2019高考理科数学模拟试题(一).doc-道客多多

资源描述

2、 B命题 pq 是真命题C命题 p（q）是假命题 D命题 p（q ）是真命题42017 年 5 月 30 日是我们的传统节日”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件 A=“取到的两个为同一种馅” ，事件 B=“取到的两个都是豆沙馅” ，则 P（B|A）= （）A B C D5已知锐角的终边上一点 P（sin40 ，1+cos40），则等于（）A10 B20 C70 D806已知函数，若，b=f（），c=f（5），则（）Acba Bcab Cb c a Dacb7阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数 x

3、的取值范围是（）第 2 页（共 29 页）A （，2 B2，1 C 1，2 D2，+）8一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A B C D9在约束条件下，当 6s9 时，目标函数 z=xy 的最大值的变化范围是（）A3 ，8 B5，8 C3，6 D4，710已知正实数 a，b 满足 a+b=3，则的最小值为（）A1 B C D211已知 aR，若 f（x）= （x+ ）e x 在区间（0，1）上只有一个极值点，则 a的取值范围为（）Aa 0 Ba1 Ca1 Da0第 3 页（共 29 页）12设椭圆 C： + =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，其焦

4、距为2c，点 Q（c，）在椭圆的内部，点 P 是椭圆 C 上的动点，且|PF1|+|PQ|5|F 1F2|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（）A （，） B （，） C （，） D （，）第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13已知，则二项式展开式中的常数项是 14函数 f（ x）=Asin （x+）（A 0，0，0）的图象关于 y 轴对称，该函数的部分图象如图所示，PMN 是以 MN 为斜边的等腰直角三角形，且，则 f（1）的值为 15在平面直角坐标系中，有ABC，且 A（ 3，0），B（3，0），顶点 C

5、到点 A与点 B 的距离之差为 4，则顶点 C 的轨迹方程为 16一个长，宽，高分别为 1、2、3 密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是三、解答题(共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 （12 分）已知数列a n满足 a1=1，a n+1=1 ，其中 nN*（）设 bn= ，求证：数列b n是等差数列，并求出 an的通项公式 an；（）设 Cn= ，数列C nCn+2的前 n 项和为 Tn，是否存在正整数 m，使得Tn 对于 nN*恒成立，若存在，求出 m 的最小值，若不存在，

6、请说明第 4 页（共 29 页）理由18 （12 分）从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了 60 名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；（2）若用分层抽样的方法从分数在30，50）和130，150的学生中共抽取 6人，该 6 人中成绩在130，150的有几人？（3）在（2）抽取的 6 人中，随机抽取 3 人，计分数在130，150内的人数为，求期望 E（） 19 （12 分）如图，已知平面 QBC 与直线 PA 均垂直于 RtABC 所在平面，且PA=AB=AC（）求证：PA平面 QBC；（）PQ平面 QBC，求二面

7、角 QPBA 的余弦值20 （12 分）已知椭圆 C： + =1（ab0），圆 Q：（x 2） 2+（y ） 2=2的圆心 Q 在椭圆 C 上，点 P（0，）到椭圆 C 的右焦点的距离为第 5 页（共 29 页）（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 P 作互相垂直的两条直线 l1，l 2，且 l1 交椭圆 C 于 A，B 两点，直线 l2交圆 Q 于 C，D 两点，且 M 为 CD 的中点，求MAB 的面积的取值范围21 （12 分）设函数 f（x）=x 2+aln（x +1）（a 为常数）（）若函数 y=f（x）在区间1，+）上是单调递增函数，求实数 a 的取值范围；（）若函数 y=

8、f（x）有两个极值点 x1，x 2，且 x1x 2，求证：请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22 （10 分）直角坐标系 xOy 和极坐标系 Ox 的原点与极点重合， x 轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线 C 的参数方程为为参数）（1）在极坐标系下，曲线 C 与射线和射线分别交于 A，B 两点，求AOB 的面积；（2）在直角坐标系下，直线 l 的参数方程为（t 为参数），求曲线 C与直线 l 的交点坐标23 （10 分）已知函数 f（ x）=|2x +1|2x3|，g（x）=|x +1|+|xa|（1）求 f（x）1 的解集

