1、第 页 共 17 页椭圆专题复习知识梳理1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点 21F、 的距离之和为常数 |)|2(2Fa的动点 P的轨迹叫椭圆,其中两个定点 2F、 叫椭圆的焦点.（2）椭圆的第二定义:平面内到定点 与定直线 l(定点 不在定直线 l上)的距离之比是常数 e( 10)的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.2.椭圆的方程与几何性质:标准方程 )0(12bayx )0(12baxy参数关系 22c焦点 ),(,c ),(0c焦距范围 byax|,| bxay|,|顶点 ),0()(0, )0,()(,对称性 关于
2、 x 轴、y 轴和原点对称离心率 )1,(ace性质准线 cax2cay2考点 1 椭圆定义及标准方程 题型 1:椭圆定义的运用例 1 (湖北部分重点中学 2009 届高三联考) 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 A、B 是它的焦点，长轴长为 2a，焦距为 2c，静放在点 A 的小球（小球的半径不计） ，从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是A4a B2(ac) C2(a+c) D以上答案均有可能解析 按小球的运行路径分三种情况:(1) ,此时小球经过的路程为 2
3、(ac);(2) AD, 此时小球经过的路程为 2(a+c);(3) QBPA此时小球经过的路程为 4a,故选 D【名师指引】考虑小球的运行路径要全面1.短轴长为 5，离心率 32e的椭圆两焦点为 F1，F 2，过 F1作直线交椭圆于 A、B 两点，则ABF 2的周长为（ ）A.3 B.6 C.12 D.24O xyDPA BCQ第 页 共 17 页2.已知 P为椭圆2156xy上的一点， ,MN分别为圆 2(3)1xy和圆 2(3)4xy上的点，则MN的最小值为（ ） A 5 B 7 C 13 D 15 3设 k1，则关于 x，y 的方程（1k）x 2+y2=k21 所表示的曲线是（ ）A.
4、长轴在 x 轴上的椭圆 B.实轴在 y 轴上的双曲线C.实轴在 x 轴上的双曲线 D.长轴在 y 轴上的椭圆 4椭圆 的长轴长为（ ）29A2 B.3 C.6 D. 9 5已知椭圆 （ ）的两个焦点为 ,以 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的21xyab0a12F12另外两条边，且 ，则 等于_.24F题型 2 求椭圆的标准方程例 2 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为 4，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数 cba,的式子“描述”出来解析设椭圆的方程为 12byax或 )0(12yx，则 22)1(4
5、cba，解之得： ，b= c4.则所求的椭圆的方程为 1632yx或 132yx.【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数 cba,的数量关系警示易漏焦点在 y 轴上的情况1. 如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴的椭圆，那么实数 k 的取值范围是_.2已知 0,1,1F是椭圆的两个焦点，过 1F的直线 l交椭圆于 NM,两点，若 F2的周长为 8，则椭圆方程为（ ）A. 562yxB. 1562xyC. 342xyD. 1342yx3已知焦点在 轴上的椭圆的离心率为 ，它的长轴长等于圆 的半径，则椭圆的标准方程x 250是（ ）A B C D126y142yx1462yx134
6、2yx4.已知方程 ),0(,sinco2x,讨论方程表示的曲线的形状第 页 共 17 页5. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是 3，求这个椭圆方程.考点 2 椭圆的几何性质 题型 1:求椭圆的离心率（或范围）例 3 在 ABC 中， 3,2|,30ABCS若以 B， 为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率e 【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率解析 3sin|21SABC，3|， 2cos|2|2 ACBAB1| e【名师指引】 （1）离心率是刻画椭圆 “圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率
