2019高考理科数学模拟试题(二).doc

1、第 1 页（共 27 页）2019 高考理科数学模拟试题（二）考试时间：120 分钟注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第卷（选择题）一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一个选项符合题意)1已知集合 A=x|x24x+30 ，B=（1，3，则 AB=（ ）A1 ，3 B （1，3 C1，3） D （1，3）2若 2i 是关于 x 的方程 x2+px+q=0 的一个根（其中 i 为虚数单位，p，q R） ，则 q 的值为（ ）A 5 B5 C3 D33已知 p：函数 为增函数，q ： ，则 p 是()=(1) 12,

2、1,10q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件42017 年高考考前第二次适应性训练考试结束后，对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布 N（95，8 2）的密度曲线非常拟合据此估计：在全市随机柚取的 4 名高三同学中，恰有 2 名同学的英语成绩超过 95 分的概率是（ ）A B C D5设函数 f（x）=2cos（x+ ）对任意的 xR，都有 ，若函数 g（ x）=3sin （x+）2，则 的值是（ ）A1 B5 或 3 C2 D6公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，第 2 页（共 2

3、7 页）多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”利用“割圆术” 刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术 ”思想设计的一个程序框图，则输出 n 的值为（参考数据：sin15=0.2588，sin7.5=0.1305） （ ）A16 B20 C24 D487已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A8 B16 C32 D648定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（x +2）=f （x ） ，且在 1，0上单调递减，设 a=f（2.8 ） ，b=f（1.6 ） ，c=f（0.5） ，则 a，b ，c

4、大小关系是（ ）Aa b c Bcab Cb c a Dac b9在二项式（2x+a） 5 的展开式中，含 x2 项的系数等于 320，则=（ ）Ae 2e+3 Be 2+4 Ce +1 De +210过平面区域 内一点 P 作圆 O：x 2+y2=1 的两条切线，切点分别为第 3 页（共 27 页）A，B ，记APB=，则当 最小时 cos 的值为（ ）A B C D11双曲线 （a1，b1）的离心率为 2，则 的最小值为（ ）A B C2 D12定义在 R 上的可导函数 f（x） ，其导函数记为 f（x） ，满足 f（x）+f（2x）=（ x1） 2，且当 x1 时，恒有 f（x）+2x若

5、 ，则()(1)323实数 m 的取值范围是（ ）A （ ，1 B C1，+） D第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13花园小区内有一块三边长分别是 5m，5m，6m 的三角形绿化地，有一只小狗在其内部玩耍，若不考虑小狗的大小，则在任意指定的某时刻，小狗与三角形三个顶点的距离均超过 2m 的概率是 14已知 O 为原点，点 P 为直线 2x+y2=0 上的任意一点非零向量=（ m，n） 若 恒为定值，则 = 15对于数列a n，定义 Hn= 为a n的“优值” ，现在已知某数列a n的“优值”H n=2n+1，记数列 ankn的前 n

6、项和为 Sn，若 SnS 6 对任意的n 恒成立，则实数 k 的取值范围是 16已知函数 f（x ）=cos（x+ ） （0，| ） ，当 x= 时函数 f（x ）能取得最小值，当 x= 时函数 y=f（x ）能取得最大值，且 f（x）在区间（ ， ）上单调则当 取最大值时 的值为 第 4 页（共 27 页）三、解答题(共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 （12 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 5+a6=24，S 11=143，数列b n的前 n 项和为 Tn，满足 （）求数列a n的通项公式及数列 的前 n 项和；（）判断数列b n是否为

7、等比数列？并说明理由18 （12 分）某公司计划明年用不超过 6 千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队经过本地养鱼场年利润率的调研，得到如图所示年利润率的频率分布直方图对远洋捕捞队的调研结果是：年利润率为 60%的可能性为 0.6，不赔不赚的可能性为 0.2，亏损 30%的可能性为 0.2假设该公司投资本地养鱼场的资金为 x（x 0）千万元，投资远洋捕捞队的资金为 y（y0）千万元（1）利用调研数据估计明年远洋捕捞队的利润 的分布列和数学期望 E（2）为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对本地养鱼场的投资不得低于远洋捕捞队的一半适用调研数据，给出公司分配投资金额的建议，使得明年两个项目的

