1、1一 公式法例 1 数列 是等差数列,数列 是等比数列,数列 中对于任何 都有nanbnc*N分别求出此三个数列的通项公式.2347,0,695nncabcc二 利用 与 的关系例 2 若数列 的前 项和为 求 的通项公式.Sn3,2nSan三 累加法 例 3 数列 中已知 , 求 的通项公式.n11,a四 累乘法例 4 数列 中已知 , 求 的通项公式.n1,nna五 构造法 例 5 数列 中已知 , 求 的通项公式; 数列 中已知na113,3nan na, 求 的通项公式. 数列 中已知 是2*1,1nSaNn n0,nS数列的前 项和,且 ,求 的通项公式nnaa一 利用公式例 6 等
2、比数列 的前 项和 求 的值.n21nS22213nnTaa二 分组求和例 7 求数列 的前 项和.3925,48n三 错位相减例 8 求和 230nSxx四 裂项相消例 9 求和 1114732n n五 倒序相加例 10 设 ,求和2xf 20100Sfff1. 求数列 , 的前 项和. 1357,24861n2 已知 ，求 的前 n 项和.logl23x nxx323. 求数列 a,2a2,3a3,4a4,nan, (a 为常数) 的前 n 项和。4. 求证： nnCC2)(5210 25. 求数列 ， ， ， ，的前 n 项和 S314251)2(1n6. 数列a n： ，求 S2002
3、.aa13,7. 求数 5，55，555，555 的前 n 项和 Sn8. 已知数列 是等差数列，且 ，求 的值.na 1713951153a9. 已知数列 的通项公式为 求它的前 n 项的和.nan10. 在数列 中， 证明数列 是等差数列，并求出 Snna).2(12,1Sn ns1的表达式.11. 数列 为正数的等比数列，它的前 n 项和为 80，前 2 n 项和为 6560，且前 n 项中数值n最大的项为 54. 求其首项 a1 及公比 q.12. 已知数列 求 .!)(!32n 208a13. 设 为等差数列，S n 为数列 的前 n 项和，已知 S7 = 7, S15 = 75.
4、记 Tn 为数列a的前 n 项和，求 Tn .14. 求数列 的前项和)21(815,432n15. 已知： .求 .nSn 1)(654 S16. 求和 .2221093117. ，求 。452nSn nS18. 设数列 an的前 n 项和为 Sn，且方程 x2a nxa n0 有一根为Sn1，n1，2，3， （）求 a1，a 2；（） a n的通项公式。19. 已知数列 ： ，求 的值。na)3(811)(n320. 求和: nyxyx112 1,0yx21. 求数列的前 项和：n ,23,7,412aan22. 求数列 的前 项和。)(1n24. 求 的值。 89sii3si2isi 2
5、2225. 已知数列 的通项公式 ，求它的前 n 项和.na)1(nan26. 已知数列 的通项公式 求它的前 n 项和.n ,)(2n27. 求和： ;13)1(2Sn 28. 已知数列 .,09nnSaa项 和的 前求30. 解答下列问题：（I）设 （1）求 的反函数),3()(2xxf )(xf);(1xf（2）若 ;,11nnn uuu求（3）若 ;,32,1 nnkk Saa 项 和的 前求 数 列31. 设函数 求和：),2(1,:,)( 1bfbxf nnn作 数 列.114321 nn bbbW32. 已知数列 的各项为正数，其前 n 项和 ， （I ）求na 2)1(nnaS
6、满 足之间的关系式，并求 的通项公式；（II）求证)2(1nan与 n .12n33.已知数列 的各项分别为 的前 nn ,16543432 aaaa 求项和 .S434已知数列 满足： 的前 n 项和na ,2)3()12(3121 nnbaa数 列.nn WbS项 和的 前求 数 列 .235设数列 中， 中 5 的倍数的项依次记为),(nn N将， （I）求 的值.（II ）用 k 表示 ，并说明理由.,321b4321, kb21与（III ）求和： 2321 nbb36数列 的前 n 项和为 ，且满足 （I）求 与 的关系式，anS,)(,1naSan1a并求 的通项公式；（II）求
7、和n .121232nnW37将等差数列 的所有项依次排列，并如下分组：（ ） ， （ ） ， （ ） ，naa32,7654,a，其中第 1 组有 1 项，第 2 组有 2 项，第 3 组有 4 项，第 n 组有 项，记 Tn 为第1nn 组中各项的和，已知 T3=-48，T 4=0， （I）求数列 的通项公式； （II）求数n列T n的通项公式；（III）设数列 Tn 的前 n 项和为 Sn，求 S8 的值.39. （1）设 是各项均不为零的 （ ）项等差数列，且公差 ，若将此数12,na 4 0d列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列 （i）当 时，求 的数41a值；（ii）
8、求 的所有可能值（2）求证：对于给定的正整数 ( )，存在一个各项及公差均不为零的等差数列n4，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列12b， ， ， n40. 某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款 10 万元，第一年便可获利 1 万元，以后每年比前一年增加 30%的利润；乙方案：每年贷款 1 万元，第一年可获利 1 万元，以后每年比前一年增加 5 千元；两种方案的使用期都是 10 年，到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息 5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？（取 ）65.7.1,83.1,6290.10052)1(n)1(2an答案：1. 设
