1、第五讲 向量与三角函数【考点透视】1理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算2掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同解三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义3掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式4能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明5了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数 y=Asin(x+)的简图，理解 A、 的物理意义6会由已知三角函数值求角，并会用符号 arcsin x, arcos x,
2、arctan x 表示7掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题8掌握向量与三角函数综合题的解法常用解题思想方法1三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如 1=cos2+sin 2=tanxcotx=tan45等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：=（+），= 等。（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切） 。（5）引入辅助角。asin +bcos = si
3、n(+ )，这里辅助角 所在象限由2baa、b 的符号确定， 角的值由 tan = 确定。（6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成 tan 的有理式。22证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析” 。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间
4、的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。【例题解析】考点 1三角函数的求值与化简此类题目主要有以下几种题型：考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力，以及求三角函数的值的基本方法.考查运用诱导公式、倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性来求的值的问题.考查已知三角恒等式的值求角的三角函数值的基本转化方法，考查三角恒等变形及求角的基本知识.例 1.已知函数 f(x)= .)2sin(4cox（）求 f(x)的定义域； （）若角 a 在第一象限且 3cos,5af求 （ ） .命题目的：本小题主要考查三角函数的定义域和两角差的公式，同角三角函
5、数的关系等基本知识，考查运算和推理能力，以及求角的基本知识.解：（）由 Z),(2,20sin kxkxx 、故 f(x)的定义域为 .,|R（）由已知条件得 .5431cos1sin22aa从而 )2sin(4co1)(af acos4sin2421 acosinco2 .51)in(2例 2.310.43已 知 ， t+（）求 的值；an（）求 .225si8icos18()a的 值 4命题目的：本小题主要考查同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力.解答过程：（） ，10tancos3，解得 或 .23tan10tanta3.,ta4t.（II） ，t3
6、225sin8icos18()4a2 cos(sicsin62a .4tan351例 3已知 ,0,143)cos(,7s、2()求 的值.（）求 .2tan命题目的：本题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能.解：（）由 ，得1cos,07222143sin1cos7 ，于是sin437taco122tan438t17（）由 ，得020又 ，13cos42213sin1cos4由 得：coscossin131742所以 3例 4.已知 求 的值.),0(,1cos)(2sin命题目的：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识
7、，考查运算和推理能力，以及求角的基本知识解：由已知条件得 .1cos2sin3即 .解得 .0i2si0sin3in、由 0 知 ，从而 .3in32、考点 2解三角形此类题目以考查正弦定理，余弦定理，两角差的正弦公式，同角三角函数间的关系式和诱导公式等基本知识，以及考查基本的运算为主要特征. 解此类题目要注意综合应用上述知识.典型例题例 5已知 的周长为 ，且 ABC 21sin2sinABC（I）求边 的长；（II）若 的面积为 ，求角 的度数B i6命题目的：本小题考查正弦定理、余弦定理和三角函数等基础知识，考查基本运算能力及分析解决问题的能力.解：（I）由题意及正弦定理，得 ，21AB
8、C，两式相减，得 2BCAB1AB（II）由 的面积 ，得 ， 1sini6CC13BA由余弦定理，得22cosAB，所以 22()1ABC60例 6. 如图，在 中， ， ， AB2143cos（1）求 的值；（2）求 的值. Csin命题目的：本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查基本运算能力及分析解决问题的能力.解答过程：（） 由余弦定理，得22.cosABCABC34122.4那么， .（）由 ，且 得 由正弦定理，得3cos40,27sin1cos.4,inABC解得 .所以， .由倍角公式si185cs8A，57si2co6且 ，故29