10、运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2复数 z= 的共轭复数的虚部为（）A i B C i D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出得答案【解答】解：z= = ，复数 z= 的共轭复数的虚部为故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3已知命题 p：存在向量，，使得 =| | |，命题 q：对任意的向量，，若 = ，则 = 则下列判断正确的是（）A命题 pq 是假命题 B命题 pq 是真命题第 8 页（共 29 页）C命题 p（q）是假命题 D命题 p（q ）是真命题【分析】命题 p：存在同方向向量，，使得 =| | |，

11、即可判断出真假命题 q：取向量 =（1，0）， =（0，1）， =（0，2），满足 = ，则，即可判断出真假再利用复合命题真假的判定方法即可得出【解答】解：命题 p：存在同方向向量，，使得 =| | |，真命题命题 q：取向量 =（1，0）， =（0，1）， =（0，2），则 = ，，因此是假命题则下列判断正确的是：p（q ）是真命题故选：D【点评】本题考查了数量积运算性质、复合命题的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题42017 年 5 月 30 日是我们的传统节日”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件

12、A=“取到的两个为同一种馅” ，事件 B=“取到的两个都是豆沙馅” ，则 P（B|A）= （）A B C D【分析】求出 P（A）= = ，P（AB ）= = ，利用 P（B|A）= ，可得结论【解答】解：由题意，P（A）= = ，P（AB）= = ，P（B |A）= = ，故选：A【点评】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，正确运用公式是关键5已知锐角的终边上一点 P（sin40 ，1+cos40），则等于（）A10 B20 C70 D80【分析】由题意求出 PO 的斜率，利用二倍角公式化简，通过角为锐角求出角第 9 页（共 29 页）的大小即可【解答】解：由题意可知 sin40

13、0，1+cos400，点 P 在第一象限，OP 的斜率tan= = =cot20=tan70，由为锐角，可知为 70故选 C【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力6已知函数，若，b=f（），c=f（5），则（）Acba Bcab Cb c a Dacb【分析】求出函数 f（x）的导数，判断函数的单调性，从而比较函数值的大小即可【解答】解：f（x）的定义域是（ 0，+），f（x ）= 1 = 0，故 f（x）在（0，+）递减，而 5 ，f（ 5）f（）f （），即 c ba ，故选：A【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基

14、础题7阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数 x的取值范围是（）第 10 页（共 29 页）A （，2 B2，1 C 1，2 D2，+）【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 f（x ）= 的函数值根据函数的解析式，结合输出的函数值在区间内，即可得到答案【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 f（x ）= 的函数值又输出的函数值在区间内，x2，1 故选 B【点评】本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键8一个几何体

15、的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）第 11 页（共 29 页）A B C D【分析】这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，从而求两个体积之和即可【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，半个圆锥的体积为 1 = ；四棱锥的体积为 22 = ；故这个几何体的体积 V= ；故选 D【点评】本题考查了学生的空间想象力与计算能力，属于基础题9在约束条件下，当 6s9 时，目标函数 z=xy 的最大值的变化范围是（）A3 ，8 B5，8 C3，6 D4，7【分析】作出不等式组对应的平面区域，画出不等式组表示的平面区域，由z=xy 得 y=xz，利用平移即可得到结论第 12

16、页（共 29 页）【解答】解：约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）由 z=xy 得 y=xz，平移直线 y=xz，s=6 时由平移可知当直线 y=xz，经过点 A 时，直线 y=xz 的截距最小，此时 z 取得最大值，xy 取得最大值；由，解得 A（5，1）代入 z=xy 得 z=51=4，即 z=xy 的最大值是 4，s=9 时由平移可知当直线 y=xz，经过点 B 时，直线 y=xz 的截距最小，此时 z 取得最大值，xy 取得最大值；由解得 B（8，1）代入 z=xy 得 z=81=7，即 z=xy 的最大值是 7，目标函数 z=xy 的最大值的变化范围是：4，7故选：D【点

17、评】本题主要考查线性规划的应用，用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法第 13 页（共 29 页）10已知正实数 a，b 满足 a+b=3，则的最小值为（）A1 B C D2【分析】由已知可得，代入，然后利用基本不等式求最值【解答】解：a+b=3， = = 当且仅当，即 a= ，b= 时等号成立故选：C【点评】本题考查利用基本不等式求最值，关键是掌握该类问题的求解方法，是中档题11已知 aR，若 f（x）= （x+ ）e x 在区间（0，1）上只有一个极值点，则 a的取值范围为（）Aa 0 Ba1 Ca1 Da0【分析】求导数，分类讨论，利用极值、函数单调性，即可确定 a 的取值

