1、正弦函数、余弦函数的性质(二)【知识梳理】正弦函数、余弦函数的性质函数 ysin x ycos x定义域R值域 1,1图像单调性在 ，kZ 上递增； 2 2k，2 2k在 ，kZ 上递减2 2k，32 2k在2k，2 k，k Z 上递增；在2k，2k ，kZ 上递减最值当 x 2k ，kZ 时，y min1；2当 x 2k ，kZ 时，y max12当 x(2 k1) ，k Z 时，ymin1；当 x2k，kZ 时，y max1对称轴 x k ，kZ2xk， kZ对称中心 (k，0)，kZ ，kZ(2 k，0)【常考题型】题型一、正、余弦函数的单调性【例 1】 求函数 y2sin 的单调区间(
2、x 3)解 令 zx ，则 y2sin z.3z x 是增函数，3y 2sin z 单调递增(减)时，函数 y2sin 也单调递增( 减)(x 3)由 z (kZ)，2k 2，2k 2得 x (kZ)，32k 2，2k 2即 x (kZ)，2k 6，2k 56故函数 y2sin 的单调递增区间为(x 3)(kZ)2k 6，2k 56同理可求函数 y2sin 的单调递减区间为(x 3)(kZ)2k 56，2k 116【类题通法】与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正弦、余弦函数的图像，熟记它们的单调区间(2)确定函数 yAsin(x)(A0 ， 0)单调区间的方法：采用“换元”法整
3、体代换，将x 看作一个整体，可令 “zx” ，即通过求 yAsin z 的单调区间而求出函数的单调区间若 sin 260.(2)cos cos cos ，158 (2 8) 8cos cos cos .149 (2 49) 49函数 ycos x 在0，上单调递减，且 0cos ， cos cos .8 49 158 149【类题通法】比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上【对点训练】比较下列各组数的大小(1)cos 与 co
4、s ；( 8) 137(2)sin 194与 cos 160.解：(1)cos cos ，( 8) 8cos cos cos cos .137 ( 67) 67 70 ，且 ycos x 在(0 ，)上单调递减，8 7cos cos ，即 cos cos .8 7 ( 8) 137(2)sin 194sin (18014) sin 14，cos 160cos(18020)cos 20sin 70.0147090且 ysin x 在 上单调递增，(0，2)sin 70sin 14，即sin 14sin 70.故 sin 194cos 160.题型三、正、余弦函数的最值问题【例 3】 求下列函数的
5、值域：(1)ycos ，x ；(x 6) 0，2(2)ycos 2x4cos x 5.解 (1) 由 ycos ，x 可得(x 6) 0，2x ，66，23函数 ycos x 在区间 上单调递减，6，23所以函数的值域为 . 12，32(2)令 tcos x，则1t1.y t2 4t5 (t2) 21，t 1 时，y 取得最大值 10，t1 时，y 取得最小值 2.所以 ycos 2x4cos x5 的值域为2,10【类题通法】求三角函数值域的常用方法(1)求解形如 yasin xb(或 yacosxb) 的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性( 1sin x，cos x1) 求解
6、求三角函数取最值时相应自变量 x 的集合时，要注意考虑三角函数的周期性(2)求解形如 yasin 2xbsin xc(或 yacos 2xbcos xc)，xD 的函数的值域或最值时，通过换元，令 tsin x(或 cos x)，将原函数转化为关于 t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可求解过程中要注意 tsin x(或 cos x)的有界性【对点训练】求函数 f(x)2sin 2x2sin x ，x 的值域12 6，56解：令 tsin x，y f(x )，x ， sin x1，即 t1.6，56 12 12y 2t22t 2 21， 1y ，12 (t 12) 72函数 f(x)的值域
7、为 .1，72【练习反馈】1函数 y2sin x 的最大值及取最大值时 x 的值为( )Ay max3，x2By max1，x 2k(k Z)2Cy max3，x 2k(k Z )2Dy max3，x 2k( kZ)2解析：选 C y2sin x ， 当 sin x1 时，y max3，此时 x 2k(kZ)22下列函数中，周期为 ，且在 上为减函数的是( )4，2Aysin By cos(2x 2) (2x 2)Cy sin Dycos(x 2) (x 2)解析：选 A 因为函数的周期为 ，所以排除 C、D.又因为 ycos sin 2x 在(2x 2)上为增函数，故 B 不符只有函数 ys
8、in 的周期为 ，且在 上为减函数4，2 (2x 2) 4，23sin ，sin ，sin ，从大到小的顺序为_35 45 910解析： sin sin .35 45 910答案：sin sin sin35 45 9104若 yasin xb 的最大值为 3，最小值为 1，则 ab_.解析：当 a0 时，Error!得Error!当 a0 时，Error!得Error!答案：25求函数 y sin ，x 0， 的单调递增区间13 (6 x)解：由 y sin 的单调性，13 (x 6)得 2kx 2k ，kZ ，2 6 32即 2 kx 2k ，k Z.23 53又 x0，故 x .23即单调递增区间为 .23，
