1、第2.5节 初等变换与初等矩阵,一.矩阵的初等变换,二.初等矩阵,四.小结 思考题,三.用矩阵的初等变换求逆矩阵,定义1,下面三种变换称为矩阵的初等行变换:,一、矩阵的初等变换,定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换,同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”),定义3 一个矩阵称为行阶梯形矩阵,如果从第一行起,每行第一个非零元前面零的个数逐行增加,一旦出现零行,则后面各行(若还有的话)都是零行.,定义4 如果行阶梯形矩阵满足下列两个条件:,(1)非零行的首非零元为1;,(2)所有首非零元所在的列其余元素都是零.,则称之为行标准形矩阵(或行简化阶梯形矩阵).,用矩阵的
2、初等行变换 化下列矩阵为行阶梯形矩阵,进而化为行标准形矩阵.,特点：,（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；,（2）、每个台阶 只有一行，,台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元,行标准(行最简)形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形,例如，,特点：,定义5 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.,三种初等变换对应着三种初等方阵.,矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.,二、初等矩阵的概念,定理1 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相
3、应的 阶初等矩阵.,初等变换,初等矩阵,初等逆变换,初等逆矩阵,三.用矩阵的初等变换求逆矩阵,结论:初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵.,等价关系的性质：,具有上述三条性质的关系称为等价,定理2 设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵,证,即,利用初等变换求逆阵的方法：,解,例,即,初等行变换,例,解,四、小结,. 利用初等变换求逆阵的步骤是:,矩阵的初等变换,练习2.5 P62,判断下列命题是否正确：,(1)初等矩阵的乘积仍是初等矩阵；,(2)单位矩阵是初等矩阵；,(3)初等矩阵的转置还是初等矩阵；,(4)初等矩阵的伴随矩阵还是初等矩阵；,(5)可逆矩阵只经过列初等变换变可化为单位矩阵,（对）,(对）,（对）,（错）,（错）,