18、范围【解答】解：f（x）=（x+ ）e x，f（x）=（）e x，设 h（x）=x 3+x2+axa，h（x ）=3x 2+2x+a，第 14 页（共 29 页）a 0，h（x） 0 在（0，1）上恒成立，即函数 h（x）在（0，1）上为增函数，h（0）= a0，h（1）=20 ，h（x）在（0，1）上有且只有一个零点 x0，使得 f（x 0）=0 ，且在（0，x 0）上，f（x ） 0，在（x 0，1）上，f（x）0，x 0 为函数 f（x）在（0，1）上唯一的极小值点；a=0 时，x （0，1 ），h（ x）=3x 2+2x0 成立，函数 h（x）在（0，1）上为增函数，此时 h（0）

19、=0，h（x）0 在（0，1）上恒成立，即 f（x）0，函数 f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数 f（x）在（0，1）上无极值；a 0 时，h （ x）=x 3+x2+a（x 1），x（0，1），h（x）0 在（0，1）上恒成立，即 f（x）0，函数 f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数 f（x）在（0，1）上无极值综上所述，a0故选：A【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题12设椭圆 C： + =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，其焦距为2c，点 Q（c，）在椭圆的内部，点 P 是椭圆 C 上的动点，且|

20、PF1|+|PQ|5|F 1F2|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（）A （，） B （，） C （，） D （，）【分析】点 Q（c ，）在椭圆的内部，，|PF 1|+|PQ|=2a|PF2|+|PQ|，第 15 页（共 29 页）由|QF 2|+|PQ|PQ| |PF2|QF 2|，且|QF 2|= ，要|PF 1|+|PQ|5|F 1F2|恒成立，即 2a|PF2|+|PQ|2a+ 52c【解答】解：点 Q（c ，）在椭圆的内部，， 2b2a 2a22c 2|PF1|+|PQ|=2a|PF2|+|PQ|又因为|QF 2|+|PQ|PQ|PF 2|QF 2|，且|

21、QF 2|= ，要|PF 1|+|PQ|5|F 1F2|恒成立，即 2a|PF2|+|PQ|2a + 52c，，则椭圆离心率的取值范围是（，）故选：B【点评】本题考查了椭圆的方程、性质，椭圆的离心率，转化思想是解题关键，属于难题二填空题（共 4 小题）13已知，则二项式展开式中的常数项是 240 【分析】利用定积分求出 a，写出展开式的通项公式，令 x 的指数为 0，即可得出结论【解答】解： =sinx =2，则二项式 = 展开式的通项公式为，+1=62632令，求得 r=4，所以二项式展开式中的常数项是 24=240第 16 页（共 29 页）故答案为：240【点评】本题考

22、查定积分知识的运用，考查二项式定理，考查学生的计算能力，属于中档题14函数 f（ x）=Asin （x+）（A 0，0，0）的图象关于 y 轴对称，该函数的部分图象如图所示，PMN 是以 MN 为斜边的等腰直角三角形，且，则 f（1）的值为 0 【分析】由题意，求出结合函数的图象，图象关于 y 轴对称，= ，PMN是以 MN 为斜边的等腰直角三角形，可得|PM|sin45= |MN|，且，求解|MN|和 A，即得函数 f（x） =Asin（x +）【解答】解：由题意，图象关于 y 轴对称，= ，PMN 是以 MN 为斜边的等腰直角三角形，可得|PM |sin45= |MN|，且，解得：|MN

23、|=2 ，|PM|=在等腰三角形 PMN 中，可求的PMN 的高为 1，即 P 点的纵坐标是 1，故得 A=1，T=2|MN|=4，函数 f（x ）=Asin （x+）=sin（）= ，当 x=1 时，即 f（1）=cos =0故答案为 0【点评】本题主要考查利用 y=Asin（x+ ）的图象特征，由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，属于中档题第 17 页（共 29 页）15在平面直角坐标系中，有ABC，且 A（ 3，0），B（3，0），顶点 C 到点 A与点 B 的距离之差为 4，则顶点 C 的轨迹方程为 =1（x2）【分析】利用 A（3，0），B（3，0），顶点 C