8、利润之和最大19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面ABCD，ADBC ，CD=13 ，AB=12 ，BC=10，AD=5 ，PD=8，点 E，F 分别是PB， DC 的中点（1）求证：EF平面 PAD；（2）求 EF 与平面 PDB 所成角的正弦值第 5 页（共 27 页）20 （12 分）如图，已知椭圆 C： ，其左右焦点为 F1（ 1，0）及F2（1 ，0） ，过点 F1 的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 G，AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D，E 两点，且|AF 1|、|F 1F2|、|AF 2|构成等差数列（1）求椭圆 C 的方程

9、；（2）记GF 1D 的面积为 S1，OED （O 为原点）的面积为 S2试问：是否存在直线 AB，使得 S1=S2？说明理由21 （12 分）已知函数 f（ x）=e xax（x R） （1）当 a=1 时，求函数 f（x ）的最小值；（2）若 x0 时，f（x） +ln（x+1）1，求实数 a 的取值范围请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 第 6 页（共 27 页）（1）求 C 的普通方程和 l

10、 的倾斜角；（2）设点 P（0，2） ，l 和 C 交于 A，B 两点，求| PA|+|PB|23 （10 分）设函数 f（x）=|2x 7|+1（1）求不等式 f（x）x 的解集；（2）若存在 x 使不等式 f（x）2|x1|a 成立，求实数 a 的取值范围第 7 页（共 27 页）2018 高考理科数学模拟试题（二）参考答案与试题解析一选择题（共 12 小题）1已知集合 A=x|x24x+30 ，B=（1，3，则 AB=（ ）A1 ，3 B （1，3 C1，3） D （1，3）【分析】先分别求出集合 A，B ，由此能求出 AB【解答】解：集合 A=x|x24x+30 =x|1x3，B=（1

11、 ，3，AB=（1，3故选：B【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用2若 2i 是关于 x 的方程 x2+px+q=0 的一个根（其中 i 为虚数单位，p，q R） ，则 q 的值为（ ）A 5 B5 C3 D3【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数的关系求解【解答】解：2i 是关于 x 的实系数方程 x2+px+q=0 的一个根，2+i 是关于 x 的实系数方程 x2+px+q=0 的另一个根，则 q=（2i） （2+i ）=|2i| 2=5故选：B【点评】本题考查实系数一元二次方程的虚根成对原理，考查复数模的求法，是基础题3已知

12、p：函数 为增函数，q ： ，则 p 是()=(1) 12,1,10第 8 页（共 27 页）q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】p：函数 f（x）=（a1） x 为增函数，则 a11，解得 a 范围. q： ，a 即可判断出关系12,1,10【解答】解：p：函数 f（ x）=（a1） x 为增函数，则 a11，解得 a2q： ，a =1q：a112,1,10则 p 是q 的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质与解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题42017 年高考考前第二次适应性训练考

13、试结束后，对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布 N（95，8 2）的密度曲线非常拟合据此估计：在全市随机柚取的 4 名高三同学中，恰有 2 名同学的英语成绩超过 95 分的概率是（ ）A B C D【分析】由题意，英语成绩超过 95 分的概率是 ，利用相互独立事件的概率公式，即可得出结论【解答】解：由题意，英语成绩超过 95 分的概率是 ，在全市随机柚取的 4 名高三同学中，恰有 2 名冋学的英语成绩超过 95 分的概率是 = ，故选：D【点评】本题考查正态分布，考查相互独立事件的概率公式，比较基础第 9 页（共 27 页）5设函数 f（x）=2cos（x+ ）

14、对任意的 xR，都有 ，若函数 g（ x）=3sin （x+）2，则 的值是（ ）A1 B5 或 3 C2 D【分析】根据 f（ +x） =f（ x）确定 x= 是函数 f（x）的对称轴，再由正余弦函数在其对称轴上取最值，求得 g（ ）的值【解答】解：函数 f（x） =2cos（x+ ）对任意的 xR，都有，函数 f（x ）的一条对称轴方程为 x= ，且 x= 时函数 f（x）过最高点或最低点；cos（ +）= 1，解得 +=k，kZ；g （ ）=3sin（ +）2=3sink 2=2故选：C【点评】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，注意正余弦函数在其对称轴上取最值6公元 263