7、也随之确定（2 ）只要列出 cba、 的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）（3 ） “焦点三角形”应给予足够关注【新题导练】1.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为A. 45 B. 23 C. 2 D. 21 2.已知 m,n,m+n 成等差数列，m，n，mn 成等比数列，则椭圆 nymx的离心率为 3已知椭圆方程 ，椭圆上点 M 到该椭圆一个焦点 F1的距离是 2，N 是 MF1的中点，O 是椭圆的中心，那么线段 ON 的长是（ ）A.2 B.4 C.8 D.4设 12,F分别是椭圆 2:10xyCab的左、右焦点，点 P在椭圆 C上，线段 1PF的中点在 y轴上，若
8、 1230P，则椭圆 的离心率为（ ）A 6 B C 36 D 3第 页 共 17 页5椭圆 与渐近线为 的双曲线有相同的焦点 , 为它们的一个公共点,)320(12byx 02yx 21FP且 ,则椭圆的离心率为（ )91PF（A） （B) （C） （D) 6163061566已知椭圆 的上、下顶点分别为 、 ，左、右焦点分别为 、 ，若四边形 是正方形，则此椭C1B21F212BF圆的离心率 等于eA B C D1312 37过点 M（1，1）作斜率为 的直线与椭圆 C： + =1（ab0）相交于 A，B，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率为（ ）A B C D8椭圆 的两
9、个焦点分别是 12,F，若 上的点 P满足 ，则椭圆 C的离心率 e的取值范围是（ 1123|F） A B C D 或 12e4e2e04e1e9椭圆 1(ab0)的两顶点为 A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为 F，FAB 是以角 B 为直角的直角三角形，xa2yb则椭圆的离心率 e 为( )A B C D312512154134题型 2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例 4 已知实数 yx,满足 124y,求 xy2的最大值与最小值【解题思路】 把 2看作 x的函数解析 由 14yx得 22,0212,3)1(222 xxyx当 1时, 取得最小值 ,当 时, xy取得最大值
10、 6第 页 共 17 页【新题导练】1.已知点 BA,是椭圆21xymn（ 0， n）上两点,且 BOA,则 = 2.如图，把椭圆256的长轴 AB分成 8等份，过每个分点作 x轴的垂线交椭圆的上半部分于12347,PP七个点， F是椭圆的一个焦点则 34567FP_3已知椭圆 上存在两点 、 关于直线 对称，求 的取值范围.1342yxABmxy4考点 3 椭圆的最值问题例 5 椭圆 1962yx上的点到直线 l: 09yx的距离的最小值为_ 【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数解析在椭圆上任取一点 P,设 P( sin3,co4). 那么点 P 到直线 l 的距离为：|9)i
11、(5|21|sin3co4|2 .2 【名师指引】也可以直接设点 ,yxP，用 表示 y后，把动点到直线的距离表示为 x的函数，关键是要具有“函数思想”【新题导练】1.椭圆 1962yx的内接矩形的面积的最大值为 2. P是椭圆 2ba上一点， 1F、 2是椭圆的两个焦点，求 |21PF的最大值与最小值3.已知点 是椭圆 42yx上的在第一象限内的点，又 )0,2(A、 ),(B，第 页 共 17 页O是原点，则四边形 OAPB的面积的最大值是_4已知 是曲线 上的动点，则 的最大值为(,)xy2:143xyC2zxyA. B. C. D.5235点 是椭圆 上的一个动点，则 的最大值为（ ）
12、 (,)Pxy21xyxyA B C D23126若点 和点 分别为椭圆 的中心和右焦点，点 为椭圆上的任意一点，则 的最小值为OF2xyPOPFA B C D12127动点 (,)Pxy在椭圆2516xy上,若 A点坐标为 (3,0),|AM,且 0PA,则 |PM的最小值是（ )A. 2 B. 3 C.2 D.8在椭圆 上有两个动点 ， 为定点， ，则 的最小值为（ ）962yxQP,0,3EEQA.6 B. C.9 D.361292014福建调研若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，24x3y则 的最大值为( )OPFA.2 B.3 C.6 D.