9、1sinA.37sicsin8CAC例 7在 中， ， B 1ta4ta5B（）求角 的大小；（）若 边的长为 ，求 边的长17BC命题目的：本题主要考查三角函数的诱导公式、正弦定理及两角和公式等基础知识，考查运算能力.解：（） ， ()CAB1345tant()CABA又 ， 034（）由 且 ，22sin1tacoiA， 02A，得 ， 7sn1siniBCsin2ABC考点 3求三角函数的定义域、值域或最值此类题目主要有以下几种题型：考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性来求值域的能力.考查利用三角函数的性质, 诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角
10、公式等基本知识，考查运算和推理能力.考查利用三角函数的有界性来求最大值与最小值的能力.典型例题例 8.已知函数 ,则 的值域是（ ）11()sinco)sinco22fxxx()fA. B. C. D. ,21,命题目的：本小题考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性来求值域的能力. sin()si(),.44,1. ,.2fxxfxfACDf2解 法 1:()=当 时 ()=故 选解 法 当 时 知 不 可 能 又 由 时 知 选例 9 设函数 .其中向量 .baxf、)( 2)(R,)1,sin(),cos,( fxbxma且（）求实数 的值; （）求函数 的最小值
11、.f命题目的：本小题考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性来求最值的能力.解：（） ， ，得()(1sin)cofxmxAab1sincos22fm1m（）由（）得 ， 当 时，()sinco1sin14fxxxsin14x的最小值为 ()fx12例 10.已知函数 ，sin()4()coxfx（）求 的定义域；（）设 是第四象限的角，且 ，求 的值.tan3()f命题目的：本题考查利用三角函数的性质, 诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力.解答过程：（） 由 得 .cos0x()2kZ故 的定义域为 ，fx,2kZ（）
12、 因为 且第四象限的角，43tan,cos,5所以 si,故212si()4coins21scoissn14.5f例 11 设 的周期 ，最大值 ，)0(cossi)( xbaxf T4)12(f（1）求 、 、 的值； （2） .的 值终 边 不 共 线 ， 求、 、的 两 根 ，为 方 程、 、若 )tan(0)( xf命题目的：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性.解答过程：(1) ， ， ， 又 的最)xsin(ba)x(f2T2)x(f大值， ， 且 ，4)12(f21cosbsina4由 、解出 a=2 , b=3.(2) ， ，)3xsi(co
13、3xsin)(f 0)(f， )2(4i， 或 ， 3k2)32(k3即 ( 共线，故舍去) ， 或 ，、 6k.36ktan)t()Zk(例 12.设函数 （其中 ） ，且 的图象在2cosincosfxxxa0,aR()fx轴右侧的第一个最高点的横坐标为 .y（I）求 的值；（II）如果 在区间 上的最小值为 ，求 的值.()fx5,363a命题目的：本题考查利用三角函数的性质逆用两角和的正弦公式等基本知识，考查运算和推理能力.解答过程：（） ,313()cos2in2fxxa3sin()2xa依题意得 ， 解得 .26（）由（）知， ,3()sin)2fxa又当 时， ，故 ，5,3x7
14、0,61sin()x从而 在 上取得最小值 .()f,因此，由题设知 .故 .132a312例 13.已知函数 Rxxf ),sin()(（）求 的最小正周期；x（）求 的最大值和最小值；)(f（）若 ，求 的值.432sin命题目的：本题考查利用三角函数的性质, 诱导公式、同角三角函数的关系式、两角和的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力.解答过程： )4sin(2cosin)2i(sn)( xxxf（） 的最小正周期为 ;1T（） 的最大值为 和最小值 ；)(xf （）因为 ，即4337sinco2sinco.416即 .1672sin考点 4三角函数的图象和性质考查三角函数的图象
15、和性质的题目，是高考的重点题型.此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用.会用数形结合的思想来解题.典型例题例 14.已知函数 .求：2 2()sinsico3s,fxxxR（）求函数 的最大值及取得最大值的自变量 的集合； （）函数 的单调增区间.()f命题目的：本题考查三角公式、三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力.解答过程：（I）解法一： 1cos23(1cos2)inxfx2sin.()4x当 ，即 时， 取得最大值 .24xk8kZf2因此， 取得最大值的自变量 x 的集合是 . fx ,8xkZ解法二： 2