15、年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”利用“割圆术” 刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术 ”思想设计的一个程序框图，则输出 n 的值为（参考数据：sin15=0.2588，sin7.5=0.1305） （ ）第 10 页（共 27 页）A16 B20 C24 D48【分析】列出循环过程中 S 与 n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60= ，不满足条件 S3.10，n=12 ，S=6sin30=3，不满足条

16、件 S3.10，n=24 ，S=12sin15=120.2588=3.1056，满足条件 S3.10，退出循环，输出 n 的值为 24故选：C【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题7已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A8 B16 C32 D64【分析】由三视图判断出几何体是直三棱锥，且底面是等腰直角三角形，求出对应的高和底面的边长，根据它的外接球是对应直三棱锥的外接球，由外接球的结构特征，求出它的半径，代入表面积公式进行求解第 11 页（共 27 页）【解答】解：由三视图知该几何体是直三棱锥，且底面是等腰直角三角形，

17、直三棱锥的高是 2，底面的直角边长为 ，斜边为 2，则直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球，设几何体外接球的半径为 R，因底面是等腰直角三角形，则底面外接圆的半径为 1，R 2=1+1=2，故外接球的表面积是 4R2=8，故选 A【点评】本题考查球的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力8定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（x +2）=f （x ） ，且在 1，0上单调递减，设 a=f（2.8 ） ，b=f（1.6 ） ，c=f（0.5） ，则 a，b ，c 大小关系是（ ）Aa b c Bc a b Cb c a Dacb【分析】由条件可得函数的周期为

18、 2，再根据 a=f（2.8）=f（0.8） ，b=f（1.6）=f（0.4）=f（0.4） ，c=f（ 0.5）=f（ 0.5） ， 0.8 0.50.4，且函数 f（x）在1， 0上单调递减，可得 a，b ，c 大小关系【解答】解：偶函数 f（x ）满足 f（x+2）=f（x） ，函数的周期为 2由于 a=f（2.8）=f（0.8） ，b=f（ 1.6）=f（0.4）=f（0.4 ） ，c=f（ 0.5）=f（0.5） ，0.80.50.4 ，且函数 f（x ）在 1，0上单调递减，a cb，故选：D【点评】本题主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题9

19、在二项式（2x+a） 5 的展开式中，含 x2 项的系数等于 320，则第 12 页（共 27 页）=（ ）Ae 2e+3 Be 2+4 Ce +1 De +2【分析】二项式（2x+a） 5 的展开式中，含 x2 项，利用通项公式求出含有 x2 的项，可得系数，从而求出 a，利用定积分公式求解 即可【解答】解：二项式（2x+a ） 5 的展开式中，含 x2 项，由通项公式 ，含 x2 项，r=3含有 x2 的项的系数为 =320，可得：a=2则 = =e2e+221=e2e+3故选：A【点评】本题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及定积分公式的计算属于基础题10过平面区域 内一点 P 作圆

20、 O：x 2+y2=1 的两条切线，切点分别为A，B ，记APB=，则当 最小时 cos 的值为（ ）A B C D【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使 最小，则 P 到圆心的距离最大即可，由图象可知当 P 位于点 D 时，APB= 最小，由 ，解得 ，即 D（ 4，2） ，此时|OD|= ，|OA|=1，则 ，即 sin = ，第 13 页（共 27 页）此时 cos=12sin2 =12（ ） 2=1 = ，故选：C11双曲线 （a1，b1）的离心率为 2，则 的最小值为（ ）A B C2 D【分析】根据双曲线 （a1，b1）的离心率为 2，可得 a，b 的关系，代入 化简，利

