1、,一、矩阵的初等变换,三、逆矩阵的初等变换求法,2.2 矩阵的初等变换与初等矩阵,四、矩阵方程的初等变换解法,五、矩阵的分块初等变换,二、初等矩阵,下列三种变换称为矩阵的初等列变换：,矩阵的初等列变换,(3) 把矩阵的第 i 列的 k 倍加到第 j 列, 用 cj +kci 记之.,(2) 用非零数 k 乘矩阵的第 i 列, 用 kci 记之;,(1) 对换矩阵的第 i, j 列, 用 cicj 记之;,矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.,一、矩阵的初等变换,如果矩阵 A 经过有限次初等(行, 列)变换, 化为矩 阵 B, 就称矩阵 A 与 B (行, 列)等价, 记为 AB.,矩
2、阵的等价具有以下性质:,(1) 反身性 AA;,(2) 对称性 如果 AB, 则 BA;,(3) 传递性 如果 AB, BC, 则 AC.,等价矩阵,(标准形矩阵),对矩阵的行最简形再施行初等列变换, 可得到一 种结构最为简单的形式.,例如, 行最简形矩阵,再经初等列变换,化为,任一 mn 矩阵 A 经过有限次初等变换可化为如下 的等价标准形:,其中下方及右边的零行, 零列可能空缺.,可逆阵的行最简形(等价标准形)是一个单位阵.,定理1,行列式不为零的方阵, 其等价矩阵的行列式也不为零.,可逆阵的等价矩阵也为可逆阵.,提示:,可逆的行最简形矩阵是一个单位阵.,二、初等矩阵,初等矩阵,由单位矩阵
3、经一次初等变换而得的矩阵称为初等 矩阵.,相应于矩阵的三种初等变换, 初等矩阵有三种:,(1) E(i, j): 由单位阵交换第 i, j 行(列)而得的方阵;,(2) E(i(k): 由单位阵的第 i 行(列)乘非零数 k 而得的方阵;,(3) E( j,i(k):由单位阵的第 i 行乘数 k 加于第 j 行而得的方阵,也即由单位阵的第 j 列乘数 k 加于第 i 列而得的方阵.,定理2 设 A 为 mn 矩阵.,(1) 对矩阵 A 施以某种初等行变换得到的矩阵, 等于用同种的 m 阶初等方阵左乘 A.,(2) 对矩阵 A 施以某种初等列变换得到的矩阵, 等于用同种的 n 阶初等方阵右乘 A
4、.,证明 以第三种初等列变换为例证之.,将矩阵 A 和单位阵 E 按列分块,经列变换 ct +kcs , 矩阵 A 和单位阵 E 分别变换为,和,于是,初等矩阵可逆, 其逆阵也为初等矩阵. 具体如下:,定理2 设 A 为 mn 矩阵.,(1) 对矩阵 A 施以某种初等行变换得到的矩阵, 等于用同种的 m 阶初等方阵左乘 A.,(2) 对矩阵 A 施以某种初等列变换得到的矩阵, 等于用同种的 n 阶初等方阵右乘 A.,例1 设 A 是 3 阶可逆矩阵, A 的第 2 列乘以4为矩阵 B,解,则 A-1 的( )为 B-1 .,(A) 第二行乘以4;,(B) 第二列乘以4;,(C) 第二行乘以,(
5、D) 第二列乘以,C,定理2 设 A 为 mn 矩阵.,(1) 对矩阵 A 施以某种初等行变换得到的矩阵, 等于用同种的 m 阶初等方阵左乘 A.,(2) 对矩阵 A 施以某种初等列变换得到的矩阵, 等于用同种的 n 阶初等方阵右乘 A.,定理3 n 阶方阵 A 为可逆矩阵的充分必要条件是:A 可以表成若干初等方阵的乘积.,证明 若 A 可表成若干初等方阵的乘积,若 A 可逆, 则 A的行最简形为单位阵,于是,定理2 设 A 为 mn 矩阵.,(1) 对矩阵 A 施以某种初等行变换得到的矩阵, 等于用同种的 m 阶初等方阵左乘 A.,(2) 对矩阵 A 施以某种初等列变换得到的矩阵, 等于用同