13、8中点弦问题1已知椭圆 ，则以点 为中点的弦所在直线方程为( )2143xy1,)MA B370340xyC Dxy 12已知椭圆 ，则以点 为中点的弦所在直线方程为( )216,2)A B3890xy3810xy第 页 共 17 页C D2380xy2340xy3.椭圆2169的一条弦被 (,)A平分,那么这条弦所在的直线方程是 A 0xy B 210xy C 20xy D 280xy焦点弦问题1已知 F 是椭圆 C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 C 于点 D，且 2 ，则 C 的离心BF率为_2 （2011浙江）设 F1，F 2分别为椭圆 +y2=1 的焦点，点
14、 A，B 在椭圆上，若 =5 ；则点 A 的坐标是 _ 考点 4 椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题例 6 已知椭圆 C的中心为坐标原点 O,一个长轴端点为 0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与 y 轴交于点 P（0，m） ，与椭圆 C 交于相异两点 A、 B，且 P3（1）求椭圆方程；（2 ）求 m 的取值范围【解题思路】通过 BA3，沟通 A、B 两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于 m 的不等式解析 （ 1）由题意可知椭圆 C为焦点在 y轴上的椭圆，可设2:1(0)yxCab由条件知 a且 bc，又有 22abc，解得 1,2abc故椭
15、圆 C的离心率为 e，其标准方程为： 2xy （2）设 l 与椭圆 C 交点为 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2）Error! 得（k 22）x 22kmx（m 21）0（ 2km） 2 4（k 22） （m 21）4（k 22m 22）0 （*）第 页 共 17 页x1x 2 ， x1x2 2kmk2 2 m2 1k2 2 3 x 13x 2 Error!AP PB消去 x2，得 3（x 1x 2） 24x 1x20，3（ ） 24 0 2kmk2 2 m2 1k2 2整理得 4k2m22m 2k 220 m2 时，上式不成立；m 2 时，k 2 ，14 14 2 2m24m2
16、1因 3 k0 k 2 0，12m22 成立，所以（ *）成立即所求 m 的取值范围为（1， ）（ ，1 ） 12 12【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能【新题导练】1.设过点 yxP,的直线分别与 x轴的正半轴和 y轴的正半轴交于 A、 B两点，点 Q与点 P关于 y轴对称， O为坐标原点，若 AB2，且 1BOQ，则 P点的轨迹方程是 （ ）A. 0,132y B. 0,1322yxyxC. xyx D. 解析 ),(),32(yxOQAB1322y，选 A.2. 如图，在 RtABC 中，CAB=90 ，AB=2 ，AC= 。一曲线 E 过点
17、C，动点 P 在曲线 E 上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线 l 经过 A 与曲线 E 交于 M、N 两点。（1）建立适当的坐标系，求曲线 E 的方程；（2）设直线 l 的斜率为 k，若MBN 为钝角，求 k 的取值范围。解：（1）以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系，则 A（1，0） ，B（1 ，0）由题设可得 232)(2| CBAP动点 P 的轨迹方程为 )0(12bayx，则 .1,2cabca第 页 共 17 页曲线 E 方程为 12yx（2 ）直线 MN 的方程为 ),(),(),(),( 211yxNMyxxk设设由 024210)(2
18、 kyxk得8方程有两个不等的实数根 221221 )1(,4xkxk),(),(21yBNyBM)1()1(12212 xkxx2112 )()( kk22222 174)( kMBN 是钝角 0BNM即 217k解得： 7又 M、 B、N 三点不共线0k综上所述，k 的取值范围是 )7,0(),(基础巩固训练1. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点, 直线 1AB与 BF 交于 D,且 901BD,则椭圆的离心率为( ) A 213 B 215 C 25 D 32. 设 F1、F 2 为椭圆 4x+y2=1 的两焦点，P 在椭圆上，当F 1PF2 面积为 1 时， 21PF的值为A、0