21、用单调性，即可求得 的最小值【解答】解：双曲线 （a1，b1）的离心率为 2，b 2=3a2 = =a 1第 14 页（共 27 页） 在1，+）上单调增 故选 A【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查函数的单调性，正确运用双曲线的几何性质是关键12定义在 R 上的可导函数 f（x） ，其导函数记为 f（x） ，满足 f（x）+f（2x）=（ x1） 2，且当 x1 时，恒有 f（x）+2x若 ，则()(1)323实数 m 的取值范围是（ ）A （ ，1 B C1，+） D【分析】令 g（x）=f（x）+2x ，求得 g（x）+g（2 x）=3，则 g（x）关于（1，3）中心对称，则 g（x）

22、在 R 上为减函数，再由导数可知 g（x）在 R 上为减函数，化 为 g（m） g（1m） ，利用单调性求解()(1)323【解答】解：令 g（x）=f （x）+2x ，g（x ）=f（x）+2x，当 x1 时，恒有 f（x）+2x当 x1 时，g（x）为减函数，而 g（ 2x）=f（2x）+2（2x） ，f（ x）+f（ 2x）=g（x）2x+ +g（2 x） 2（2x）+=g（x）+g （2x）+x 22x2=x22x+1g （x）+g（2x ）=3则 g（ x）关于（1， ）中心对称，则 g（x）在 R 上为减函数，由 ，得 f（m）+2m f （1 m）+2（1m）()(1)323，第

23、 15 页（共 27 页）即 g（ m）g（1 m） ，m1m，即 m 实数 m 的取值范围是（ ， 故选：D【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解答该题的关键，是压轴题二填空题（共 4 小题）13花园小区内有一块三边长分别是 5m，5m，6m 的三角形绿化地，有一只小狗在其内部玩耍，若不考虑小狗的大小，则在任意指定的某时刻，小狗与三角形三个顶点的距离均超过 2m 的概率是 1 【分析】根据题意，记“ 小狗距三角形三个顶点的距离均超过 2”为事件 A，则其对立事件 为“ 小狗与三角形的三个顶点的距离不超过 2”，先求得边长为 4 的等边三角形的面积，再计算事件 构成的区域面积，

24、由几何概型可得 P（ ） ，进而由对立事件的概率性质，可得答案【解答】解：记“ 小狗距三角形三个顶点的距离均超过 2”为事件 A，则其对立事件 为“小狗与三角形的三个顶点的距离不超过 2”，三边长分别为 5m、5m、6m 的三角形的面积为 S= 64=12，则事件 构成的区域可组合成一个半圆，其面积为 S（ ）= 22=2，由几何概型的概率公式得 P（ ）= ；P（A ）=1 P（ ）=1 ；故答案为：1【点评】本题考查几何概型，涉及对立事件的概率性质；解题时关键是求出小狗与三角形三个顶点的距离均不超过 2m 区域面积14已知 O 为原点，点 P 为直线 2x+y2=0 上的任意一点非零向量第

25、 16 页（共 27 页）=（ m，n） 若 恒为定值，则 = 2 【分析】设点 P（x ，y） ，由 P 为直线 2x+y2=0 上的任意一点，用 x 表示 ，写出 的解析式；根据 恒为定值， x 的系数为 0，求出 m、n 的关系，可得 的值【解答】解：设点 P（x ，y） ，点 P 为直线 2x+y2=0 上的任意一点，y=22x， =（ x，22x） ；又非零向量 =（m ，n ） ， =mx+n（22x）=（m 2n）x+2n 恒为定值，m2n=0， =2故答案为：2【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与应用问题，是基础题15对于数列a n，定义 Hn= 为a n的“优值” ，现在

26、已知某数列a n的“优值”H n=2n+1，记数列 ankn的前 n 项和为 Sn，若 SnS 6 对任意的n 恒成立，则实数 k 的取值范围是 【分析】由题意，H n= =2n+1，则a1+2a2+2n1an=n2n+1，n2 时，a 1+2a2+2n2an1=（n1）2 n，相减可得an=2（ n+1） ，对 a1 也成立，可得 ankn=（2k）n +2由于数列a nkn为等差数列，SnS 6 对任意的 n（nN *）恒成立可化为 a66k0，a 77k0，即可得出第 17 页（共 27 页）【解答】解：由题意，H n= =2n+1，则 a1+2a2+2n1an=n2n+1，n2 时，a

