1、2018 年 6 月 1 日 15:00 绝密 启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）理科数学（全国 III 卷）考试时间：120 分钟，满分：150 分第 卷 （ 共 60 分 ）一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 ， ，则 （ ）=|220 =12， 1 ()=A. B. C. D. 12 1 12， 12设复数 ，则 （ ）=11+ =A. B. C. D. 12 22 12 223 已知 是各项均为正数的等比数列 的前 项和， ， ，则nSna764a15320a5S（ ）A. 31 B
2、. 63 C. 16 D. 1274设 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）,xy20xy2xA. 1 B. C. D. 4512235函数 +1（ ， ）的最小正周期是 ，若其图象向左平移 个单位后得到的函()=(+) 0 |2 3数为偶函数，则函数 的图象（ ）()A.关于点 对称 B. 关于直线 对称 C.关于点 对称 D.关于直线 对称(-12 ， 1) =12 (-6 ， 0) =36. 图 1 是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第 1 次到第 14 次的考试成绩依次记为 ,图 2 是统计茎叶图中12,A， 14成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图.那么程序框图输出的
3、结果是A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 已知 ， ，点 在圆 上运动，(3 , 0)(0 , 4) ()2+2=1若 的面积的最小值为 ，则实数 的值为52 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或12 112 112 12 12 112 112 128已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 20+23 20+3 18+3 18+239. 已知 是边长为 1 的正三角形，若点 满足 ，则 的最小值为（ ）=(2)+() |A. B. 1 C. D. 332 3410. 若双曲线 ： 的一条渐近线被抛
4、物线 所截得的弦长为 ，则双曲C20,xyab24yx32线 的离心率为（ ）A B2 C D33511.为迎接中国共产党 97 岁生日，某校举办了“共产党好！”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的 7 名学生中选派 4 名学生参加，要求甲、乙、丙这 3 名同学中至少有 1 人参加，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的 4 名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ）A720 B768 C.810 D69612. 若函数 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是( )2()lnlxfxaA. B. C. D. 1,e1,e1(,)e1,e第卷（共 90 分）二、填空题：本大题共 4
5、小题，每小题 5 分.13. 在等差数列 中，若 ，则前 12 项和 _na37,1a12S14.若 的展开式中 项的系数为 20，则 的最小值为 26()bxx2ab15九章算术是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体体积的研究已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为 、高为 的圆柱，上面是一个底面积为 、高为8 8的圆锥，若该容器有外接球，则外接球的体积为 16. 1已知函数 ,曲线 关于直线 对称,现给出如32,fxabxcgfx:Cygx1结论：其中正确结论有 ； 若 ，则不等式 的解集为 ；2a1c112，若 ，且 是曲线 的一条切线,则 的取值范
6、围是 .若10ykx:(0)Cygxk27,4,则存在 ，使 ；c00()f三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。17在 内，角 ， ， 所对的边分别为 a，b，c，且ABC CcoscosbaB（1）求角 的值；（2）若 的面积为 ， ，求 的值ABC 313bac18如图，在正四棱锥 中，底边 ，侧棱 ， 为侧棱 上的点.SD2AB3SPSD（1）若 平面 ，求二面角 的余弦值的大小；SDPPC（2）若 ，侧棱 上是否存在一点 ，使得 平面 ，若存在，求 的值；若不2E/AC:EC存在，试说明理由.19.某葡萄基地的种植专家发
