1、 1 / 5数系的扩充和复数概念和公式总结1.虚数单位 :i它的平方等于-1，即 21i2. 与1 的关系: 就是1 的一个平方根，即方程 x2=1 的一个根，方程 x2=1 的另一个根i是3. 的周期性： 4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1 奎 屯王 新 敞新 疆iiiii4.复数的定义：形如 的数叫复数， 叫复数的实部， 叫复数的虚部 奎 屯王 新 敞新 疆 全体复数所(,)abRab成的集合叫做复数集，用字母 C 表示 奎 屯王 新 敞新 疆 复数通常用字母 z 表示，即 (,)zaiR5. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系：对于复数 ，当且仅当 b=0
2、时，复数(,)ia+bi(a、bR) 是实数 a；当 b0 时，复数 z=a+bi 叫做虚数；当 a=0 且 b0 时，z=bi 叫做纯虚数；a0 且 b0 时，z= bi 叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当 a=b=0 时，z 就是实数 0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等 奎 屯王 新 敞新 疆如果 a，b，c ，dR，那么 a+bi=c+di a=c，b=d 奎 屯王 新 敞新 疆 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 奎 屯王 新 敞
3、新 疆 当两个复数不全是实数时不能比较大小 奎 屯王 新 敞新 疆 7. 复平面、实轴、虚轴：点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z=a+bi(a、 bR )可用点 Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴 奎 屯王 新 敞新 疆 实轴上的点都表示实数 奎 屯王 新 敞新 疆 2 / 5（1）实轴上的点都表示实数 奎 屯王 新 敞新 疆 （2）虚轴上的点都表示纯虚数 奎 屯王 新 敞新 疆（3）原点对应的有序实数对为(0，0)设 z1=a+bi，z 2=c+di(a、b 、c、dR)是任意两个复数，8复数 z1 与 z2 的加法
4、运算律：z 1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9.复数 z1 与 z2 的减法运算律：z 1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.10.复数 z1 与 z2 的乘法运算律：z 1z2= (a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i .11.复数 z1 与 z2 的除法运算律：z 1z2 =(a+bi)(c+di)= （分母实数化）ca2212.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数 奎 屯王 新 敞新 疆 虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数 奎 屯王 新 敞新 疆通常记复数 的共轭
5、复数为 。例如 =35i 与 =35i 互为共轭复数zzz13. 共轭复数的性质（1）实数的共轭复数仍然是它本身（2） 2Z（3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称14.复数的两种几何意义： 15 几个常用结论（1） ， （2）i2ii21（3） ， （4） ii16.复数的模： （5） i1复数 的模 （6）biaZ2ba2baiba20092014 年高考文科数学试题分类汇编复数2.（2009 浙江卷文）设 z1i（i 是虚数单位） ，则 z 2 （ ）2z（A）1i （B） 1i （C） 1i （D）1i 3. （2009 山东卷文）复数 等于（ ）3 i1 i（A）12i （B） 12i
6、 （C）2i （D）2i 4. （2009 安徽卷文）i 是虚数单位， i（1i）等于（ ）点 ),(向量 OZ一一对应一一对应一一对应复数 Rbai,3 / 5（A）1i （B） 1i （C）1i （D）1i5.（2009 天津卷文）i 是虚数单位， （ ）5i2 i（A）12i （B） 12i （C）12i （D）12i 6. （2009 宁夏海南卷文）复数 （ ）3 2i2 3i（A）1 （B） 1 （C）i （D）i7. （2009 辽宁卷文）已知复数 z12i ，那么 （ ）1z（A） i （B） i （C） i （D） i 55 255 55 255 15 25 15 258.（2
7、010 湖南文数 1）复数 等于（ ）21 i（A） 1i （B） 1i （C） 1i （D） 1i10 （2010 全国卷 2 理数）复数（ ） 2（ ）3 i1 i（A）34i （B） 34i （C）34i （D）34i11.（2010 陕西文数）复数 z 在复平面上对应的点位于（ ）i1 i（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限12.（2010 辽宁理数（2） ）设 a，b 为实数，若复数 1i ，则（ ）1 2ia bi（A）a ，b （B） a3，b1 32 12（C） a ，b （D ） a1，b3 12 3216.（2010 山东文数）已知 bi （a，b
8、R） ，其中 i 为虚数单位，则 ab（ ）a 2ii（A）1 （B） 1 （C）2 （D） 317.（2010 北京文数（2） ）在复平面内，复数 65i ， 23i 对应的点分别为 A，B，若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是（ ）（A）48i （B） 82i （C）24i （D）4i18.（2010 四川理数（1） ）i 是虚数单位，计算 ii 2i 3（ ）（A）1 （B） 1 （C）i （D）i19.（2010 天津文数）i 是虚数单位，复数 （ ）3 i1 i（A）12i （B） 24i （C）12i （D）2i4 / 520.（2010 天津理数）i 是虚数单位，
9、复数 （ ） 1 3i1 2i（A）1i （B） 55i （C）55i （D）1i 21.（2010 广东理数）若复数 z11i，z 23i ，则 z1z2（ ）（A）42 i （B） 2 i （C） 22 i （D）322.（2010 福建文数）i 是虚数单位， （ ） 4 等于（ ）1 i1 i（A）i （B） i （C）1 （D）123.（2010 全国卷 1 理数（1） ）复数 （ ）3 2i2 3i（A）i （B） i （C）1213i （D） 1213i24.（2010 山东理）已知 bi （a，bR ） ，其中 i 为虚数单位，则 ab（ ）a 2ii（A）1 （B）1 （C）2
10、 （D）326. （2011 年北京理）复数 （ ）i 21 2i（A）i （B） i （C） i （D） i45 35 45 3529.（2011 年安徽理（1） ）设 i 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 a 为（ ）1 ai2 i（A）2 （B） 2 （C） （D）12 1230.（2011 年福建文）i 是虚数单位， 1i 3 等于（ ）（A）i （B） i （C）1i （D）1i31.（2011 年广东理 1）设复数 z 满足（1i）z2，其中 i 为虚数单位，则 Z（ ）（A）1i （B）1 i （C）22i （D）22i32.（2011 年广东文 1）设复数 z 满足 iz1，
11、其中 i 为虚数单位，则 z（ ） （A）i （B） i （C）1 （D）133.（2011 年湖北理 1）i 为虚数单位，则（ ） 2011（ ）1 i1 i（A）i （B） 1 （C ）i （D）155.【2012 湖南文 2】复数 zi（i 1） （i 为虚数单位）的共轭复数是（ ）（A）1i （B） 1i （C）1i （D）1i62 （2013 年北京卷（文） ）在复平面内，复数 i（2i ）对应的点位于（ ）（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限67.（2013 年江西卷）复数 zi（2i ） （i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在（ ）5 / 5（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