27、 1+2a2+2n2an1=（n 1）2 n，则 2n1an=n2n+1（n1）2 n=（n +1）2 n，则 an=2（n+1 ） ，对 a1 也成立，故 an=2（n+1 ） ，则 ankn=（2k）n+2，则数列a nkn为等差数列，故 SnS 6 对任意的 n（nN *）恒成立可化为a66k0，a 77k0；即解得， ，故答案为： 【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式与单调性、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16已知函数 f（x ）=cos（x+ ） （0，| ） ，当 x= 时函数 f（x ）能取得最小值，当 x= 时函数 y=f（x ）能取得最大值，且 f

28、（x）在区间（ ， ）上单调则当 取最大值时 的值为 【分析】根据 x= 时 f（x ）取得最小值，x= 时 f（x）取得最大值，得出（n+ ）T= ，求出 T 以及 的值；再由 f（x）在（ ， ）上单调，得出 T 以及 的取值；讨论 的取值，求出满足条件的 的最大值以及对应 的值第 18 页（共 27 页）【解答】解：当 x= 时 f（x ）能取得最小值，x= 时 f（x）能取得最大值，（n+ ）T= （ ） ，即 T= ， （ nN）解得 =4n+2， （nN）即 为正偶数；f（ x）在（ ， ）上单调， = ，即 T= ，解得 12 ；当 =12 时，f （x ）=cos（12x+ ）

29、 ，且 x= ，12（ ）+= +2k，kZ ，由| ，得 =0，此时 f（ x）=cos12x 在（ ， ）不单调，不满足题意；当 =10 时，f （x ）=cos（10x+ ） ，且 x= ，10（ ）+= +2k，kZ ，由| ，得 = ，此时 f（ x）=cos（10x ）在（ ， ）单调，满足题意；故 的最大值为 10，此时 的值为 故答案为： 【点评】本题考查了余弦型函数的图象和性质的应用问题，也考查了转化思想与分类讨论思想的应用问题，难度较大三解答题（共 7 小题，满分 70 分）17 （12 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 5+a6=24，S 11=143，数列

30、b n的第 19 页（共 27 页）前 n 项和为 Tn，满足 （）求数列a n的通项公式及数列 的前 n 项和；（）判断数列b n是否为等比数列？并说明理由【分析】 （）由 S11=11a6=143，得 a6=13，由 a5+a6=24，得 a5=11，从而 d=2，进崦a n的通项公式是 an=2n+1（nN *） ，再由，能求出前 n 项的和（）由 a1=3， ， ，得 b1=7；当 n2 时，从而 bn+1=4bn（n2若b n是等比数列，则有 b2=4b1，与 b2=4b1 矛盾，从而得到数列b n不是等比数列【解答】 （本小题满分 12 分）解：（）设数列a n的公差为 d，由 S

31、11=11a6=143，a 6=13又 a5+a6=24，解得 a5=11， d=2，因此a n的通项公式是 an=2n+1（n N*） ，所以 ，从而前 n 项的和为：= = （6 分）（）因为 a1=3， ， 当 n=1 时，b 1=7；当 n2 时， ；所以 bn+1=4bn（n2若 bn是等比数列，则有 b2=4b1，而 b1=7，b 2=12，所以与 b2=4b1 矛盾，故数列b n不是等比数列 （12 分）【点评】本题考查数列的通项公式、前 n 项和的求法，考查数列是否是等比数列的判断与求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用18 （12 分）某公司

32、计划明年用不超过 6 千万元的资金投资于本地养鱼场和远第 20 页（共 27 页）洋捕捞队经过本地养鱼场年利润率的调研，得到如图所示年利润率的频率分布直方图对远洋捕捞队的调研结果是：年利润率为 60%的可能性为 0.6，不赔不赚的可能性为 0.2，亏损 30%的可能性为 0.2假设该公司投资本地养鱼场的资金为 x（x 0）千万元，投资远洋捕捞队的资金为 y（y0）千万元（1）利用调研数据估计明年远洋捕捞队的利润 的分布列和数学期望 E（2）为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对本地养鱼场的投资不得低于远洋捕捞队的一半适用调研数据，给出公司分配投资金额的建议，使得明年两个项目的利润之和最大【解