9、则13572486nS21n354816nS123n两式相减得 (486nS2)n(4811)nn .1122nn132n23nnS2. 解：由 由等比数列求和公式得 2logl3logl 3323 xxx 1nnS32 xn)1(2)(nn3. 解：若 a=0, 则 Sn=0 若 a=1,则 Sn=1+2+3+n= 若 a0 且 a1 则 Sn=a+2a2+3a3+4a4+ nanaS n= a2+2 a3+3 a4+nan+1(1-a) S n=a+ a2+ a3+an- nan+1=S n= 当 a=0 时，此式也成立。S n=5. 解： = ）)2(121(n11n)()(121ann
10、n6Sn= )21()412()31n= (n= 42146. 解：设 S2002 20321aa由 可得nna1,654,2,3,2,3,1 1110987 aa , 65646362616 kkkkkk a （找特殊性054aaa质项） S 2002 （合20321并求和） )()()( 626112876321 kkkaaaa 201098943) 2012019 4636kkkkaa57. 解： 因为 555= )10(9n所以 Sn=5+55+555+555nn7= )10()10()1(952n= n= 815098150n解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然
11、后再分别求和。另外：S n= n2342可以拆成：S n=（1+2+3+n）+( )n21848. 为等差数列，且 1+17=5+13，na . 由题设易知 =117.13517a9a又 为 与 的等差中项， .93 2341539. (裂项)nnan11于是有nan12321方程组两边相加，即得Sn10. 【证明】 .,1nnSa ).2(121nSn化简，得 Sn-1S n= 2 Sn Sn-18两边同除以. S n Sn-1，得 ).2(1nSn数列 是以 为首项，2 为公差的等差数列.n11a ,)(nSn .12nS11. 此数列为递增等比数列. 故 q 1.,80652n依题设，有
12、 .54,601)(,21nnqaqa，得 .81,21nnq代入，得 .a代入，得 .541n代入，得 , 再代入，得 a1 =2, 再代入，得 q = 3.271nq12. 令 （裂项）!)1(!)1(nnb!)1()!1(!)!312(!2 n nba 故有 = .208a!9913. 设等差数列 的公差为 d，则 ( I )na .)1(2S1dnan ,75,17S .57,13,750571a即解得 .,2da代入（I）得 （II ）).1(2)1(1ndnaSn ,21n数列 是首项为 2，公差为 的等差数列，Sn1.4912nTn14. 解： Sn= )(815432nnnnn
13、2121)(2)1( )8415. 当 为正奇数时，n21)()43(nSn当 为正偶数时，)1()(nn 综上知 ，注意按 的奇偶性讨论！)(21为 正 偶 数为 正 奇 数nSn n1016. 50219350 19)4(173)( )2(2)(4 ）（原 式 nn17. 解：因为 1122nann所以 1234nS12n3418. 解：() 当 n1 时，x 2a 1xa 10 有一根为 S11a 11，于是(a 11) 2 a1(a11) a10，解得 a1 12当 n2 时，x 2a 2xa 2 0 有一根为 S21a 2 ，12于是(a 2 )2 a2(a2 ) a20，解得 a1
14、 12 12 16()由题设(S n1) 2a n(Sn1)a n0，即 S n22S n1a nSn0当 n2 时，a nS nS n1 ，代入上式得Sn1 Sn2S n10 由()知 S1 a1 ，S 2a 1a 2 12 12 16 23由可得 S3 3411由此猜想 Sn ，n1，2，3， nn 1下面用数学归纳法证明这个结论(i)n1 时已知结论成立(ii)假设 nk 时结论成立，即 Sk ，kk 1当 nk1 时，由 得 Sk1 ，即 Sk1 ，12 S k k 1k 2故 nk1 时结论也成立综上，由(i )、 (ii)可知 Sn 对所有正整数 n 都成立 nn 1于是当 n2
15、时，a nS nS n1 ，nn 1 n 1n 1n(n 1)又 n1 时，a 1 ，所以12 112a n的通项公式 an ，n1，2，3，nn 119. 解： （找通项及特征）)4(21)3(1)(8)(1 nnn（设制分组）42（裂项）)413(8)1(4 nn （分组、裂项求和） 111 42)( nnnna38)3(420. 解:原式= nxx32 nyy11212= yxnn11= nnx121. 解：设 )231()7()4()2naaSn将其每一项拆开再重新组合得)4()11(2 nn当 时， a3(Sn2)1n当 时， 1)(1an)3(1an22. 解：设 kkak23)2
16、( nkS11)3(2nk将其每一项拆开再重新组合得 nknknk121312)21()(3)( 22 nn()2(1n24. 解：设 . 89sini3si2isin 2222 S将式右边反序得 （反序） 1n89又 cosi),0co(i 22xxx+得 （反序相加） 89)cos89(sin)s1(sn2 2222 S 5.41325. ,12nan),12()123()53() nnS= 1( = 2)n26. ,)1()1(222nan.)1()1()1(32 2222 n nSn 27. 注意：数列的第 n 项“n1”不是数列的通项公式，记这个数列为 ，na其通项公式是 .6)2(