16、22()sinco)sincos1sin2cosxx.(4x当 ，即 时， 取得最大值 .2xk()8kZfx因此， 取得最大值的自变量 x 的集合是 .f ,8kZ（）解： sin(2)4x由题意得 ，即 . 2()kkZ3()8kxkZ因此， 的单调增区间是 . fx3,8例 15 （本小题满分 12 分）已知函数 ， 2()cos1fx1()sin2gxx（I）设 是函数 图象的一条对称轴，求 的值0yf 0()g（II）求函数 的单调递增区间()()hxgx命题目的：本小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力. 解：（I）由题设知 1()cos(
17、2)6fxx因为 是函数 图象的一条对称轴，所以 ，0xy 026xk即 （ ） 26kZ所以 0011()sin2sin()6gxxk当 为偶数时， ，k0 3()i4当 为奇数时， 015sin26gx（II） 1()()cosin2hf xx13113cos2sincos2in622xxxin3当 ，即 （ ）时，22kxk 51212xk Z函数 是增函数，13()sinh故函数 的单调递增区间是 （ ）x512k， k例 16.已知函数 2 2()sin3sicos,.fxxxR（I）求函数 的最小正周期和单调增区间；x（II）函数 的图象可以由函数 的图象经过怎样的变换得到？()f
18、 sin()y命题目的：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力.解答过程：（I） 1cos23()in(1cos2)xfxxx3sins(2).6x的最小正周期()fx.T由题意得 22,6kxkZ即 ,.3的单调增区间为()fx,.3kk（II）方法一： 先把 图象上所有点向左平移 个单位长度，得到sin2yx12的图象，再把所得图象上所有的点向上平移 个单位长度，就得到sin(2)6yx 3的图象.3方法二： 把 图象上所有的点按向量 平移，就得到sin2yx3(,)12a的图象.3sin(2)6yx例 17.已知函数 2(sin
19、(2)sin().61fxxR（I）求函数 的最小正周期；)x（II）求使函数 取得最大值的 集合.(f命题目的：本题考查三角公式、三角函数的周期性及已知三角函数值求角等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力.解答过程：() f(x)= sin(2x )+1cos2(x ) 3 6 12= 2 sin2(x ) cos2(x )+132 12 12 12=2sin2(x ) +112 6= 2sin(2x ) +1 . 3 T= =22()当 f(x)取最大值时, sin(2x )=1,有 2x =2k+ ， 3 3 2即 x=k+ (kZ) 所求 x 的集合为xR|x= k+ , kZ
20、.512 512考点 5平面向量、三角函数的图象和性质考查平面向量和三角函数的图象和性质相结合的题目，是高考的热点题型.此类题目要求考生在熟练掌握平面向量和三角函数图象的基础上要对平面向量和三角函数的性质灵活运用. 会用数形结合的思想来解题 .典型例题例 18.将函数 的图象按向量 平移，平移后的图象如图所示，则平sin(0)yx,06a移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A Bsi()6sin()yxC Dn23yx23命题目的：本题考查了应用平面向量平移图象和应用数形结合的思想解题的能力.解答过程：将函数 的图象按向量 平移，平移后的图象所对应的sin(0)yx,06a解析式为 ，由图象知
21、， ，所以 ，因此选 C.i()673()122例 19.已知向量 sn,1(,cos).ab（）若 ，求 ；（）求 的最大值.命题目的：本题主要考查应用平面向量、三角函数知识分析和计算能力.解：（） ,sinco0ab若 则 ，由此得 tan 1所以 ;4（） 由 22(sin,1)(,cos),i3(s)in,4ab得当 sin()1,1.4abab时 取 得 最 大 值 即 当 时 的 最 大 值 为 2例 20.已知 是三角形 三内角，向量 ，且,ABC,3cos,inmA 1m（）求角 ；（）若 ，求 .21sin3cotanB命题目的：本题考查了平面向量、三角函数概念、同角三角函数
22、的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式等知识.考查应用、分析和计算能力.解答过程：（） , , 即 .1mn3cos,in1A3sinco1A, .32sinco2Asi62 , . .50,63（）由题知 ，整理得21sinco3B22sincos0BB .cos0ta0 或 .tn而 使 ，舍去. .1B2sinBtan2 .taCAta1AB3185【专题训练】一.选择题1函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是 ( ) )(xfy)(xf（A） xcos（B） fin)(（C） xs（D） fco)(2已知 ，且 ，则 （ ）4sin5si1sin2(A) (B) (C) (D
23、) 2452453如图，要测量河对岸 A、B 两点间的距离，今沿河岸选取相距 40 米的 C、D 两点，测得ACB=60，BCD=45，ADB=60，ADC=30，则 AB 的距离是（ ）.（A）20 （B）20 （C ）40 （D）2023264设 是某港口水的深度 y（米）关于时间 t（时）的函数，其中 .下表是)(tfy 240t该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1经长期观观察，函数 的图象可以近似地看成函数 的图象.在)(