24、到点 A 与点 B 的距离之差为 4，由双曲线的定义可得点 C 的轨迹是焦点在 x 轴上的双曲线的右支，2a=4，c=3，求出 b，即可求出点 C 的轨迹方程【解答】解：A（3，0），B（3，0），顶点 C 到点 A 与点 B 的距离之差为 4，由双曲线的定义可得点 C 的轨迹是焦点在 x 轴上的双曲线的右支，2a=4，c=3，a=2，b= ，点 P 的轨迹方程为 =1（x2），故答案为 =1（x2）【点评】本题考查点 C 的轨迹方程，考查双曲线的定义，正确运用双曲线的定义是关键16一个长，宽，高分别为 1、2、3 密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状

25、都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是（，）【分析】画出长方体，使其一个顶点放在桌面上，容易观察出液体体积何时取得最小值和最大值【解答】解：长方体 ABCDEFGH，若要使液面不为三角形，第 18 页（共 29 页）则液面必须高于平面 EHD，且低于平面 AFC；而当平面 EHD 平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形；所以液体体积必须大于三棱柱 GEHD 的体积，并且小于长方体 ABCDEFGH 体积三棱柱 BAFC 体积 1 = ，故答案为：（，）【点评】本题考查了棱柱的结构特征以及几何体的体积求法问题，也考查了空间想象能力，是

26、难题三解答题（共 7 小题，满分 70 分）17 （12 分）已知数列a n满足 a1=1，a n+1=1 ，其中 nN*（）设 bn= ，求证：数列b n是等差数列，并求出 an的通项公式 an；（）设 Cn= ，数列C nCn+2的前 n 项和为 Tn，是否存在正整数 m，使得Tn 对于 nN*恒成立，若存在，求出 m 的最小值，若不存在，请说明理由【分析】（）利用递推公式即可得出 bn+1bn 为一个常数，从而证明数列 bn是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得到 bn，进而得到 an；（）利用（）的结论，利用“裂项求和” 即可得到 Tn，要使得 Tn 对于 nN*恒成立，只要，

27、即，解出即可第 19 页（共 29 页）【解答】（）证明：b n+1bn= = =2，数列b n是公差为 2 的等差数列，又 =2，b n=2+（n1）2=2n 2n= ，解得（）解：由（）可得，c ncn+2= = ，数列C nCn+2的前 n 项和为 Tn= +=2 3要使得 Tn 对于 nN*恒成立，只要，即，解得 m3 或 m4，而 m0，故最小值为 3【点评】正确理解递推公式的含义，熟练掌握等差数列的通项公式、 “裂项求和”、等价转化等方法是解题的关键18 （12 分）从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了 60 名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：（1）根

28、据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；（2）若用分层抽样的方法从分数在30，50）和130，150的学生中共抽取 6人，该 6 人中成绩在130，150的有几人？（3）在（2）抽取的 6 人中，随机抽取 3 人，计分数在130，150内的人数为，求期望 E（）第 20 页（共 29 页）【分析】（1）由频率分布直方图计算数据的平均分；（2）计算样本中分数在30，50）和130，150 的人数，根据分层抽样原理求出抽取的人数；（3）计算抽取的 6 人中分数在130，150的人数，求出的所有取值与概率分布，计算数学期望值【解答】解：（1）由频率分布直方图，得该校高三学生本次

29、数学考试的平均分为0.00502040+0.00752060+0.00752080+0.015020100+0.012520120+0.002520140=92；（4 分）（2）样本中分数在30，50）和130，150 的人数分别为 6 人和 3 人，所以抽取的 6 人中分数在130，150的人有（人）；（8 分）（3）由（2）知：抽取的 6 人中分数在130，150的人有 2 人，依题意的所有取值为 0、1、2，当 =0 时，；当 =1 时，；当 =2 时，；（12 分）【点评】本题主要考查了频率分布直方图以及平均数和概率的计算问题，也考第 21 页（共 29 页）查了运用统