19、 B 、1 C、2 D、3第 页 共 17 页4.在 ABC 中， 90， 3tan4B若以 AB， 为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率 e 5. 已知 21,F为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若 3:21:121PFFP, 则此椭圆的离心率为 _.6.在平面直角坐标系中，椭圆2xyab1( 0)的焦距为 2，以 O 为圆心， a为半径的圆，过点2,0ac作圆的两切线互相垂直，则离心率 e= 综合提高训练1、已知椭圆 )0(12bayax与过点 A(2，0) ，B(0 ，1)的直线 l 有且只有一个公共点 T，且椭圆的离心率23e求椭圆方程2、已知 A、B 分别是椭圆 12byax的
20、左右两个焦点，O 为坐标原点，点 P 2,1(）在椭圆上，线段 PB 与 y轴的交点 M 为线段 PB 的中点。（1）求椭圆的标准方程；（2）点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于 ABC，求 siniABC的值。3. 已知长方形 ABCD, AB=2 2,BC=1.以 AB 的中点 O为原点建立如图 8 所示的平面直角坐标系 xoy.()求以 A、 B 为焦点，且过 C、 D 两点的椭圆的标准方程;()过点 P(0,2)的直线 l交()中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 l,使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点? 若存在,求出直线 l的方程 ;若不存在, 说明理由.解析 ()由题意可
21、得点 A,B,C 的坐标分别为 1,20,2.设椭圆的标准方程是 012bayx.O xyA BCD图 8第 页 共 17 页24 01201222 BCAa则4cab.椭圆的标准方程是 12yx()由题意直线的斜率存在,可设直线 l的方程为 02kxy.设 M,N 两点的坐标分别为 .,21x联立方程: 42yxk消去 y整理得, 0812kx 有 2121,若以 MN 为直径的圆恰好过原点,则 ONM,所以 021yx,所以, 02121kxx,即 4k所以, 02164k即 ,0218k得 .所以直线 l的方程为 2xy,或 2xy.所以存在过 P(0,2)的直线 l: 使得以弦 MN
22、为直径的圆恰好过原点. 参考例题：1、从椭圆21(0)xyab上一点 P向 x轴引垂线 ,垂足恰为椭圆的左焦点 1F, A为椭圆的右顶点， B是椭圆的上顶点,且 ABO.、求该椭圆的离心率.、若该椭圆的准线方程是 25x，求椭圆方程.解析 、 P， AB ， 1PFO BA,111PFcbcFBOAa， 又2 211(,)cbyPFaba， c, 而 22abc2e. 第 页 共 17 页、 25x为准线方程，225acc, 由22210acbb 所求椭圆方程为2105xy2、设 1,F是椭圆的两个焦点， P是椭圆上一点，若 321PF，证明： 21PF的面积只与椭圆的短轴长有关解析 由 3c
23、os|2| 211221 FPa得 |4|)( 21221ca，2214)(|3bcaF， 221 34| 21bSbPPF，命题得证综合椭圆试题1已知椭圆（ab0）和直线 l：ybx2，椭圆的离心率 e ，坐标原点到直线 l 的距离为 632（1）求椭圆的方程；（2）已知定点 E（1，0） ，若直线 ykx2（k0）与椭圆相交于 C，D 两点，试判断是否存在实数 k，使得以CD 为直径的圆过定点 E？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由2已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点.12283xy（）求椭圆 C 的方程；（）点 P(2，
24、3)， Q（2，-3）在椭圆上，A，B 是椭圆上位于直线 PQ 两恻的动点，第 页 共 17 页若直线 AB 的斜率为 ，求四边形 APBQ 面积的最大值；12当 A、B 运动时，满足于APQ=BPQ，试问直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由.3已知椭圆 的离心率为 ，且过点21,0xyab2,2（1 ）求椭圆的标准方程：（2 ）四边形 ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线 AC，BD 过原点 O，若2ACBDbka（）求 的最值：OAB（）求证：四边形 ABCD 的面积为定值.4 已知椭圆 E： 的离心率 ，并且经过定点21 0,xyabb3 2e1 (3,)2P（1 ）求椭圆 E 的方程