24、tfy )sin(tAky下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 （ ）（A） （B）24,06sin312ty 24,0)6i(312t（C） （D ） sny5已知 ，且 其中 ，则关于 的值，在以下四个答案2sico,a0,ta中，可能正确的是 （ ）（A） （ B）3 或 （C） （D ） 或11331二填空题.6如图，一个半径为 10 米的水轮按逆时针方向每分钟转 4 圈记水轮上的点 P 到水面的距离为 d 米（P 在水面下则 d 为负数） ，则 d（米）与时间 t（秒）之间满足关系式：，且当 P 点从水面上浮现时开始计算时间有以sin()(0, )2Atk下四个结论：
25、A=10； ； ； k=5156则其中所有正确结论的序号是 7已知:sin 3+cos 3=1，则 sin+cos; sin4+cos 4;sin 6+cos 6 的值是 三.解答题8 求函数 的最小正周期和最小值；并写出该函数在 上的单44sin2icosyxx 0,调递增区间9 求函数 的最小正周期、最大值和最小值xfsini)( 2410 已知 为锐角, 且 求 的值,1ta2cosini11 已知 0 ，tan +cot = ，求 sin( )的值225312 2tan(),4sics已 知 求 的 值13已知 的值)n(,0cossin622 求14如图，A、B 是一矩 OEFG 边
26、界上不同的两点，且AOB=45,OE=1,EF= ，设3AOE=.（1）写出AOB 的面积关于 的函数关系式 f(); （2）写出函数 f(x)的取值范围15已知函数 y= cos2x+ sinxcosx+1 （xR）,3（1）当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合；（2）该函数的图像可由 y=sinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？【参考答案】一C. 2A. D. A. C. 二7解法一：令 sin+cos=t，则 sincos = ，21tsin 3+cos 3=(sin +cos)(sin 2sin cos+cos 2)=t(1 )=1，得：21tt3 3t+2=0
27、(t1) 2(t+2)=0，t2 t=sin +cos=1，且 sincos = =021tsin 4+cos 4=(sin 2+cos 2) 2 2sin2cos 2 =12 0=1sin6+cos 6=(sin 2+cos 2)(sin 4sin 2cos 2+cos 4)=1解法二：sin 3sin 2,cos 3cos 2sin 3+cos 3sin 2+cos 2=1等号当且仅当 时成立 或 cosin31cos0inissin+cos =sin 4+cos 4=sin 6+cos 6=1三8 xxy4ssin2si2(co)(co)3in23i2sn.6x故该函数的最小正周期是 ；
28、最小值是2；单增区间是 ， 31,0,659 xxf cosin2)(sin)2221ic11()sin.(s)42xx所以函数 f(x)的最小正周期是 ，最大值是 ，最小值是 .310 原式= ,2cossin因为 时,1ta,0i所以 原式= .cs因为 为锐角,由 得2tan,5cos所以 原式= .4511由已知 .4si,sincot2ta得.531,02从而 .sincosi)3sin( )34(1025312由 .1ta,ta14ta得于是 .312)(tancossin2cosin2 22 13由已知得： 0)i)(i3( cossin2cos2sin或由已知条件可知 ).,(
29、,0co即所 以从而 有 tan,ta.3sin2cosi)32si(.tan123tan1sicosico)in(in2222，得2tan3将 代 入 上 式 22()()3si()1165.14解：（1）OE=1 ，EF= EOF=60 3当 0，15 时，AOB 的两顶点 A、B 在 E、F 上，且 AE=tan,BE=tan(45+) f()=S AOB = tan(45+) tan21= = )45cos(2in245cs(当 a（15,45）时， A 点在 EF 上，B 点在 FG 上，且 OA= ，OB=cos1)45cos(3 =SAOB = OAOBsin45= sin45=
30、f21cos21)45(3)4cos(26综上得：f()= 4,12()42cos(6,0 （2）由（1 ）得：当 0， 时，f()= , 1 2)cos( 13且当 =0 时，f() min= ；= 时，f() max= 1；213当 时, 2 ，f （）= , 41(42)4cos(26 32且当 = 时，f() min= ；当 = 时，f() max= 8633所以 f(x) , 2315解：（1）y= cos2x+ sinxcosx+1= (2cos2x1)+ + （2sinxcosx）+114141= cos2x+ sin2x+ = (cos2xsin +sin2xcos )+ =
31、sin(2x+ )+ 445665645所以 y 取最大值时，只需 2x+ = +2k,（kZ） ，即 x= +k,（kZ） 2所以当函数 y 取最大值时，自变量 x 的集合为x|x= +k,kZ（2）将函数 y=sinx 依次进行如下变换：（i）把函数 y=sinx 的图像向左平移 ，得到函数 y=sin(x+ )的图像；66（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到函数21y=sin(2x+ )的图像；6（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 倍（横坐标不变） ，得到函数y= sin(2x+ )的图像； 21（iv）把得到的图像向上平移 个单位长度，得到函数 y= sin(2x+ )+ 的图像4521645综上得到 y= cos2x+ sinxcosx+1 的图像3
