1、1第一课时 数列本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前 项和公式及运用，等差数列、等比数列n的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法1数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作 ，在数列第一个位置的项叫第 1 项（或首项） ，在第二个位置na的叫第 2 项，序号为 的项叫第 项（也叫通项）记作 ；nna数列的一般形式： ， ， ， ，简记作 。1a23n（2）通项公式的定义：如果数列 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公
2、式。例如，数列的通项公式是 = （ 7， ） ，数列的通项公式是 = （ ） 。naNna1N写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数：0.5，0.5，0.5， 、 、 、1，1,1，1， 、 、 、 （可用分段函数表示）1， ， ， ， 、 、248说明： 表示数列， 表示数列中的第 项， = 表示数列的通项公式；nananafn 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如， = = ； n(1),1()2nkZ不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项
3、序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集 （或它的有限子集）的函数 当自变量 从 1 开始依次取值时对应的一N ()fn系列函数值 ， ，通常用 来代替 ，其图象是一群孤立点。(),(),ff()fna（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列） 、常数列和摆动数列。（5）递推公式定义：如果已知数列 的第 1 项（或前几项） ，且任一项 与它的前一项 （或前几项）nana1na间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。（6）
4、数列 的前 项和 与通项 的关系：nanSn1()2nn写出数列的一个通项公式：(1) 3, 5, 7, 9, 11,；(2) , , , , , ；(3) 0, 1, 0, 1, 0, 321546389101,；(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ；(5) 2, 6, 18, 54, 162, .22 等差数列知识要点1 等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为 或d1(2)nad。1(1)na2递推关系与通项公式 mnaddnam
5、n1;)(1变 式 ：推 广 ：通 项 公 式 ：递 推 关 系 ： 为 常 数 ）即 ：特 征 ： kfdn,()()1是数列 成),为 常 数， （kana等差数列的充要条件。等差中项：若 成等差数列，则 称 的等差中项，cb,bc与且 ； 成等差数列是 的充2a, a2要条件。前 项和公式n； 2)(1aSn2)1(1dnaSn),()(,)2212为 常 数即特 征 ： BAnSfdnn是数列 成等差数列的充要条件。a5等差数列 的基本性质n),(Nqpnm其 中 反qpnmaa， 则若之，不成立。也就是： ，23121nnna如图所示： nana12,31(2) mnna2（3）若
6、b， 是等差数列，且前 项和分别为nST，则21mS(4) dna)(5) 组成公差为 的等差数列.,2mn(6) 组成公差为 ,23nSSdn2的等差数列.（7）若项数为偶数，设共有 项，则 奇 偶 ； ；Snd1naS奇偶（8）若项数为奇数，设共有 项，则2 偶 奇 ； 。na中 n奇偶判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：是等）常 数 ） （ Nndan(1 na差数列中项法：是等差数)221nn（ n列通项公式法：是等差数),(为 常 数bkanna3列前 项和公式法：n是等),(2为 常 数BASna差数列3 等比数列知识要点1 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项
7、的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为。)0q， （2 递推关系与通项公式 mnnqa推 广 ：通 项 公 式 ：递 推 关 系 ： 113 等比中项：若三个数 成等比数列，则称 为cb,b的等比中项，且为ca与是成等比数列的必要而acbb2， 注 ：不充分条件。3 前 项和公式n)1(1)()(1 qaqaSnnn4 等比数列的基本性质， ),(Npm其 中 反之不真！qnapnm， 则若也就是： ，如图所 23121nnnaa示： nnna112,31 )( Nqmnmn， 为等比数列，则下标成等差数列的对应项na成等比数列。 仍，时 ， nnnSSq2321成等比数列。5 等比数列与等比数列的转化 是等差数列 是na)10(ccna，等比数列； 是正项等比数列n是等差数列；)10(logcac， 既是等差数列又是等比数列 是各n na项不为零的常数列。6 等比数列的判定法定义法： 为等比数列；（ 常 数 ）qan1na中项法：为等比数列；)0(221nnn na通项公式法： 为 常 数 ）qkann,(为等比数列；前 项和法：na为等比数为 常 数 ）（ kqSn,)1(na列。1
