1、2.3 初等变换与初等矩阵授课题目 2.3 初等变换与初等矩阵授课时数：4 课时教学目标：掌握初等变换的定义，初等矩阵与初等变换的关系，矩阵的等价标准形，阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵教学重点：用初等变换求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵教学难点：求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵， 、行简化阶梯形矩阵教学过程：用初等变换化简矩阵 的性质，这是研究矩阵的重要手段。ABA的 性 质 来 探 讨通 过为 ,为了把变换过程用运算的式子表示出来，我们要引入初等矩阵，研究初等矩阵与初等变换的关系。一初等变换与初等矩阵1. 初等变换（1）定义定义 1 矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换：1
2、）换法变换：交换矩阵某两行（列）的位置；2）倍法变换：用一个非零数乘矩阵的某一行（列） ；3）消法变换：把矩阵的某一行（列）的 倍加到另一行（列）上去， 为任意数。kk矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。（2）记法分别用 表示三种行（列）变换，写在箭头上面表示行变换，)(),(,kjiji写在箭头下面表示列变换。或者行变换用 ， ijijR,kR列变换用 ijijC,kC例 1 . 1320121301230 )1(3)2(A2. 初等矩阵（1）初等矩阵的定义定义 2 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵I每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵ijjin PjiI 行行1
3、0101, )(11)(, kDikI ijin 行 )(11)( kTjikI ijkitjn 行行 )(11)( kTjikjiI ijkitjn 行行列列 列i列j、 、 分别叫做换法阵、倍法阵、消法阵。ijP)(kDiTij* 是从行的角度来定义，进行列消法变换时，要转化为行来表示。ij二初等变换与初等矩阵的关系1、问题能否用矩阵的乘积的等式把初等变换的过程表示出来？如果能够，这对研究矩阵的关系是有很大帮助的。2、初等变换与初等矩阵的关系定理 2.3.1 对一个 矩阵 作一次初等行变换,就相当于在 的左边乘上相应的nmAA阶初等矩阵；对 作一次初等列变换,就相当于在 的右边乘上相应的
4、阶初等矩阵。mA n（结合分块矩阵，直接相乘，就可证出）证 我们只对初等行变换给出证明，列变换的情况可以同样证明。设 121n122n12nmaaA其中 分别代表矩阵 A 的第 1 行，第 2 行，一直到第 m 行。2mA,用 m 阶初等矩阵 左乘 A 得ijP1jijimiPA上j这相当与把 A 的第 i 行与第 j 列交换用 m 阶初等矩阵 左乘 A 得iD(k)1ii(k)A上这相当用 k 乘 A 的第 i 行、用 m 阶初等矩阵 左乘 A 得ijT(k)1ijij jmAkiT()A上这相当与把 A 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行上。三、矩阵的等价标准形1、矩阵的等价关系等价是矩
5、阵的一种关系，它具有如下性质：1）反身性，即 ；2）对称性，即若 ，则 ；BA3）传递性，即若 ，且 ，则 。CA这些性质对研究矩阵的关系很有用。2、矩阵的等价标准形定理 2.3.2 任意一个 矩阵 ,都与形式为nm)()()(0rnmrrIE的矩阵等价。我们称 为矩阵的等价标准形。)(rmn证 设 A=0，那么 A 已经是标准形了。以下设 。A 至少有一个不为零的元素， 通过行，列的交换总可以把这个元素调到（1，1）位置上去。不妨设 ，把 A 的其1a0余行减去第一行的 倍，把 A 的其余列减去第一列的1ia(,2)倍。再用 乘 A 的第一行，A 就化成 ，1ja(,2n) 1 10A矩阵，
6、对 重复以上步骤，总可以化成 的形式。1A(上m-)1 (r)mnE让学生记住定理 2.3.2 的 5 种形式：；)(rmnE；)(2rA；)(113rmntsQP；)(4rmnEPAQ。r)(5例 2 设求 的等价标准形。2012AA解 1,20 31(2)0214 31(2),4() 0124 32(1)0123 32(1),4()032 13()02 43(2)01 推论 1 对两个 矩阵 和 ， 与 等价的充分必要条件是存在 m 阶初等矩阵nmABP1，P 2，P S 和 n 阶初等矩阵 Q1，Q 2，Q t,使得 P1P2PSA Q1Q2Qt=B。推论 2 对每个 矩阵 , 总存在
7、m 阶初等矩阵 P1，P 2，P S 和Q1，Q 2，Q t,使得 P1P2PSA Q1Q2Qt= )(rnE四、阶梯形矩阵与简化阶梯形矩阵1、阶梯形矩阵与简化阶梯形矩阵的定义定义 4 若矩阵 A 具有以下特点：1）元素全为零的行（简称零行）在矩阵下方（如果有的话） ；2）元素不全为零的行（简称为非零行）的第一个不为零的元素（简称首非零元）的列标随着行标的增加而严格增加，则称矩阵 A 为阶梯形矩阵。定义 5 首非零元为 1，且首非零元所在列的其余元素全为零的阶梯矩阵称为简化阶梯形矩阵。2、基本定理定理 2.3.3 任意一个 矩阵 总可经过一系列初等行变换化为阶梯形矩阵，mn(0)进而化为行简化
8、阶梯形矩阵。证 设 中第 1 列不全为零，总可以交换两行使左上角元素不为零。不妨设ijnA(a)倍，A 化成形如 1a0,i(1,2m)1 i1a上-1231n21 3m12mnaabbA0的矩阵。如 A 的第 1 列元素全为零，则考虑第 2 列，做法相同。不妨设12 2bb0,i(,) 1上上12131n22 3m3naabbA0c的矩阵。如此继续下去，总可以将 A 经初等变换化为阶梯形矩阵。进而化成简化阶梯形矩阵。例 3 设，02413735A用初等行变换化 为阶梯形矩阵，进而化成行简化阶梯形矩阵。1,23730415 A4(1)2300415 31(5),4(2)3041986 32(5),4()230041 3,230124 32()012 43(1) 12300 A阶梯形矩阵。1A上3(1)23001 23(1)23001 12() 201 A就是 A 的行简化阶梯形矩阵。2易知，阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵的非零行数不超过它的行数和列数。