7、现，葡萄每株的收获量 （单位： ）和与它“相近”葡萄的株数 具有线ykgx性相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过 ） ，并分别记录了相近葡萄的株数为1m1,2,3,5,6,7 时，该葡萄每株收获量的相关数据如下：（1）求该葡萄每株收获量 关于它“相近”葡萄的株数 的线性回归方程及 的方差 ；yxy2s（2）某葡萄专业种植户种植了 1000 株葡萄，每株“相近”的葡萄株数按 2 株计算，当年的葡萄价格按 10元/ 投入市场，利用上述回归方程估算该专业户的经济收入为多少万元；（精确到 0.01）kg（3）该葡萄基地在如图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一
8、株葡萄，其中每个小正方形的面积都为 ，现在所种葡萄中随机选取一株，求它的收获量的分布列与数学期望.（注：21m每株收获量以线性回归方程计算所得数据四舍五入后取的整数为依据）附：参考公式： xbyaxbniiiii 12,)(.20.已知椭圆 ： 的长轴长为 6，且椭圆 与圆 ： 的公共弦长C20xyaCM240()9xy为 .（1）求椭圆 的方程.（2）过点 作斜率为 的直线 与椭圆 交于两点 ， ，403(,2)P(0)klCAB试判断在 轴上是否存在点 ，使得 为以 为底边的等腰三角形.若存在，求出点 的横坐标的取xDAB D值范围，若不存在，请说明理由.21. 已知函数 .（）若函数 有
9、零点, 求实数 的取值范围；ln0afxfxa（）证明:当 ， 时, .2e1b1lnfb请 考 生 在 22、 23 题 中 任 选 一 题 作 答 ,如 果 多 做 ,则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 。22选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 的参数方程为xoy1Csinco1yx2C（ 为参数） ，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线 和sin1cyx O 1x1 2 3 5 6 7y15 13 12 10 9 7曲线 的极坐标方程；（2）已知射线 （ ） ，将射线 顺时针方向旋转 得到 ：C:1
10、l261l62l，且射线 与曲线 交于 O,P 两点，射线 与曲线 交于 两点，求 的最大61l1ClCQO, |OQP值.23. 选修 4-5：不等式选讲.已知函数 .（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数 的图象，并由图象()|2|fxx ()yfx找出满足不等式 的解集；3（2）若函数 的最小值记为 ，设 ，且有 ，试证明： .()yfxm,abR2abm2214187ab2018 年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）理科数学答案1 【解析】因为 或 ，所以 ，=|220=| 2 0 ()=|02又因为 ，则 ，故选 C.=1,12 ()=12 【解析】z= ，z = 故选：A11+=
11、 1(1+)(1)=122 |2=(12)2+(12)2=123.【解析】设公比为 q(q0)，因为 ，所以 即1530a30,a 4333771540,4,6,6.a qa， ，所以 故选 A.51-2=.S4. 【解析】画出可行域如图所示：联立 ，解得 ，则 . 表示可行域内点20 xy432xy,B2yx与 连线的斜率，从图像可以看出，经过点 时， 有最大值 故选 B.,xy2, 4,32yx455由于函数最小正周期为 ,所以 ,即 .向左平移 得到 为偶函数,故 =2 ()=(2+)3 (2+23+)故 为函数的对称轴,选 D.+=-()sin1,sin1232663fxf， ， =3
12、6.由流程图知输出结果是考试成绩大于 90 的次数，由茎叶图知大于 90 的次数有 10 次，故选 D.7.【解析】直线 AB： ，即 ，若 的面积最小，则点 到直线 AB 的距离 d 最3+4=1 43+12=0 短， ，又 的面积的最小值为 ， =|4+12|5 1 52 125(|4+12|5 1)=52即 或 ，故选：B|4+12|=10=112 128 【解析】由三视图可知正方体边长为 2，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示：故该几何体的表面积为：322+3（ ）+ = ，故选：D 1222 34(22+22) 18+239. 【解析】以 为原点，以 为 轴，建立坐标系，
13、为边长为 的正三角形， ， 1 (12, 32),(1,0)， ，=(2)+=(1+12,332) =(12+12, 3232)，故选 C.|=(12+12)2+(3232)2=2+1=(12)2+343210. 【解析】双曲线 ： 的一条渐近线方程不妨设为： ，与抛物线C20,xyab 0bxay方程联立， ，消去 ，得 ，所以 ，所以所截得的弦长为204bxayy24x1240xa，化简可得 ， ， ， ，得22316a234bca2ca241c210e或 （舍） ，所以双曲线 的离心率 故选：B24e-Ce11.【解析】分类：（1）甲乙丙都参加时先 4 选 1，再将丙与另 1 人先排列，
