过观察-就可得出 。 yx曲阜师范大学 2014 年毕业论文 整体思想在数学中的应用6第三章 整体思想在几何中的应用3.1 局部补全有些题目的设条件仅提供一个局部图形，来混学生的思维，但如果把局部图形补全，通过对整体图形的研究，从而突出问题本质，找到简洁的解法或证法。例 10 ：如图，在四边形 ABCD 中，AB=2，CD=1， =90 ，求四边形DB。ABCD 的面积。分析：当我们看到四边形 ABCD 时，会觉得这个问题很很难求解，如果把看成一个局部图形，通过作辅助线，延长
13、AD 和 BC交于点 E，此问题就很容易解决了。例 11 已知如图，AO 是 中 的平分线，BDAO 的延ABC长线于点 D，E 是 BC 的中点。求证：DE= （AB-AC） 。21分析：观察图形，AO 是 的平分线，ADBD，BAC易想到凹五边形 ABDOC 是等腰ABF 的一部分，整体补形后，D 是 BF 的中点就很明显，问题就可以快速解决。证明: 延长 BD、AC 相交于点 FAD 平分 ，ADBDABF 是等腰三角形，且 AB=AF，BD=DFBFEC，DE 是BCF 的中位线DE= CF= （AF-AC）21= （AB-AC）213.2 数形结合所谓数形结合，就是通盘考虑题设条件，
14、构造相应图形来帮助解题。一些代数问题仅仅用代数的知识去解题，则问题就化难为易了。例 12 已知，0a1 ，0b1,求证： + + +22)(ba2)1(bOHEB CA DGFDA BCEE 0DCAB F曲阜师范大学 2014 年毕业论文 整体思想在数学中的应用722)1()(ba分析：若直接去证，则太繁，通过整体考虑，可以构造一个正方形来证明这个式子。解：作边长为 1 的正方形，分别 AB，AD 上取一点 F，G，使 AG=a,AF=b,过 G，F分别作 GEAB，FHAD,分别交 BC，DC 于 E,H，设 GE 与 FH 相交于于 0，连接AO，BO，CO，DO，则：AO ， BO2b
15、a22)1(baCO ，DO)1(AOCO AC BODO BD 两式相加，即得证。223.3 化整为零化零为整，就是化部分为整体，避免分散计算处理。在很多几何习题中，如果把所求部分进行单个计算，就不能使问题获解，只有把所求部分看作一个整体，进行合理转化，才能得出答案。例 10 如图，矩形 ABCD 中，AB=6，AD=8，P 是 BC 上一点，PEBD 于E，PFAC 于 F，求 PE+PF 的长。分析：由已知条件并不能求的 PE、PF的长，我们把 PE+PF 的值看成一个整体。由题设条件可知：RtBPERtBDC，= ，RtCPFRtCAB， =6E10B6PF， = = ，PE+PCPF
16、10C8F=4.8例 13 已知五个半径为 1 的圆的位置如图所示，各圆心的连线构成一个五边形，求阴影部分的面积。分析：由于五边形不具备特殊性，因此各个扇形的圆心角的度数均未知，从而不能分别求出各个扇形的面积，为此，要求阴影部分的面积就要将几个阴影部分的（五个扇形）整体考虑。注意到五边形内角和为 7200，又因为各个扇形的半径相等，所以阴影部分的面积为两个半径为 1 的圆的面积。DE FCAB P曲阜师范大学 2014 年毕业论文 整体思想在数学中的应用8结 论整体的思想方法的中学数学里体现是很充分的.众所周知，数学概念是对一类客观现象经过整体性思考，抽象、概括而形成的；数学运算法则则是从同一
17、类运算实践的整体中，经过归纳、概括建立起来的；解答数学问题是纵观条件和结论的整体情境之后，通过对数学方法的运用环节调节而求得结果的；数学的各个分支之间、空间形式与数量关系之间，又表现出高度的协调一致，呈现着和谐的数学美.这一切说明数学是一个有机的整体。在数学解题中,掌握“整体”思想方法,不仅能提高解题效率,而且有利于培养学生良好的思维品质。参考文献：1数学课程与教学论新编M,江苏教育出版社。2数学方法论与解题研究M,高等教育出版社。3怀泉冰， “整体”思想在数学解题中的作用， 大理学院学报J，2004 年。4马小珍，用整体思想求解初中数学问题， 甘肃教育J，2009 年第 7 期。5张淑红，巧用整体思想破解初中数学竞赛题， 中学数学杂志J，2006年第 8 期。
