1、 1椭圆专题复习1. 椭圆定义：平面内与两个定点 21F、 的距离之和为常数 |)|2(2Fa的动点 P的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F、叫椭圆的焦点 .当 21aP时, P的轨迹为椭圆 ; ; 当 21F时, 的轨迹不存在; 当 21F时, 的轨迹为 以 21F、 为端点的线段2.椭圆的方程与几何性质:标准方程 )0(2bayx )0(12baxy参数关系 22c焦点 ),(,c ),(0c焦距范围 byax|,| bxay|,|顶点 ),0()(0, )0,()(,对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称离心率 )1,(ace性质准线 cax2cay2考点 1 椭圆定义及标准方程 题型 1:
2、椭圆定义的运用例 1 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 A、B 是它的焦点，长轴长为 2a，焦距为 2c，静放在点A 的小球（小球的半径不计） ，从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是( )A4a B2(ac) C2(a+c) D以上答案均有可能【变式训练】1.短轴长为 5，离心率 32e的椭圆两焦点为 F1，F 2，过 F1作直线交椭圆于 A、B 两点，则ABF 2的周长为 A.3 B.6 C.12 D.24 ( )2.已知 P为椭圆2156xy上的一点， ,M
3、N分别为圆 2(3)xy和圆 2(3)4xy上的点，则MN的最小值为 A 5 B 7 C 13 D 15 ( )题型 2 求椭圆的标准方程 2例 2 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为 244，求此椭圆方程.【变式训练】3. 如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴的椭圆，那么实数 k 的取值范围是_.4. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是 3，求这个椭圆方程.考点 2 椭圆的几何性质 题型 1:求椭圆的离心率（或范围）例 3 在 ABC 中， 3,2|,30
4、ABCS若以 B， 为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率 e 【变式训练】5.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 ( )A. 45 B. 23 C. 2 D. 21 6.已知 m,n,m+n 成等差数列，m，n，mn 成等比数列，则椭圆 nymx的离心率为 题型 2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例 4 已知实数 yx,满足 124y,求 xy2的最大值与最小值【变式训练】7.已知点 BA,是椭圆21xymn（ 0， n）上两点,且 BOA,则 = 8.如图，把椭圆256的长轴 AB分成 8等份，过每个分点作 x轴的垂线交椭圆的上半部分于 123457,
5、PP七个点， F是椭圆的一个焦点3则 1234567PFPFPF_考点 3 椭圆的最值问题例 5 椭圆 196yx上的点到直线 l: 09yx的距离的最小值为 _【变式训练】9.椭圆 1962yx的内接矩形的面积的最大值为 10. P是椭圆 2ba上一点， 1F、 2是椭圆的两个焦点，求 |21PF的最大值与最小值11.已知点 是椭圆 42yx上的在第一象限内的点，又 )0,2(A、 ),(B， O是原点，则四边形OAPB的面积的最大值是_ 考点 4 椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题例 6 已知椭圆 C的中心为坐标原点 O,一个长轴端点为 0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形
6、为正方形，直线 l与 y 轴交于点 P（0，m） ，与椭圆 C 交于相异两点 A、 B，且 P3（1）求椭圆方程；（2）求 m 的取值范围例 7 、从椭圆21(0)xyab上一点 P向 x轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点 1F, A为椭圆的右顶点， B是椭圆的上顶点 ,且 (ABO.、求该椭圆的离心率. 、若该椭圆满足 ，求椭圆方程.52ca【变式训练】412.设过点 yxP,的直线分别与 x轴的正半轴和 y轴的正半轴交于 A、 B两点，点 Q与点 P关于 y轴对称，O为坐标原点，若 AB2，且 1BOQ，则 P点的轨迹方程是 ( ) A. 0,1322y B. 0,1322yxyxC. xyx
7、 D. 13. 如图，在 RtABC 中，CAB=90，AB=2，AC= 2,一曲线 E 过点 C，动点 P 在曲线 E 上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线 l 经过 A 与曲线 E 交于 M、N 两点.（1）建立适当的坐标系，求曲线 E 的方程；（2）设直线 l 的斜率为 k，若MBN 为钝角，求 k 的取值范围.基础巩固训练1. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点, 直线 1AB与 BF 交于 D,且 901BD,则椭圆的离心率为( ) A 213 B 215 C 25 D 32. 设 F1、F 2 为椭圆 4x+y2=1 的两焦点，P 在椭圆上，当 F 1PF2 面积为