30、计知识解决简单实际问题的能力，是基础题19 （12 分）如图，已知平面 QBC 与直线 PA 均垂直于 RtABC 所在平面，且PA=AB=AC（）求证：PA平面 QBC；（）PQ平面 QBC，求二面角 QPBA 的余弦值【分析】（）利用线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理即可证明；（）方法一：利用三角形的中位线定理及二面角的平面角的定义即可求出方法二：通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量所成的夹角来求两平面的二面角的平面角【解答】解：（I）证明：过点 Q 作 QDBC 于点 D，平面 QBC平面 ABC，QD平面 ABC，又PA 平面 ABC，QDPA，又QD平面 QBC，PA 平面

31、 QBC，PA 平面 QBC（）方法一：PQ平面 QBC，第 22 页（共 29 页）PQB=PQC=90 ，又PB=PC，PQ=PQ，PQB PQC，BQ=CQ点 D 是 BC 的中点，连接 AD，则 ADBC，AD平面 QBC，PQAD，ADQD ，四边形 PADQ 是矩形设 PA=2a，，PB=2 a，过 Q 作 QRPB 于点 R，QR= = ，= = ，取 PB 中点 M，连接 AM，取 PA 的中点 N，连接 RN，PR= ，，MARN PA=AB，AMPB， RNPBQRN 为二面角 QPBA 的平面角连接 QN，则 QN= = = 又，cosQRN= = = 即二面角

32、QPBA 的余弦值为（）方法二：PQ平面 QBC，第 23 页（共 29 页）PQB=PQC=90 ，又PB=PC，PQ=PQ，PQB PQC，BQ=CQ点 D 是 BC 的中点，连 AD，则 ADBCAD平面 QBC，PQAD，ADQD ，四边形 PADQ 是矩形分别以 AC、 AB、AP 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz不妨设 PA=2，则 Q（1，1，2），B （0，2，0），P（0，0，2），设平面 QPB 的法向量为 =（ 1，1，0）， =（0，2， 2）令 x=1，则 y=z=1又平面 PAB 的法向量为设二面角 QPBA 为，则|cos|= = =

33、又二面角 QPBA 是钝角【点评】熟练掌握线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理、二面角的定义及通过建立空间直角坐标系并利用平面的法向量所成的夹角来求二面角的平面第 24 页（共 29 页）角是解题的关键20 （12 分）已知椭圆 C： + =1（ab0），圆 Q：（x 2） 2+（y ） 2=2的圆心 Q 在椭圆 C 上，点 P（0，）到椭圆 C 的右焦点的距离为（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 P 作互相垂直的两条直线 l1，l 2，且 l1 交椭圆 C 于 A，B 两点，直线 l2交圆 Q 于 C，D 两点，且 M 为 CD 的中点，求MAB 的面积的取值范围【分析】（1）

34、求得圆 Q 的圆心，代入椭圆方程，运用两点的距离公式，解方程可得 a，b 的值，进而得到椭圆方程；（2）讨论两直线的斜率不存在和为 0，求得三角形 MAB 的面积为 4；设直线y=kx+ ，代入圆 Q 的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得 M 的坐标，求得 MP 的长，再由直线 AB 的方程为 y= x+ ，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，化简整理，由换元法，结合函数的单调性，可得面积的范围【解答】解：（1）圆 Q：（x 2） 2+（y ） 2=2 的圆心为（2，），代入椭圆方程可得 + =1，由点 P（0 ，）到椭圆 C 的右焦点的距离为，即有 = ，解得

35、 c=2，即 a2b2=4，解得 a=2 ，b=2，即有椭圆的方程为 + =1；第 25 页（共 29 页）（2）当直线 l2：y= ，代入圆的方程可得 x=2 ，可得 M 的坐标为（ 2，），又|AB |=4，可得MAB 的面积为 24=4；设直线 y=kx+ ，代入圆 Q 的方程可得，（1+k 2）x 24x+2=0，可得中点 M（，），|MP|= = ，设直线 AB 的方程为 y= x+ ，代入椭圆方程，可得：（2+k 2）x 24 kx4k2=0，设（x 1，y 1），B（x 2，y 2），可得 x1+x2= ，x 1x2= ，则|AB|= = ，可得MAB 的面积为