14、最后甲乙插空排列：（2）选甲乙丙中选 1 人，其余选 3 人后全排列： （3）选甲乙同时参2438CA 314428CA加，其余选 2 人后全排列，先选排好另外 2 人，然后甲乙插空排列： 。 （4）甲乙中仅一27人参加时，丙也参加，则还需从另外 4 人中选 2 人全排列： 所以共计：142.48+288+432+288=696 故选：D12. 【解析】由题意可得 有 3 个不同解，令ln,(0)xaln(),xg当 时，令 ，则2221l1lln(0,)( ,n)xxgx 则 0,x2y递减；当 递增，则2 ,(0,yy当 (,),y时，恒有 得 或min1ll()x则 当 ln0.(),x
15、gx令 1递减； 递增； 时，,(0,)(,xeg且 时 (1,(),eg时 )e递减，则 的极小值为 的极大值为 结合函数图象可得实()gx)x)x(),1数 a 的取值范围是 .答案A1(,)e13.【解析】在等差数列a n中，若 ，可得 =5，则 =9，则前 12 项和4357,1aa5a1,da，故答案为 7812+178S14.【解析】 3322620, 2.xCbbb的 系 数 为 故 的 最 小 值 为15【解析】设圆柱的底面圆的半径为 ，则由题意可得 ，解得 由题意可得该几何体的外接 2=8 =22球既是圆锥的外接球，也是圆柱的外接球，故外接球的球心是圆柱上、下底面圆心连线的中
16、点，设外接球的半径为 ，则 ，由圆锥内接于球可知外接球的球心到圆锥顶点的距离等于 ，即 =(2)2+2 ，所以 ，解得 （负值舍去），所以 ，故该容器的外接球的体积=2+=32 (2)2+2=32 =2 =32=3为 433=3616. 【解析】 由题意得 过点 ，且fx1,020, ,62,ffxaxbfxa 所以 ，因此错误10,6232abcabc，332fxxcxf，若 ，则 ，此时c11gf ,图2310fxc像如图所示，因此不等式 等价于xg ，即不等式 的解集为 ；因此正确。设g1x2，切点为，则00,()xy 2 203131gxckxc，因为 ，所以3000 1cxk3 2
17、3200 0011=11xcxcxx，223230000031kx由 ，2200000111=1,2c xx所以 ，若30 037,2,4xkx且 ，1c2 113cfcx如图，则 是曲线 的一条切线, 因此正确。若 ,则ykx311,(0)gxcx0c由 ，因此存在 因此310,fc01,.xcfx正确。17. 【解析】 （1） oscosbABa由正弦定理，得 1 分inciincosCAB 3 分sincs2scABs2inC又 ， 4 分CiiAB又 ， 5 分 又 ， 6 分01cos20，B3（2）据（1）求解知 ， 8 分3B22cosbaac又 ，9 分 ，10 分sinSac
18、 1又 ，据解，得 12 分13b7ac18.【解析】 （1）如图，连接 ，设 交 于 ，由题意知 平面 ，又 ，故BDACOSABCDB两两垂直以 为坐标原点， 分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标,OSBCO,B,xyz系 . ， ， .1 分xyz2A3S7（1）由题意得 ， ， ，0,72,0,20 ， ，2 分,CD 平面 ，SPA平面 的一个法向量 ，3 分2,07S又平面 的一个法向量 ，4 分O ，5 分cos, 397DSS由图形知二面角 为锐角，所求二面角的余弦值为 6 分PAC 73（2）假设在棱 上存在一点 使得 平面 在 上取点 ，连接 ，SE/BPACSEB设平面
19、 的法向量为 ，由题意得 ，又点 ， ,nxyz12,0D 0,2A， ，2,0B0,2AC，8 分727,0,33PD由 ，得 ，令 ，则 ，9 分2 7033nyxAz 0 2147yzx1214,07n设 ， 则 ，CEtS ,7BCEBtSt t由 平面 ，可得 ，解得 ，11 分/PA0n12t当 时， 平面 .12 分:1:S/PA19.【试题解析】 （1） ，1 分2356746x153209716y2 分61 4iiixy14=3，3 分6222213ii238所以 ，4 分61234178iiiiixyb所以 ，故该葡萄每株收获量 关于它“相近”葡萄的株数 的线性回归方程7a
20、yyx为 .5 分174x的方差 6 分y22225131 6s22201971（2）由 ，可知当 时， ，7xx744y因此总收入为 （万元）. 7 分9400（3）由题知， .由（1） （2） ，知当 时， ，所以 ；2,3x2x13.2y13y当 时， ，所以 ；当 时， ，x57.14y4x471即 时，与之相对应的 的值分别为 13,12,11，8 分, y又 ，13216Pyx812362Px，10 分4所以在所种葡萄中随机选取一株，它的收获量 的分布列为y.12 分1132244Ey20. 【解析】 （1）由题意可得 ，所以 .由椭圆 与圆 ： 的公共弦长为6a3CM240()9
