1、正弦函数、余弦函数的性质(一)【知识梳理】1函数的周期性(1)对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有f(x T)f( x)，那么函数 f(x)就叫周期函数， 非零常数 T 叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做 f(x)的最小正周期2正弦、余弦函数的周期性正弦函数 ysin x(xR )和余弦函数 ycos x(xR)都是周期函数， 2k(kZ，且 k0)都是它们的周期最小正周期为 2.3正弦、余弦函数的奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数【常考题型】题型一、函数的周期【例 1】
2、求下列三角函数的周期：(1)y3sin x ，xR；(2)ycos 2x，xR；(3)ysin ，xR；(13x 4)(4)y|cos x|，x R.解 (1) 因为 3sin(x2)3sin x，由周期函数的定义知，y 3sin x 的周期为 2.(2)因为 cos 2(x) cos(2x 2)cos 2x，由周期函数的定义知， ycos 2x 的周期为 .(3)因为 sin sin13x 6 4 (13x 2 4)sin ，(13x 4)由周期函数的定义知，ysin 的周期为 6.(13x 4)(4)y|cos x|的图像如图(实线部分)所示，由图像可知，y|cos x |的周期为 .【类
3、题通法】求函数最小正周期的常用方法求三角函数的周期，一般有两种方法：(1)公式法，即将函数化为 yA sin(x )B 或yA cos(x)B 的形式，再利用 T 求得；(2)图像法，利用变换的方法或作出函数的图2|像，通过观察得到最小正周期【对点训练】求下列函数的最小正周期：(1)y3sin ；(2) ycos|x|.(x2 3)解：(1)由 T 4，可得函数的最小正周期为 4.22(2)由于函数 ycos x 为偶函数，所以 ycos| x| cos x，从而函数 ycos|x| 与 ycos x 的图像一样，因此最小正周期相同，为 2.题型二、三角函数的奇偶性【例 2】 (1)函数 f(
4、x) sin 2x 的奇偶性为( )2A奇函数 B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数(2)判断函数 f(x)sin 的奇偶性(34x 32)(1)解析 f(x)的定义域是 R.且 f(x ) sin 2(x ) sin 2xf (x)，2 2函数为奇函数答案 A(2)解 f(x)sin cos x，(34x 32) 34f(x) cos cos x，( 34x) 34函数 f(x)sin 为偶函数(34x 32)【类题通法】与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使 yAsin(x)( A 0)为奇函数，则 k (kZ)；(2)要使 yAsin(x)( A 0)为偶函数，则 k (kZ)；
5、2(3)要使 yAcos(x )( A0)为奇函数，则 k (kZ)；2(4)要使 yAcos(x )( A0)为偶函数，则 k( kZ)【对点训练】若函数 ysin(x )(0 )是 R 上的偶函数，则 等于( )A0 B.4C. D2解析：选 C 法一：由于 ysin cos x，而 ycos x 是 R上的偶函数，所以 .(x 2) 2法二：因为 ysin x 的图像的对称轴为 x k ，k Z，所以函数 ysin(x)的图像的2对称轴应满足 x k .又 ysin(x )是偶函数，所以 x0 是函数图像的一条对称轴，所2以 k，k Z，当 k0 时， .2 2题型三、三角函数的奇偶性与
6、周期性的应用【例 3】 若函数 f(x)是以 为周期的偶函数，且 f 1，求 f 的值2 (3) ( 176)解 f( x)的周期为 ，且为偶函数，2f f f( 176) ( 3 6) ( 62 6)f .(6)而 f f f f 1，(6) (2 3) ( 3) (3)f 1.( 176)【类题通法】解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法利用函数的周期性，可以把 xnT(nZ)的函数值转化为 x 的函数值利用奇偶性，可以找到x 与 x 的函数值的关系，从而可解决求值问题【对点训练】若 f(x)是奇函数，且 f(x1)f(x)，当 x(1,0) 时，f (x)2x1，求 f 的值(92)
7、解： f(x1) f(x)， f(x2)f(x1)f(x2) f( x)，即 T2.f f f .(92) (92 4) (12)又 f(x)为奇函数，且 x(1,0)时，f(x)2x1，f f(12) ( 12) 0，故 f 0.2( 12) 1 (92)【练习反馈】1函数 f(x)sin(x) 的奇偶性是( )A奇函数 B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数解析：选 A 由于 xR，且 f(x )sin xsin(x) f(x)，所以 f(x)为奇函数2函数 f(x)2sin 是( )(2 x)A最小正周期为 2 的奇函数B最小正周期为 2 的偶函数C最小正周期为 的奇函数D最小正
8、周期为 的偶函数解析：选 B 由于 f(x)2sin 2cos x，其最小正周期为 2，且为偶函数(2 x)3f(x)sin xcos x 是_(填“奇”或“偶”)函数解析：xR 时，f(x)sin(x)cos(x )sin xcos x f(x)，即 f(x)是奇函数答案：奇4函数 ycos 的最小正周期是_1 x2解析：ycos ，T 2 4.( 2x 2)22 2答案：45定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数又是周期函数，若 f(x)的最小正周期为 ，且当 x时，f (x)sin x，求 f 的值 2，0) ( 53)解： 当 x 时，f(x )sin x ，且最小正周期为 ， 2，0)f f f f ( 53) (3 2) (3) ( 3)sin sin .( 3) 3 32