36、S= =4 ，设 t=4+k2（5t 4），可得 = = =1，可得 S4，且 S4 =综上可得，MAB 的面积的取值范围是（，4 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查三角形的面积的范围，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，第 26 页（共 29 页）以及三角形的面积公式，运用换元法和函数的单调性，属于中档题21 （12 分）设函数 f（x）=x 2+aln（x +1）（a 为常数）（）若函数 y=f（x）在区间1，+）上是单调递增函数，求实数 a 的取值范围；（）若函数 y=f（x）有两个极值点 x1，x 2，且 x1x 2，求证：【分析】

37、（）已知原函数的值为正，得到导函数的值非负，从而求出参量的范围；（）利用韦达定理，对所求对象进行消元，得到一个新的函数，对该函数求导后，再对导函数求导，通过对导函数的导导函数的研究，得到导函数的最值，从而得到原函数的最值，即得到本题结论【解答】解：（）根据题意知：f（x ）= 在1，+）上恒成立即 a2x 22x 在区间1，+ ）上恒成立2x 22x 在区间1，+）上的最大值为 4，a 4；经检验：当 a=4 时，，x1，+） a 的取值范围是4，+）（）在区间（1，+）上有两个不相等的实数根，即方程 2x2+2x+a=0 在区间（ 1，+）上有两个不相等的实数根记 g（ x）=2x

38、2+2x+a，则有，解得，第 27 页（共 29 页）令，记，P(- )=-4，P(0)=212在使得 p（x 0）=0当，p（x ）0；当 x（x 0，0）时，p（x ）0 而 k（x）在单调递减，在（x 0，0）单调递增， (12)=12ln20,(0)=0当，(12， 0)， ()0k（x）在单调递减，即【点评】本题考查的是导数知识，重点是利用导数法研究函数的单调性、究极值和最值，难点是多次连续求导，即二次求导，本题还用到消元的方法，难度较大请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22 （10 分）（选做题）直角坐标系 xOy 和极

39、坐标系 Ox 的原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线 C 的参数方程为第 28 页（共 29 页）为参数）（1）在极坐标系下，曲线 C 与射线和射线分别交于 A，B 两点，求AOB 的面积；（2）在直角坐标系下，直线 l 的参数方程为（t 为参数），求曲线 C与直线 l 的交点坐标【分析】（1）先消去参数方程中的参数得普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用 cos=x，sin=y， 2=x2+y2，进行代换将直角坐标方程化成极坐标方程，通过极坐标方程求出三角形的边长后求面积即可（2）将 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程，得 t

40、的值，再代入 l 的参数方程，得曲线 C 与直线 l 的交点坐标【解答】解：（1）曲线 C 的参数方程为为参数）消去参数得它的普通方程为：，将其化成极坐标方程为：，分别代入和得|OA| 2=|OB|2= ，因AOB= ，故AOB 的面积 S= |OA|OB|= （2）将 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程，得（t2 ） 2=0，t=2 ，代入 l 的参数方程，得 x=2 ，y= ，曲线 C 与直线 l 的交点坐标为（ 2 ，）【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角

41、坐标的互化23 （10 分）已知函数 f（ x）=|2x +1|2x3|，g（x）=|x +1|+|xa|（1）求 f（x）1 的解集第 29 页（共 29 页）（2）若对任意的 tR，都存在一个 s 使得 g（s）f（t ）求 a 的取位范围【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求（2）由题意可得 g（x） minf（x） max，利用绝对值三角不等还分别求得g（ x） min 和 f（x ） max，解不等式可得 g（x） minf （x） max，求得 a 的范围【解答】解：（1）函数 f（x ）=|2x+1|2x3|，

42、故 f（x ）1，等价于|2x+1|2x3|1，等价于，或，或解求得 x，解求得 x ，解求得 x ，综上可得，不等式的解集为x|x （2）若对任意的 tR，都存在一个 s 使得 g（s）f（t ），可得 g（x）minf （x ） max函数 f（x ）=|2x+1|2x3|2x+1（2x3）|=4， f （x） max=4g （x）= |x+1|+|xa|x+1（xa）|=|a+1|，故 g（x） min=|a+1|，|a +1|4 ，a+1 4，或 a+14，求得 a3，或 a5，故要求的 a 的范围为x|a3，或 a 5 【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，属于基础题

展开阅读全文