21、xy，恰为圆 的直径，可得椭圆 经过点 ，所以 ，解得 .03MC210(,)2419b28所以椭圆 的方程为 4 分C2198xy（2）直线 的解析式为 ，设 ， 的中点为 .假设存在点 ，lk12(,)(,)AxyBA0(,)Exy(,0)Dm使得 为以 为底边的等腰三角形，则 .由 得 ，ADBDE2,198ykx2(9)36kx故 ，所以 ， 6 分1223698kx02189kx026yk因为 ，所以 ，即 ，所以 9 分DEABDEk2618m289k当 时， ，所以 ；当 时， ，0k8921k01k12k所以 11 分1m综上所述，在 轴上存在满足题目条件的点 ，且点 的横坐标
22、的取值范围为 12 分xED2,0)(,121.【解析】() 函数 的定义域为 .lnafx0,由 , 得 . 1 分lnafx21因为 ,则 时,; 时,.00fxafx所以函数 在 上单调递减, 在 上单调递增. fxa,当 时,. 3 分aminl1当 , 即 时, 又 , 则函数 有零点. ln10eln0fafx所以实数 的取值范围为 . 5 分a10,e() 令 , 则 .当 时,;当 时,.lnhxln1hx0xe0fx1e0fx所以函数 在 上单调递减, 在 上单调递增.当 时, . 10e,eminha于是,当 时, 7 分a21.hxa令 , 则 .当 时,;当 时,.xe
23、xxe01x0x10x所以函数 在 上单调递增, 在 上单调递减. 当 时, 011,maxe于是, 当 时, 9 分x.xe显然, 不等式、中的等号不能同时成立.故当 时, . 10 分0,x2aelnxx因为 所以 .所以 . 1,bln0lnlnlbb所以 , 即 . 12 分lla1f22、 【解析】 （1）曲线 直角坐标方程为 ，所以 极坐标方程为 ，2 分1C1)(2yx1Ccos2曲线 直角坐标方程 ，所以 极坐标方程为 4 分2 )(22yx2Csin2（2）设点 的极坐标为 ，即 ，设点 的极坐标为 ，即P,1cos1Q)6,()6sin(2则 |OQ cos21sin3(4
24、)6in(2cos21 8 分)6i(21cosi3cosin32 66526当 ，即 时， 取最大值 1.10 分23|OQP23. 【解析】 （1）因为 ()|21|fxx3,1,2,.xx所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式 的解集为 .5 分()3fx1,（2）证明：由图可知函数 的最小值为 ，即 .所以 ，()yfx2m23ab从而 ，从而271ab214ab224()()71a.10 分224()5(722185温馨提示：1. 认真读题,看清题目。 (特别是概率题和实际应用问题)发卷后，首先要看卷头的参考公式。考试时要把试题中的关键词、字母、字母的限制、图象、括号中的内容、小
25、数点等等都要看清楚。2.三步四步一回头(尤其是计算量大的题)。对计算量较大的试题,演算完三、四步就要回头检查一次。解析几何中直线代入到圆锥曲线方程，消参得一元二次方程，这一步要检查。立体几何点的坐标必须正确无误。3.答题卷上的答案一定要简约.尤其立体几何那道解答题的第一问.答题卷上要写重点步骤，小计算放在草纸上进行，概率解答题和立体解答题特别要注意解题格式的规范。三角解答题已知三角函数值求角，一定注意写出角的范围；求三角函数最值，更要注意角的范围。概率解答题事件要设字母表示。4. 简单题绝对不要过于心急求快! 前三道选择题虽然比较简单， 但也不要过快，因为同学还没有进入到考试状态。过快了就容易
26、做错，5.注意: 千万要注意填空题答案书写要规范。做对 2 个是基本口粮，能对 3 个就更好了，第 4 个填空题常常是最难的（是否绕过去？） 。概率与统计题要反复阅读，把题读懂是关键。6.注意：立体几何第一问常常是证明平行和垂直，要严谨，更要简练。 （高中立体几何定理要详细写，初中的平面几何定理要简略写） ，第二问计算要细心，认真，仔细，特别注意平行、垂直的性质运用。7.选择题一定要追求正确率，抓稳前 8 个，有时处理有难度的问题可以考虑数形结合法（有时考虑特殊图形） 、特值法、极端法、特征性质检验法、排除法，从而避免使用直接法解题的难度。8.解后边的题时,绝对不能受前面做题情况的影响.试卷难
27、，不会的就多，大家大致都如此，不要慌乱。9.解题必须不紧不慢,不能心急,不能过分求快。两个小时的紧张考试，要按从前到后按顺序解答，不能始终低着头不停地思考和计算（有时会出现低级失误） ，调整坐姿,适当抬头挺胸（深呼吸） ，记住：有时敢于放弃也是一种大智慧。10.总之、高考心态就是要稳 (从来考试都是稳者为王） 不过分追求也不懈怠(不贪）. 一定要清楚自己的水平，自己的弱点是什么？ 我难，人难，我不畏难；我易，人易，我不大意！祝同学们稳定发挥，答出一份自己满意的试卷！开心祝福：徒儿，为师已将毕生盖世奇功传授于你了，请徒儿放心去参加高考吧！在 6 月 7 日的决战中利用为师教你的九九八十一招破题剑法，力斩 22 道妖魔鬼怪，利用“火眼金睛”去看清它们的“真面目” 。相信自己，也相信为师。你的师父、师叔、师弟、师妹们祝你们旗开得胜！凯旋归来！
