1、专题：椭圆的离心率一，利用定义求椭圆的离心率（ 或 ）ace221ab1，已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率 32e2，椭圆 142myx的离心率为 ，则 m 解析当焦点在 轴上时， 3214； 当焦点在 y轴上时， 31624m，综上 316或 33，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是 534，已知 m,n,m+n 成等差数列，m，n，mn 成等比数列，则椭圆 12nymx的离心率为 解析由 02n42，椭圆 12nyx的离心率为 25，已知 ).(1m则当 mn 取得最小值时，椭圆 12nymx的的离心率为 236，设椭圆 2byax=1（ a b0
2、）的右焦点为 F1，右准线为 l1，若过 F1且垂直于 x 轴的弦的长等于点 F1到 l1的距离，则椭圆的离心率是 。二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率 e1，在 ABC 中， ， ，如果一个椭圆过 A、B 两点，它的一个焦点为 C，另一个焦点在Rt90A1ACBAB 上，求这个椭圆的离心率 36e2， 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线 1与 BF 交于 D,且 901D,则椭圆的离心率为( ) 解析 eaccba21( 253，以椭圆的右焦点 F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于 M、N 两点，椭圆的左焦点为 F1，直线MF1与圆相切，则椭圆的离心
3、率是 13变式（1）：以椭圆的一个焦点 F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心 O 并且与椭圆交于 M、N 两点，如果MF=MO，则椭圆的离心率是 4,椭圆 + =1(ab 0)的两焦点为 F1 、F 2 ，以 F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则x2a2 y2b2椭圆的离心率 e？解：F 1F2=2c BF 1=c BF 2= c c+ c=2a e= = -1 3 3ca 3变式（1）：椭圆 + =1(ab 0)的两焦点为 F1 、F 2 ，点 P 在椭圆上，使OPF 1 为正三角形，求椭圆离心率？x2a2 y2b2解：连接 PF2 ,则OF 2=OF 1=OP,F 1
4、PF2 =90图形如上图，e= -1 3变式（2） 椭圆 + =1(ab 0)的两焦点为 F1 、F 2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且 PF1 X 轴，x2a2 y2b2PF2 AB,求椭圆离心率？ 解：PF 1= F 2 F1=2c OB=b OA=a PF 2 AB = 又 b= b2a PF1 F2 F1 ba a2-c2a 2=5c2 e=变式(3):将上题中的条件“PF 2 AB”变换为“ ( 为坐标原点)” OAB相似题：椭圆 + =1(ab 0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，ABF=90，求 e? x2a2 y2b2解：AO=a OF=c BF
5、=a AB= a2+b2a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以 a2 e2+e-1=0 e= e= (舍去)变式(1):椭圆 + =1(ab 0)，e= , A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求ABF？x2a2 y2b2点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90引申：此类 e= 的椭圆为优美椭圆。性质：（1）ABF=90（2）假设下端点为 B1 ,则 ABFB1 四点共圆。（3）焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。变式(2): 椭圆 (a b0)的四个顶点为 A、 B、 C、 D，
6、若四边形 ABCD 的内切圆恰好过椭圆的焦点，2yax则椭圆的离心率 e = 5提示：内切圆的圆心即原点，半径等于 c，又等于直角三角形 AOB 斜边上的高，由面积得：，但2barr4，设椭圆 的左、右焦点分别为 ，如果椭圆上存在点 P，使 ，求离心率）（ 0a1yx221F、 90F21e 的取值范围。解：设 ,cF,P21法 1：利用椭圆范围。由 得 ，将这个方程与椭圆方程联立，消去 y，可解得 。F22cyx 22bacx2)(eac由椭圆的性质知 ，得 。2a0），以 12e附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围（与法 1 类似）法 2：判别式法。由椭圆定义知 ，又因为 ，|PFa
7、PFPFa121221249021PF可得 ，则 ，212214| cFPF )(2| 21caPFb， 是方程 的两个根，则2 0baz 210)(8422 eacec解法 3：正弦定理设记 PFF1221， ， 由 正 弦 定 理 有 |sin|90sin|i|sin| 21212121 FPFPF又因为 ，且 则ca|， 90)4sin(2osinisn ace则 ， 204341i2)4sin(2所以 1e解法 5：利用基本不等式由椭圆定义，有 平方后得212aPF|42 82121 12aPFPFFc|(|)|得 c2所 以 有 ， ）e解法 6：巧用图形的几何特性由 ，知点 P 在