33、答】解：（1）随机变量 的可能取值为 0.6y，0，0.3y，随机变量 的分布列为， 0.6y 0 0.3yP 0.6 0.2 0.2E=0.36y0.06y=0.3y；（2）根据题意得，x，y 满足的条件为 ，由频率分布直方图得本地养鱼场的年平均利润率为：0.30.20.5+（0.1 ）0.20.5+0.10.21.0+0.30.22.0+0.50.21.0=0.20，本地养鱼场的年利润为 0.20x 千万元，明年连个个项目的利润之和为 z=0.2x+0.3y，第 21 页（共 27 页）作出不等式组所表示的平面区域若下图所示，即可行域当直线 z=0.2x+0.3y 经过可行域上的点 M 时

34、，截距 最大，即 z 最大解方程组 ，得z 的最大值为：0.202+0.304=1.6 千万元即公司投资本地养鱼场和远洋捕捞队的资金应分别为 2 千万元、4 千万元时，明年两个项目的利润之和的最大值为 1.6 千万元19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面ABCD，ADBC ，CD=13 ，AB=12 ，BC=10，AD=5 ，PD=8，点 E，F 分别是PB， DC 的中点（1）求证：EF平面 PAD；（2）求 EF 与平面 PDB 所成角的正弦值【分析】取 CB 的中点 G，连结 DG，建立空间直角坐标系：（1） =（12，0，0）为平面 PAD 的一个法向量，根据 ，进

35、而可证EF 面 PAD（2）平面 PAD 的法向量 =（5，12，0） ，代和线面夹角公式，可得答案第 22 页（共 27 页）【解答】证明：取 CB 的中点 G，连结 DG，因为 ADBG 且 AD=BD，所以四边形 ABGD 为平行四边形，所以 DG=AB=12，又因为 ABAD，所以 DGAD，又 PD平面 ABCD，故以点 D 原点建立如图所示的空间直角坐标系（2 分）因为 BC=10，AD=5 ，PD=8，所以有 D（0，0，0） ，P （0，0，8） ，B（12，5，0） ，C（12，5，0） ，因为 E，F 分别是 PB，DC 的中点，所以 E（6，2.5，0 ） ，F （6，2

36、.5，4） ，（1）因为 PD平面 ABCD，DG平面 ABCD，所以 PDDG，又因为 DGAD ，AD PD=D，AD ，PD 平面 PAD，所以 DG平面 PAD，所以 =（12，0，0）为平面 PAD 的一个法向量， （4 分）又 =（ 0，5，4） ， =0，所以 ，又 EF平面 PAD，所以 EF平面 PAD；（6 分）（2）设平面 PAD 的法向量为 =（x，y ，z） ，所以 ，即 ，即 ，第 23 页（共 27 页）令 x=5，则 =（5，12 ，0）（9 分）所以 EF 与平面 PDB 所成角 满足：sin= = = ，（11 分）所以 EF 与平面 PDB 所成角的正弦值

37、为 （12 分）【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的证明，直线与平面的夹角，难度中档20 （12 分）如图，已知椭圆 C： ，其左右焦点为 F1（ 1，0）及F2（1 ，0） ，过点 F1 的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 G，AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D，E 两点，且|AF 1|、|F 1F2|、|AF 2|构成等差数列（1）求椭圆 C 的方程；（2）记GF 1D 的面积为 S1，OED （O 为原点）的面积为 S2试问：是否存在直线 AB，使得 S1=S2？说明理由【分析】 （1）依题意，|AF 1|、|F 1F2|、|AF 2|构成等差数列

38、，求出 a，再利用c=1，求出 b，即可求椭圆 C 的方程；（2）假设存在直线 AB，使得 S1=S2，确定 G，D 的坐标，利用GFD OED，即可得到结论【解答】解：（1）因为|AF 1|、|F 1F2|、|AF 2|构成等差数列，所以 2a=|AF1|+|AF2|=2|F1F2|=4，所以 a=2（2 分）又因为 c=1，所以 b2=3，（3 分）第 24 页（共 27 页）所以椭圆 C 的方程为 （4 分）（2）假设存在直线 AB，使得 S1=S2，显然直线 AB 不能与 x，y 轴垂直设 AB 方程为 y=k（x+1）将其代入 ，整理得 （4k 2+3）x 2+8k2x+4k212=