6、种的 n 阶初等方阵右乘 A.,则由初等方阵,可逆, 即知 A 可逆.,由定理1, 存,在初等方阵 P1,Pk, 使得 Pk P1 A = E,定理4 设 A 为 mn 矩阵.,(1) A 与 B 行等价的充要条件是:存在 m 阶可逆方阵 P, 使 B = PA.,(2) A 与 B 列等价的充要条件是:存在 n 阶可逆方阵 Q, 使 B = AQ.,定理2 设 A 为 mn 矩阵.,(1) 对矩阵 A 施以某种初等行变换得到的矩阵, 等于用同种的 m 阶初等方阵左乘 A.,(2) 对矩阵 A 施以某种初等列变换得到的矩阵, 等于用同种的 n 阶初等方阵右乘 A.,定理3 n 阶方阵 A 为可
7、逆矩阵的充分必要条件是:A 可以表成若干初等方阵的乘积.,三、逆矩阵的初等变换求法,设 A 可逆, 则,由定理4知, (A, E) 经若干次初等行变换可化为 (E, A-1).,逆矩阵的初等变换求法,定理4 设 A 为 mn 矩阵.,(1) A 与 B 行等价的充要条件是:存在 m 阶可逆方阵 P, 使 B = PA.,(2) A 与 B 列等价的充要条件是:存在 n 阶可逆方阵 Q, 使 B = AQ.,逆矩阵的初等变换求法:,解,四、矩阵方程的初等变换解法,设 A 可逆, 则矩阵方程 AX = B 的解为 X = A-1B.,提示:,矩阵方程 AX = B 的初等行变换解法,矩阵方程 XA
8、 = B 的初等列变换解法,设 A 可逆, 则矩阵方程 XA = B 的解为 X = BA-1 .,(A, B) 经若干次初等行变换可化为 (E, A-1B).,AX = B 的初等行变换解法:,例3 已知,求线性方程组 Ax = b1 和 Ax = b2 的解.,解,设 Ax1 = b1, Ax2 = b2 .,记,则两个线性方程组可合成一个矩阵方程 AX = B.,Ax = b1 和 Ax = b2 的解依次为,XA = B 的初等列变换解法:,例4 设,求解 XA = B.,解,解,五、矩阵的分块初等变换,下列三种变换称为分块矩阵的初等行变换:,(1) 对换分块矩阵的两行;,(2) 以一
9、个可逆矩阵 C 左乘分块矩阵的某一行; (C 的阶数与该行子矩阵的行数相等),以上定义中的行换成列, 左乘换成右乘, 即得分块 矩阵的初等列变换的定义.,(3) 把分块矩阵的第 i 行左乘矩阵 C 加到第 j 行.,分块矩阵的初等行列变换统称为分块矩阵的初等 变换, 或称为矩阵的分块初等变换.,(C 的列数与第 i 行子矩阵的行数相等, C 的行数与第 j 行子矩阵的行数相等),对分块矩阵施行一次分块初等变换, 实际上就是 对矩阵施行若干次初等变换：,(1) 对分块矩阵施行一次第一种分块初等变换, 就是对矩阵施行若干次第一种初等变换.,(2) 对分块矩阵施行一次第二种分块初等变换, 就是对矩阵
10、施行若干次初等变换.,(3) 对分块矩阵施行一次第三种分块初等变换, 就是对矩阵施行若干次第三种初等变换.,下面以一个简单例子说明(3).,(A1为 mn 矩阵, A2为 ms 矩阵, B为 ns 矩阵),例6 设 A 为 m 阶可逆矩阵, D 为 n 阶可逆矩阵, 求分,解,Schur 公式,设矩阵 A 为可逆矩阵, 矩阵 D 为方阵, 则有,证明,若 D 为可逆矩阵, A 为方阵, 则 Schur 公式为,证明,例7 设 A, B, C, D 为 n 阶矩阵, 且 A 可逆, AC=CA, 证明,Schur 公式,设矩阵 A 为可逆矩阵, 矩阵 D 为方阵, 则有,由 Schur 公式得,作 业习题2.2:1.(3) 2.(2) 3. 5. 8.,行列式乘法定理,设 A, B 为 n 阶方阵, 则有,证明,设 A = (aij), B = (bij).,记 2n 阶行列式,在 D 中以 b1j 乘第 1 列, , bnj 乘第 n 列, 都加到第 n+j 列上( j = 1, n), 有,即得所证.,