8、以 为直径的圆上。FP1290|Fc12又点 P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点 P，故有 cbac22变式(1)：圆 + =1(ab 0)的两焦点为 F1 （-c，0） 、F 2 (c,0)，P 是以F 1F2为直径的圆与椭圆的一个交x2a2 y2b2点，且PF 1F2 =5PF 2F1 ,求椭圆的离心率 e分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。解：由正弦定理： = F1F2sin F1PF2 F1Psin F1F2P 21si根据和比性质：= 变形得： = =e F1F2sin F1PF2 F1P + PF2sinF1F2P+sin PF1F2 F1F2 PF2 + F1P sin
9、 F1PF2sin F1F2P +sin PF1F2 acPF 1F2 =75PF 2F1 =15 e= =sin90sin75+sin15点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 e=sin F1PF2sin F1F2P +sin PF1F2变式(2)：椭圆 + =1(ab 0)的两焦点为 F1 （-c，0） 、F 2 (c,0)，P 是椭圆上一点，且F 1PF2 =60，求椭x2a2 y2b2圆离心率 e 的取值范围？分析：上题公式直接应用。解：设F 1F2P=，则F 2F1P=120- e= = =sin F1PF2sin F1F2P +sin PF1F2 sin60sin +s
10、in(120- ) eb 0)的两焦点为 F1 （-c，0） 、F 2 (c,0)，满足 1 2 =0 的点 M 总在椭圆内部，则 ex2a2 y2b2 MFMF MFMF 的取值范围？分析： 1 2 =0以 F1F2 为直径作圆，M 在圆 O 上，与椭圆没有交点。 MFMF MFMF 解：c2c2 0b 0)的两焦点为 F1 （-c，0） 、F 2 (c,0)，P 为右准线 L：x= 上一点，F 1P 的垂直平分线x2a2 y2b2 a2c恰过 F2 点，求 e 的取值范围？分析：思路 1,如图 F1P 与 F 2M 垂直，根据向量垂直，找 a、b、c 的不等关系。思路 2：根据图形中的边长
11、之间的不等关系，求 e解法一：F 1 （-c，0） F 2 (c,0) P( ,y0 ) M( , )a2c y02既( , ) 则 1 =-( +c, y0 ) b22c y02 PFPF a2c2 =-( -c, ) 1 2 =0( +c, y0 ) ( -c, MFMF b22c y02 PFPF MFMF a2c b22c)=0y02( +c)( -c)+ =0a2-3c20 eb 0)，过左焦点 F1 且倾斜角为 60的直线交椭圆与 AB 两点，若F 1A=2BF 1,求椭x2a2 y2b2圆的离心率 e 的值解：设BF 1=m 则AF 2=2a-am BF 2=2a-m在AF 1F
12、2 及BF 1F2 中，由余弦定理得： 两式相除 = e=a2 c2=m(2a-c)2(a2-c2)=m(2a+c) ： 2a-c2a+c 1223练习题：1，椭圆 上有一点 M， 是椭圆的两个焦点，若 ，求椭圆的离心率.2(0)xyab12,F21MFbB C F EA D 解析: 由椭圆的定义，可得 又 ，所以 是方程21MFa21FMb21,FM的两根，由 ， 可得 ，即 所以 ，220xab2()40ab222()accea所以椭圆离心率的取值范围是 ,1)2，在 ABC 中， 90， 3tan4B若以 AB， 为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率 e 解析 Cekk,5,3,41
13、23，已知 21F为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若 3:21:12PFFP, 则此椭圆的离心率为 _.解析 三角形三边的比是 :314，在平面直角坐标系中，椭圆2xyab1( a0)的焦距为 2，以 O 为圆心， a为半径的圆，过点2,0ac作圆的两切线互相垂直，则离心率 e= 解析 ea225， 在 ABC 中， 3,|,30ABCS若以 B， 为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率e 【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率解析 3sin|21ASABC， 32|，2cos|2|2 ACBABC13| e6，已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，若椭圆上存在一点 使 ，2
14、1(0)xyab12,0,FcP12sinFac则该椭圆的离心率的取值范围为 解析 在 中，由正弦定理得 ，则由已知，得 ，即 ，12PF2112sinsiP21acF12a，由椭圆的定义知 ， ，12ca12FacFP即 ，由解法三知 椭圆的离心率 。2PF 1caPec,e7，已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 为 椭圆 上任意一点 ，且2:1(0)xyMba12,0,cM的最大值的取值范围是 ，其中 ，则该椭圆的离心率的取值范围为 12A2,3c2cab解析：设 ，则 ，而0,Pxy2212000,FPxyxycAA, 的最大值为 ，220xyPOa12FPA2ac 134ccce8，在平面直角坐标系中，椭圆2xyab1( b0)的焦距为 2，以 O 为圆心， a为半径作圆，过点2,0ac作圆的两切线互相垂直，则离心率 e= 2 9，设椭圆21(0)xyb的离心率为 1，右焦点为 (0)Fc， ，方程 20axbc 的两个实根分别为 1和 2，则点 2Px， （ A ）必在圆 内 必在圆 2xy上必在圆 y外 以上三种情形都有可能