39、0（5 分）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，所以 故点 G 的横坐标为 所以 G（ ， ） （6 分）因为 DGAB ，所以 k=1，解得 xD= ，即 D（ ，0 ）（8 分）RtGDF 1 和Rt ODE 相似，若 S1=S2，则|GD|= |OD|所以 ，（10 分）整理得 8k2+9=0 因为此方程无解，所以不存在直线 AB，使得 S1=S2（12 分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（ x）=e xax（x R） （1）当 a=1 时，求函数 f（x ）的最小值；（2）若

40、 x0 时，f（x） +ln（x+1）1，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；第 25 页（共 27 页）（2）得到 ex+ax+ln（x+1） 10 （* ）令 g（x ）=e x+ax+ln（x+1）1，通过讨论a 的范围，确定函数的单调性，从而求出满足条件的 a 的具体范围即可；【解答】解：（1）当 a=1 时，f（x ）=e x+x，则 f（x）= +1令 f（x）=0，得 x=0当 x0 时，f（x ）0； 当 x0 时，f（x）0函数 f（x ）在区间（，0）上单调递减，在区间（ 0，+）上单调递增当

41、 x=0 时，函数 f（x）取得最小值，其值为 f（ 0）=1f （x ）的最小值为 1（2）若 x0 时，f（x） +ln（x+1）1，即 ex+ax+ln（x+1）10（*）令 g（ x）=e x+ax+ln（x+1） 1，则若 a2 ，由（ 1）知 ex+x1，即 ex1x，故 ex1+x函数 g（x ）在区间0，+）上单调递增，g（x）g（0）=0（* ）式成立若 a2 ，令 ，则函数 （x）在区间0，+）上单调递增，由于 （0）=2+a0，故x 0（0， a） ，使得 （x 0）=0 ，则当 0xx 0 时，（x）（x 0）=0，即 g（x）0函数 g（x ）在区间（0，x 0）上单

42、调递减，g （x 0）g （0）=0 ，即（*）式不恒成立综上所述，实数 a 的取值范围是2，+） 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想、转化思想，是一道综合题第 26 页（共 27 页）请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 （1）求 C 的普通方程和 l 的倾斜角；（2）设点 P（0，2） ，l 和 C 交于 A，B 两点，求| PA|+|PB|

43、【分析】 （1）直接把曲线的参数方程转化为直角坐标方程，进一步把极坐标方程转化为直角坐标方程，在求出直线的倾斜角（2）利用定点把直线的直角坐标式转化为参数式，进一步建立一元二次方程根与系数的关系，最后求出结果【解答】解：（1）由 消去参数 ，得即 C 的普通方程为由 ，得 sincos将 代入得 y=x+2所以直线 l 的斜率角为 （2）由（1）知，点 P（0，2 ）在直线 l 上，可设直线 l 的参数方程为（t 为参数）即 （t 为参数） ，代入 并化简得设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t 2则 ，所以 t10 ，t 20第 27 页（共 27 页）所以 【点评】本题考查的知识要点：

44、直角坐标方程与参数方程的互化，直线和曲线的位置关系的应用，一元二次方程根与系数的关系的应用23 （10 分）设函数 f（x）=|2x 7|+1（1）求不等式 f（x）x 的解集；（2）若存在 x 使不等式 f（x）2|x1|a 成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）问题转化为解不等式组问题，解出取并集即可；（2）先求出g（ x）的分段函数，求出 g（x）的最小值，从而求出 a 的范围【解答】解：（1）由 f（x ）x 得|2x7|+1x ， ，不等式 f（x）x 的解集为 ；（2）令 g（x）=f（x）2| x1|=|2x7|2|x1|+1，则 ，g （x） min=4，存在 x 使不等式 f（x）2|x 1|a 成立，g （x） mina，a 4【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，考查函数的最值问题，是一道基础题