8、1 时， 21PF的值为( ）A 0 B 1 C 2 D 33.椭圆2369xy的一条弦被 (4,)A平分,那么这条弦所在的直线方程是 （ ）A 0 B 210xy C 20xy D 280xy4.在 C 中， ， 3tan4若以 B， 为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率 e 5. 已知 21,F为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点, 若 3:21:121PFFP, 则此椭圆的离心率为 _.6.在平面直角坐标系中，椭圆2xyab1( 0)的焦距为 2，以 O 为圆心， a为半径的圆，过点52,0ac作圆的两切线互相垂直，则离心率 e= 综合提高训练7、已知椭圆 )0(12bayax与过点
9、A(2，0)，B(0，1)的直线 l 有且只有一个公共点 T，且椭圆的离心率 3e求椭圆方程8 已知 A、B 分别是椭圆 12byax的左右两个焦点，O 为坐标原点，点 P 2,1(）在椭圆上，线段 PB与 y 轴的交点 M 为线段 PB 的中点。（1）求椭圆的标准方程；（2）点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于 ABC，求 siniABC的值。9. 已知长方形 ABCD, AB=2 2,BC=1.以 AB 的中点 O为原点建立如图 8 所示的平面直角坐标系 xoy.()求以 A、 B 为焦点，且过 C、 D 两点的椭圆的标准方程;()过点 P(0,2)的直线 l交()中椭圆于 M,N
10、 两点, 是否存在直线 l,使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点?若存在, 求出直线 的方程;若不存在,说明理由.O xyA BCD图 86椭圆专题复习1. 椭圆定义：平面内与两个定点 21F、 的距离之和为常数 |)|2(2Fa的动点 P的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F、叫椭圆的焦点 .当 21aP时, P的轨迹为椭圆 ; 当 2121Fa时, 的轨迹不存在; 当 21F时, 的轨迹为 以 21F、 为端点的线段2.椭圆的方程与几何性质:标准方程 )0(2bayx )0(12baxy参数关系 22c焦点 ),(,c ),(0c焦距范围 byax|,| bxay|,|顶点 ),0()(0, )
11、0,()(,对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称离心率 )1,(ace性质准线 cax2cay2考点 1 椭圆定义及标准方程 题型 1:椭圆定义的运用例 1 (湖北部分重点中学 2009 届高三联考) 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 A、B 是它的焦点，长轴长为 2a，焦距为 2c，静放在点 A 的小球（小球的半径不计） ，从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是A4a B2(ac) C2(a+c) D以上答案均有可能解析 按小球的运行路径分三种情况:(1) ,
12、此时小球经过的路程为 2(ac);(2) AD, 此时小球经过的路程为 2(a+c);(3) QBPA此时小球经过的路程为 4a,故选 DO xyDPA BCQ7【名师指引】考虑小球的运行路径要全面【变式训练】1.短轴长为 5，离心率 32e的椭圆两焦点为 F1，F 2，过 F1作直线交椭圆于 A、B 两点，则ABF 2的周长为 A.3 B.6 C.12 D.24 （ ）解析C. 长半轴 a=3，ABF 2的周长为 4a=122.已知 P为椭圆2156xy上的一点， ,MN分别为圆 2(3)1xy和圆 2(3)4xy上的点，则MN的最小值为 （ ） A 5 B 7 C 13 D 15 解析B.
13、 两圆心 C、D 恰为椭圆的焦点， 10|P， MPN的最小值为 10-1-2=7题型 2 求椭圆的标准方程 例 2 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为 244，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数 cba,的式子“描述”出来解析设椭圆的方程为 12byax或 )0(12yx， 则 22)1(4cba，解之得： 4，b= c4.则所求的椭圆的方程为 632yx或 312yx.【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数 cba,的数量关系警示易漏焦点在 y 轴上的情况【变式训练】3. 如果方程 x2+ky2=2
14、 表示焦点在 y 轴的椭圆，那么实数 k 的取值范围是_.解析(0,1). 椭圆方程化为2x+ k=1. 焦点在 y 轴上，则 22，即 k0，00 （*）x1x 2 ， x1x2 3 x 13x 2 Error! 2kmk2 2 m2 1k2 2 AP PB消去 x2，得 3（x 1x 2） 24x 1x20，3（ ） 24 0 2kmk2 2 m2 1k2 2整理得 4k2m22m 2k 220 m2 时，上式不成立；m 2 时，k 2 ，14 14 2 2m24m2 1因 3 k0 k 2 0，12m22 成立，所以（*）成立2 2m24m2 1 12 12即所求 m 的取值范围为（1，
15、 ）（ ，1 ） 12 12【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能11例 7椭圆21(0)xyab上一点 P向 x轴引垂线 ,垂足恰为椭圆的左焦点 1F, A为椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点,且 ()ABO.、求该椭圆的离心率. 若该椭圆满足 ，求椭圆52ca方程.解析 、 P， ， 1PFO BA,111PFcbcFBOAa， 又2 211(,)cbyPFaba， c, 而 22abc2e. 5x为准线方程，225acc, 由22210acbb 所求椭圆方程为2105xy【变式训练】14.设过点 yxP,的直线分别与 x轴的正半轴和 y轴的正半轴交于