17、12)(6)1(2)1( )333, 22 nnnnSkkka 28. 为等比数列，应运用错位求和方法：nnnba)109(,为 等 差 数 列.)109(9 ),10()9101085 9()(1095: ,)9()(3)(2109 ;109 13212nn nnn nnnSSS 两 式 相 减 得1429. ,1310nnn aaa为 等 差 数 列而 运用反序求和方法是比较好的想法，,kkC，nnnn CW)3()23(741210012145)()3( nnnC，0)(1nn+得 ,2)3()(2210 nn.)3(1nW30. （1） 9)(21xf（2） 是公差为 9 的等差数列，
18、),(221nnuu,80,89knn（3） ),91(9kak);19( )8()10(0 n nS31. ),384(91,32,3221 nbnbbnnn当 n 为偶数时 )()(94 22W298)12(17394)(28n 15= );62(914)2(194nnn当 n 为奇数时 )1()( 22nWn ).762(913982194 )3(73 3)(24)2(98 nnnn32. （I） ，而 ，2)(naS21)(4naS得 ,0)01121 nnn的等差数列，2),2(,0 dan是 公 差;)(4121a而（II） 22212 11, nSSnn.21 )1()32()1
19、(,)(12 n nSSnn 33. ,21nnnaa（1） ;)1(Snn时当（2）当 ,121aaann时),()(1 12312 nnnS 16 ;1)(1, 2aaSannn时当当 时，1）当 n 为奇数时 ;Sn2）当 n 为偶数时 .234当 ),12()5()3()(, 1 nan nn时 ;14,2.,;11nSbnan时当 得而而 .)2(,11n得 )14(1572,4432 nsWn 记，24n得 )()2(8143s n ).5(),5(24 ,4113Wnn得35 （I） ;5,0104935241 abab（II） ),()()( NknkNmna或;2)15( ,
20、2,52 1522 kab abk kkk或即（III） ).1(6,22121 nbbnbnn 36 （I） ),(1,2)(11 aaSnnnn两 式 相 减 得17;,12121 nanaann （II） )412()3)(534Wn .121)1()531( n37 （I）设 的公差为 d，则 ， ，解、得na48673daT03674daT;2,9,27nd（II）当 时，在前 n1 组中共有项数为 ,1221n第 n 组中的 )()32(2 1 nnnT项 的 和;431n（III ） .5941,2588SaSn项的 前为38. 解析：因为 ，nnn CaC101，01nnaS
21、nnnCa0100101 02()()()nn 2nCa。110()2nnSa39. （1 ）当 n=4 时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比1234,a数列，则推出 d=0。若删去 ，则 ，即 化简得 ，得2a314211()(3)dad140ad14a若删去 ，则 ，即 化简得 ，得2a18综上，得 或 。14ad1当 n=5 时, 中同样不可能删去 ，否则出现连续三项。2345,a1245,a若删去 ，则 ，即 化简得 ，因为31511()()3)dd20，所以 不能删去；0da当 n6 时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列 中，由于2321,nna不能删去首项
22、或末项，若删去 ，则必有 ，这与 矛盾；同样若删去2a13nna0也有 ，这与 矛盾；若删去 中任意一个，则必有1n3nn0d,，这与 矛盾。(或者说：当 n6 时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连21a续的三项)综上所述， 。4（2）假设对于某个正整数 n，存在一个公差为 d 的 n 项等差数列 ，其中nb,.21（ ）为任意三项成等比数列，则 ，即11,xyzb01xyz1yxz，化简得 （*）21()()()dbd 22()()yxzzd由 知， 与 同时为 0 或同时不为 01当 与 同时为 0 时，有 与题设矛盾。2zy故 与 同时不为 0，所以由（*）得yx221byxzd因为 ，
23、且 x、y、z 为整数，所以上式右边为有理数，从而 为有理数。01zn 1bd于是，对于任意的正整数 ，只要 为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。)4(1bd例如 n 项数列 1， ， ， 满足要求。2()2n40. 解析：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，甲方案获利： （万元） ，63.42.01%)31()301(%)(1 92 银行贷款本息： （万元） ，9.6500故甲方案纯利： （万元） ，342.13.42乙方案获利： 5.02910)5.91()5.()( （万元） ；50.32银行本息和： %)()(%)1(. 9219（万元）21.305.1.故乙方案纯利： （万元） ；9综上可知，甲方案更好。
