1、 1椭圆专题复习1、椭圆的定义：平面内到两个定点 F1、F 2 的距离的和等于常数(大于 F1F2)的点的轨迹叫做_这两定点叫做椭圆的_，两焦点间的距离叫_集合 P M|MF1MF 22a，F 1F22c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数：(1)若_，则集合 P 为椭圆；(2)若_，则集合 P 为线段；(3)若_，则集合 P 为空集2、椭圆的标准方程、参数方程和一般方程：1、焦点在 轴： （参数方程，其中 为参数）xsinco)0(12 byaxbay 2、焦点在 轴： （参数方程，其中 为参数）ix一般方程可设为： （通常已知椭圆过两点时求椭圆方程，可设为一般方程）),(2mny3、椭圆
2、的几何性质（以 为例）01 ba1、范围： ，axb2、对称性：两条对称轴 ， ；一个对称中心0y),(3、顶点及焦点坐标：椭圆与坐标轴的交点叫做双曲线的顶点，即四个顶点 ， ， ，)0,(a,(),0b；两个焦点 ，),0(b),(1cF),(24、长短轴及焦距：长轴长为 ，短轴长为 ，焦距ab2cF215、 的关系及离心率： ；离心率 ， 越小椭圆越圆， 越大椭圆越扁a, 2)0( eae6、通径：过焦点并垂直于长轴的弦，弦长为2例：1、分别求满足下列条件的椭圆的标准方程（1）长轴长是短轴长的 3 倍，经过 (2)椭圆经过两点 P1( ，1)，P 2( ， )0,(A6 3 22、求出椭圆
3、的离心率若 P 是以 F1、F 2 为焦点的椭圆 1(ab0)上的一点，且 0，tan PF 1F2 ，则此椭圆的x2a2 y2b2 PF1 PF2 12离心率为_设以 F1、F 2 为焦点的椭圆 1(ab0)上存在一点 P，使 ,求离心率的范围x2a2 y2b2 |213、求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）椭圆上点 P 到两个焦点的距离分别为 5、3，过 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；2四、共焦点椭圆系方程与 共焦点的椭圆方程可设为 ，再代点求参数)0(12 bayx )0(122 babyax例题：求经过点(2，1)，且与椭圆 12x23y 236 有共同焦点的椭圆方程.
4、五、点与椭圆的位置关系（1）点 在椭圆内),(0yxP120byax（2）点 在椭圆上,020（3）点 在椭圆外),(0yxP120byax六、直线与椭圆的位置关系（1）位置关系：相交 相切 相离（2）判断方法：联立直线与椭圆方程，通过判别式判断若 直线与椭圆没有交点 相离0若 直线与椭圆有一个交点 相切若 直线与椭圆有两个交点 相交例题：已知直线 ，椭圆 试问当 取何值时，直线 与椭圆 C mxyl2: ,124:yxCml相交 相切 相离七、中点弦问题：与圆锥曲线的弦的中点有关的问题处理椭圆中的中点弦问题主要有三个途径：1、方程组法：联立直线与椭圆方程，通过韦达定理写出中点坐标进行求解（注
5、意判别式要大于 0）2、点差法：对直线与椭圆的两焦点设而不求，分别代入椭圆方程，两式相减既得弦的中点坐标和斜率的关系例：1、已知直线 与椭圆 交于 A、B 两点，A、B 中点坐标为 ，求直线 的方程l126yx 1,2l32、已知椭圆 （1）求斜率为 2 的平行弦的中点的轨迹方程（2）过点 的直线 与椭圆相交，2yx 1,2l求被 截得的弦中点的轨迹方程l八、焦点三角形：（椭圆上的一点与两焦点构成的三角形）（1）焦点三角形的面积：中结合定义 与余弦定理 ，将有关线段 、 、 和角2FP12PFa21cosPF1PF221结合起来，设 ，则 2112S例：1、.已知 是椭圆 C: (ab0)的两
6、个焦点，P 是椭圆上一点，且 ,若 的, byax 2121F面积是 16，则 _b2、已知点 是椭圆 上的一点， 、 为焦点， ，求点 到 轴的距离.P142yx1F2 021PFx（2）焦点三角形的周长：利用椭圆的定义 （ 为椭圆上的一点）aMF21例：已知 、 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于 、 两点.若 ，则1F21952yx1AB122BFA.AB（3）有关 的问题21PF例题：设椭圆 的两焦点分别为 和 ， 为椭圆上一点，求 的最大值，并求此时492yx1F2P21PF点的坐标.P4九、弦长问题（1）若直线 与椭圆相交于两点 、 ，mkxy),(1yxA),(2B2121y
7、AB推广： ，再联立直线与椭圆方程，通过韦达定理进212121 4)(xxkxk行求解，最后可得 （ 为联立所得的一元二次方程的二次项系数， 为判别式）aAB例题：已知斜率为 2 的直线经过椭圆 的右焦点 ，与椭圆交于 A、B 两点，求 AB 长1452yxF十、三角形面积问题若直线 与椭圆相交于两点 、 ，直线外有一点 ，连接 ，mkxy),(1yxA),(2B),(0yxPPBA,则 的求解方法是求出弦长 求出点 到直线的距离 ，PABS 21k),(0yx201km那么 212xk20kmy例题：已知直线 与椭圆 相交于两点 、 ，椭圆的右焦点为 ，求y134),(1yxA),(2B2F
8、ABFS2十一、椭圆的最值问题例题：1、设 F1，F 2 分别是椭圆 1 的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点 M 的坐标为(6,4) ，则x225 y216PMPF 1 的最小值为_最大值为 2、若椭圆 内有一点 , 为右焦点，椭圆上有一点 ， 的最大值为 2143xy1PF FP5， 最小值为_MFP2综合练习1、已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3，最小值为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若直线 l：ykxm 与椭圆 C 相交于 A，B 两点(A，B 不是左右顶点)，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点求证：直线
9、l 过定点，并求出该定点的坐标2、设 是椭圆 上的两点， ，且满足221,yxBA012bax aybxnaybxm21,，椭圆的离心率 ，短轴长为 2，O 为坐标原点 0nm3e（1）求椭圆的方程（2）若存在斜率为 的直线 AB 过椭圆的焦点 （c 为半焦距），求直线 AB 的斜率 的值kF,0k（3）试问： 的面积是否为定值？若是，请给出证明；若不是，请说明理由AOB3、（2012 重庆高考 21）已知椭圆的中点为原点 O，长轴在 x 轴上，上顶点为 A，左右焦点分别为 ，线21,F段 的中点分别为 ，且 是面积为 4 的直角三角形21,OF21,B21A（1）求该椭圆的离心率及标准方程（
10、2）过 作直线交椭圆于点 P,Q， ，求 的面积1B2QBPP264、已知直线 l： y x ，圆 O： x2 y25，椭圆 E： 1( a b0)的离心率 e ，直线 l 被圆 O 截6y2a2 x2b2 33得的弦长与椭圆的短轴长相等（1）求椭圆 E 的方程（2）在椭圆 E 上是否存在三个点 E、F、G 使得 ? 26OFGEOFSS5、已知椭圆 E： 短轴的一个端点与两焦点连线构成直角三角形，且过点( ,1)012bayx 2（1）求椭圆 E 的方程（2）若 A,B 是椭圆 E 上的两个动点，设直线 OA,OB 的斜率分别为 , ，试问当 为何值时，三角形1k21k2OAB 的面积为常数，并求出这个常数。