16、A、 B两点，点 Q与点 P关于 y轴对称，O为坐标原点，若 AB2，且 1BOQ，则 P点的轨迹方程是 （ ） A. 0,1322y B. 0,1322yxyxC. xyx D. 解析 ),(),32(yxOQAB1322y，选 A.15. 如图，在 RtABC 中，CAB=90，AB=2，AC= 。一曲线 E 过点 C，动点 P 在曲线 E 上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线 l 经过 A 与曲线 E 交于 M、N 两点。（1）建立适当的坐标系，求曲线 E 的方程；（2）设直线 l 的斜率为 k，若MBN 为钝角，求 k 的取值范围。解：（1）以 AB 所在直线为 x 轴，AB
17、 的中点 O 为原点建立直角坐标系，则 A（1，0） ，B（1 ，0）由题设可得 232)(2| CBAP12动点 P 的轨迹方程为 )0(12bayx， 则 1.1,22cabca曲线 E 方程为2（2 ）直线 MN 的方程为 ),(),(),(),1( 211yxNMyxxky设设由 02420)1(2 kyxk得8方程有两个不等的实数根 221221 )1(,4xkxk),1(),1(2yxBNyxBM)()( 1221221 kxyBNM12)( kxkx 22222 17)4)(1)( kMBN 是钝角 0BNM 即 02k解得： 7k又 M、 B、N 三点不共线 k综上所述，k 的
18、取值范围是 )7,(),(基础巩固训练1. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点, 直线 1AB与 BF 交于 D,且 901BD,则椭圆的离心率为 ( ) A 213 B 215 C 25 D 3解析 B . eaccba)( 2152. 设 F1、F 2 为椭圆 42x+y2=1 的两焦点，P 在椭圆上，当F 1PF2 面积为 1 时， 21PF的值为（ ）A 0 B 1 C 2 D 3解析 A . |321PPFyS， P 的纵坐标为 ，从而 P 的坐标为 )3,6(，21PF0， 133.椭圆21369xy的一条弦被 (4,2)A平分,那么这条弦所在的直线方程是 （ ）A 0 B 1
19、0xy C 20xy D 280xy解析 D. 93621yx,2,两式相减得： )(421121，4,82121， 21xy4.在 ABC 中， 90， 3tan4B若以 AB， 为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率 e 解析 CekCk,5,4125. 已知 21,F为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点, 若 3:21:121PFFP, 则此椭圆的离心率为 _.解析 3 三角形三边的比是 :316.在平面直角坐标系中，椭圆2xyab1( 0)的焦距为 2，以 O 为圆心， a为半径的圆，过点2,0ac作圆的两切线互相垂直，则离心率 e= 解析 e22综合提高训练7、已知椭圆 )0(12b
20、ayax与过点 A(2，0)，B(0，1)的直线 l 有且只有一个公共点 T，且椭圆的离心率 3e求椭圆方程解析直线 l 的方程为： 12xy由已知 2243baab由 122xyba得： 0)4( 222xab 0)(4(22，即 224ba 由得： 2ba，故椭圆 E 方程为 12yx8.已知 A、B 分别是椭圆 12yx的左右两个焦点，O 为坐标原点，点 P 2,(）在椭圆上，线段 PB14与 y 轴的交点 M 为线段 PB 的中点 .（1 ）求椭圆的标准方程；（2 ）点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于 ABC ，求 siniABC的值。解析（1）点 是线段 PB的中点 OM是
21、 PAB的中位线 又 OM P 2222,1cabcab解 得 椭圆的标准方程为 2yx=1 （2）点 C 在椭圆上，A、B 是椭圆的两个焦点 AC BC2a ，AB2c 2 在ABC 中，由正弦定理， sinisinCAB siniC 2B 9. 已知长方形 ABCD, AB=2 ,BC=1.以 AB 的中点 O为原点建立如图 8 所示的平面直角坐标系 xoy.()求以 A、 B 为焦点，且过 C、 D 两点的椭圆的标准方程;()过点 P(0,2)的直线 l交()中椭圆于 M,N 两点, 是否存在直线 l,使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点?若存在, 求出直线 的方程;若不存在,说明理由.
22、解析 ()由题意可得点 A,B,C 的坐标分别为 1,20,2.设椭圆的标准方程是 012bayx.24 102222 BCAa则a42cab. 椭圆的标准方程是 .124yx()由题意直线的斜率存在,可设直线 l的方程为 02kxy.设 M,N 两点的坐标分别为 .,21xy联立方程: 42xky消去 整理得, 82 有 2211,8kxk若以 MN 为直径的圆恰好过原点,则 ONM,所以 021yx,所以, 02121x, 即 4121kO xyA BCDBAC15所以, 042164k即 ,02148k得 .2,2k所以直线 l的方程为 xy,或 xy.所以存在过 P(0,2)的直线 l: 使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点.
