1、 1椭圆专题复习 考点 1 椭圆定义及标准方程 题型 1:椭圆定义的运用1.短轴长为 5，离心率 32e的椭圆两焦点为 F1，F 2，过 F1作直线交椭圆于 A、B 两点，则ABF 2的周长为 A.3 B.6 C.12 D.24 （ ）解析C. 长半轴 a=3，ABF 2的周长为 4a=122.已知 P为椭圆2156xy上的一点， ,MN分别为圆 2(3)1xy和圆 2(3)4xy上的点，则MN的最小值为 （ ） A 5 B 7 C 13 D 15 解析B. 两圆心 C、D 恰为椭圆的焦点， 10|P， MPN的最小值为 10-1-2=7题型 2 求椭圆的标准方程 3.设椭圆的中心在原点，坐标
2、轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为 244，求此椭圆方程.解析设椭圆的方程为 12byax或 )0(12bayx， 则 22)1(4cba，解之得： 4a，b=c4.则所求的椭圆的方程为 632yx或 312yx.4. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是 3，求这个椭圆方程.解析 ca232a， b，所求方程为 12x+ 9y=1 或2x+ 1y=1.考点 2 椭圆的几何性质 题型 1:求椭圆的离心率（或范围）5.在 ABC 中， 3,2|,30ABCS若以 B， 为焦点的椭圆经过点 C，则
3、该椭圆的离心率 e 【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率解析 3sin|21SABC，3|， 2cos|2|2 ACBAB2213| BCAe6.成等差数列，m，n，mn 成等比数列，则椭圆 12nymx的离心率为 解析 由 02n42nm，椭圆2的离心率为 2题型 2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）7.已知实数 yx,满足 124y,求 xy2的最大值与最小值【解题思路】 把 x看作 的函数解析 由 124yx得 22, 2012xx,3)(2 x当 1x时, xy2取得最小值 2,当 时, xy2取得最大值 68.如图，把椭圆 156的长轴 AB分成 8等份
4、，过每个分点作 轴的垂线交椭圆的上半部分于12347,PP七个点， F是椭圆的一个焦点则 34567FP_解析由椭圆的对称性知： 35236271 a考点 3 椭圆的最值问题9.椭圆 1962yx上的点到直线 l: 09yx的距离的最小值为_解析在椭圆上任取一点 P,设 P( sin3,co4). 那么点 P 到直线 l 的距离为：|9)i(5|21|sin3co4|2 .2 10.已知点 P是椭圆 14yx上的在第一象限内的点，又 )0,(A、 )1,(B，O是原点，则四边形 OAB的面积的最大值是_解析 设 )2,0(),sinco2(，则 cos2sin2OSSOPBAOAPBsin3考
5、点 4 椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题11. 已知椭圆 C的中心为坐标原点 O,一个长轴端点为 0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线 l与 y 轴交于点 P（0，m） ，与椭圆 C 交于相异两点 A、 B，且 P3（1）求椭圆方程； （2）求 m 的取值范围解析 （ 1）由题意可知椭圆 为焦点在 y轴上的椭圆，可设2:1(0)yxCab由条件知 a且 bc，又有 22abc，解得 1,2abc故椭圆 C的离心率为 e，其标准方程为： 2xy （2）设 l 与椭圆 C 交点为 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2）Error! 得（k 22）x 22km
6、x（m 21）0（ 2km） 2 4（k 22） （m 21）4（k 22m 22）0 （*）x1x 2 ， x1x2 3 x 13x 2 Error! 2kmk2 2 m2 1k2 2 AP PB消去 x2，得 3（x 1x 2） 24x 1x20，3（ ） 24 0 2kmk2 2 m2 1k2 2整理得 4k2m22m 2k 220 m2 时，上式不成立；m 2 时，k 2 ，14 14 2 2m24m2 1因 3 k0 k 2 0，12m22 成立，所以（*）成立2 2m24m2 1 12 12即所求 m 的取值范围为（1， ）（ ，1 ） 12 12基础巩固训练1. 如图所示,椭圆中
7、心在原点,F 是左焦点, 直线 1AB与 BF 交于 D,且 901BD,则椭圆的离心率为 ( ) A 213 B 215 C 25 D 3解析 B . eaccba)( 2152. 设 F1、F 2 为椭圆 42x+y2=1 的两焦点，P 在椭圆上，当F 1PF2 面积为 1 时， 21PF的值为（ ）A 0 B 1 C 2 D 34解析 A . 1|321PPFyS， P 的纵坐标为 3，从而 P 的坐标为 )3,62(，21PF0， 3.椭圆 369xy的一条弦被 (4,2)A平分,那么这条弦所在的直线方程是 （ ）A 20 B 10xy C 20xy D 280xy解析 D. 9361
8、yx,2,两式相减得： )(421121，4,82121， 21xy4.在 ABC 中， 90， 3tan4B若以 AB， 为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率 e 解析 CekCk,5,4125. 已知 21,F为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若 3:21:121PFFP, 则此椭圆的离心率为 _.解析 3 三角形三边的比是 :316.在平面直角坐标系中，椭圆2xyab1( 0)的焦距为 2，以 O 为圆心， a为半径的圆，过点2,0ac作圆的两切线互相垂直，则离心率 e= 解析 e22综合提高训练7、已知椭圆 )0(12bayax与过点 A(2，0)，B(0，1)的直线 l 有且只
9、有一个公共点 T，且椭圆的离心率 3e求椭圆方程解析直线 l 的方程为： 12xy由已知 2243baab由 122xyba得： 0)4( 222xab 0)(4(22，即 224ba 5由得： 212ba，故椭圆 E 方程为 12yx8.已知 A、B 分别是椭圆 2yx的左右两个焦点，O 为坐标原点，点 P 2,(）在椭圆上，线段 PB与 y 轴的交点 M 为线段 PB 的中点 .（1 ）求椭圆的标准方程；（2 ）点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于 ABC ，求 siniABC的值。解析（1）点 是线段 PB的中点 OM是 PAB的中位线 又 OM P 2222,1cabcab解 得 椭圆的标准方程为 2yx=1 （2）点 C 在椭圆上，A、B 是椭圆的两个焦点 AC BC2a ，AB 2c2 在ABC 中，由正弦定理， sinisinCAB siniC 2B BAC