25、；（2 ）问是否存在直线 y=-x+m，使直线与椭圆交于 A, B 两点，满足 ,若存在求 m 值，若不存在说明理OAB由第 页 共 17 页5已知椭圆 的方程为 ，双曲线 的左、右焦点分别是 的左、右顶点，而 的1C214xy2C1C2C左、右顶点分别是 的左、右焦点1（1）求双曲线 的方程；2（2）若直线 与双曲线 恒有两个不同的交点 A 和 B，且 （其中 为原点） ，求实数:lykx2C2O的范围k6设 分别是椭圆 的左，右焦点.21,F142yx（1）若 是椭圆在第一象限上一点，且 ，求 点坐标；P1254PFP（2）设过定点 的直线 与椭圆交于不同两点 ，且 为锐角（其中 为原点）
26、 ，求直线 的斜率 的(0,2)l BA,Olk取值范围.7已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线2:1(0)yxCab32相切 是椭圆 的右顶点与上顶点，直线 与椭圆相交于 两点0xyBA、 C)0(kxyFE、（1）求椭圆 的方程； （2）当四边形 面积取最大值时，求 的值EFk xy FEBOA第 页 共 17 页7如 图 所 示 ， 、 分 别 为 椭 圆 ： 的左、右两个焦点， 、 为两个顶点，已知顶点1F2C21xyab(0)AB到 、 两点的距离之和为 .(0,3)B124（1）求椭圆 的方程；C（2）求椭圆 上任意一点 到右焦点 的距离的最小值；0
27、(,)Mxy2F（3）作 的平行线交椭圆 于 、 两点，求弦长 的最大值，并求 取最大值时 的面积.APQ|P|PQ1FPQ8椭圆 与直线 交于 、 两点，且 ，其中 为坐标原点.12byaxab01yxPQOQP（1）求 的值；2（2）若椭圆的离心率 满足 ，求椭圆长轴的取值范围.e3e29已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，椭圆 右焦点 ，且CxC)0,1(F2e（）求椭圆 的标准方程；（）若直线 ： 与椭圆 相交于 ， 两点（ 都不是顶点） ，且以 为直径lykxmCAB， AB的圆过椭圆 的右顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标l第 页 共 17 页10已知椭圆的一个顶点
28、为 ，焦点在 轴上，若右焦点到直线 02yx的距离为 (0,1)Ax 3（）求椭圆的方程；（）是否存在斜率为 ，且过定点 的直线 ，使 与椭圆交于两个不同的点 ，且()k(0,2)Ql MN,ANM？若存在，求出直线 的方程;若不存在,请说明理由l11给定椭圆2:1(0)yxCab，称圆心在坐标原点 O，半径为 2ab的圆是椭圆 C的“伴随圆”.若椭圆 C 的一个焦点为 2(,)F，其短轴上的一个端点到 2F距离为 3（）求椭圆 及其“伴随圆”的方程；（）若过点 (0,)Pm的直线与椭圆 C 只有一个公共点，且截椭圆 C 的“伴随圆”所得的弦长为 2，求m的值；（）过椭圆 C“伴随圆”上一动点
29、 Q 作直线 12,l，使得 12,l与椭圆 C 都只有一个公共点，试判断直线 12,l的斜率之积是否为定值,并说明理由.12已知椭圆 C： + =1（ ab 0 ）的离心率是 ，且点 P（1， ）在椭圆上（1 ）求椭圆的方程；（2 ）若过点 D（0，2 ）的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 E，F ，试求 OEF 面积的取值范围（O 为坐标原点） 第 页 共 17 页13已知圆 G： 经过椭圆 的右焦点 F 及上顶点 B，过椭圆外一点220xyy21(0)xyab（m,0）( )倾斜角为 的直线 L 交椭圆与 C、D 两点.ma56（1）求椭圆的方程;（2）若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的内部，求 m 的取值范围.14已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点，离心率等于 .24xy25（）求椭圆 C 的方程；（）过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 交椭圆 C 于 A，B 两点，交 y 轴于 M 点，若 , 求证l 12,AFB为定值.12
