1、第2节矩阵的初等变换与初等矩阵 1 2 1矩阵的初等变换1 2 2初等矩阵1 2 3用初等行变换求逆矩阵 线性方程组的同解变换 对于 1 1 式所示的线性方程组 可做如下的三种变换 1 互换两个方程的位置 2 把某一个方程两边同乘以一个非零常数c 3 将某一个方程加上另一个方程的k倍 称为线性方程组的初等变换 以上初等变换是可逆的 这个定理在矩阵中如何体现呢 1 1 1 2 1 矩阵的初等变换 初等行变换row 初等列变换column 交换i j两行 数乘第i行 数乘第i行加到第j行 交换i j两列 数乘第i列 数乘第i列加到第j列 矩阵A经过初等变换后化为矩阵B 表示为 习惯上 在箭头上面写
2、出行变换 在箭头的下面写出列变换 例如 例1 7 P11 初等变换把矩阵变成行阶梯形 得到它代表的同解方程组 例1 7 P11 初等变换把矩阵变成行阶梯形 得到它代表的同解方程组 从最后一个方程出发 可以求得原方程组的解为 1 2 2 定义1 9由单位矩阵I经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 初等矩阵有三种类型 1 对调I中第i j行 得到的矩阵记为 Rij 对调I中的第i j列 得到的矩阵记为 Cij 故 1 0 1 0 1 1 1 i j i j Rij Cij 初等矩阵 用不为零的数 乘以I中的第i行 得到的矩阵记为Ri 用不为零的数 乘以I中的第i列 得到的矩阵记为Ci 1 1 1
3、 1 Ri Ci i i 以数 乘以I中的第i行加到第j行上去 得到的矩阵 记为Rij 以数 乘以I中的第j列加到第i列上去 得到的矩阵 记为Cji 则有 1 1 1 1 Rij Cji i j i j 初等矩阵是可逆的 并且其逆矩阵也是同一类型的初等矩阵 易验证 Rij 1 Rij Ri 1 Ri 1 Rij 1 Rij 定理1 2有限个初等矩阵的乘积必可逆 用初等矩阵左乘某矩阵 其结果等于对该矩阵作相应的初等行变换 用初等矩阵右乘某矩阵 其结果等于对该矩阵作相应的初等列变换 初等矩阵与初等变换的关系 左行右列 Example BACK 定理1 3可逆矩阵经过有限次初等变换得到的矩阵仍然是可
4、逆阵 证明 定理1 4可逆矩阵可以经过有限次初等行变换化为单位阵 P13 证明 定理1 5方阵P为可逆阵的充分必要条件是P可以表示为有限个初等矩阵的乘积 证明 一般地 矩阵A经过有限次初等变换后得到B 可以记为B PAQ 其中P是有限次初等行变换所对应的初等矩阵的乘积 Q是有限次初等列变换所对应的初等矩阵的乘积 1 2 3 由定理1 5可知 可逆矩阵A可以分解成若干初等矩阵的乘积 设 A P1P2 Pt则有 上两式表明 对矩阵A与I施行同样的行变换 在把A化成单位矩阵时 I同时就化成A 1 因此 通常将A与I按照行的方向组合成一个大矩阵 对大矩阵施行同样的行变换 即得 Pt 1 P2 1P1
5、1A I 且Pt 1 P2 1P1 1I A 1 初等变换求逆矩阵 Pt 1 P2 1P1 1 AI IA 1 设A 解 求A r2 r1r3 3r1 r3 5r2 例1 8 所以A 1 注意在求逆矩阵的过程中 初等行变换与初等列变换不能混用 例 求矩阵 的逆 解 同理 可以用初等列变换来求逆矩阵 在这样做时 应是对形为 A E 的矩阵作初等列变换 在将A化为E的同时 E就变成了所要求的逆矩阵A 1 求逆矩阵的过程中 初等行与列变换不能混用 练一练 求矩阵 的逆 求矩阵 的逆 解 初等变换与初等矩阵 小结 线性方程组的同解变换 矩阵的初等变换 初等矩阵 初等行 列 变换求逆矩阵 Rij Cij
6、 Ri Ci Rij Cij 作业P34 1 6 1 7 4 6 BACK 证明 定理1 3设A可逆 B PAQ P Q分别为有限个初等矩阵的乘积 因而可逆 由逆方阵的性质可知B可逆 且有 B 1 Q 1A 1P 1 BACK 定理1 5方阵P为可逆阵的充分必要条件是P可以表示为有限个初等矩阵的乘积 必要性 由定理1 4可知 可逆方阵P可以经过有限次行的初等变换化成单位矩阵I 则由定理1 2知 存在初等矩阵 证明 充分性 如果方阵P可以表示为有限个初等矩阵的乘积 则由定理1 2的结论 P为可逆 BACK 定理1 4可逆矩阵可以经过有限次初等行变换化为单位阵 证明设A为n阶可逆矩阵 因为A是可逆
7、矩阵 所以A第一列不能全为零 这样就可以通过初等行变换将第一行第一列的元素变为不等于零 再对第一行第一列乘以适当的系数 可以把第一行第一列的元素变为1 再用适当的倍数加到其他行 使得第一列的其他元素都是零 得到如下形式的矩阵 由可逆性知b22 bn2中至少有一个不为零 如果不是这样 则将B的第一列乘以 b12 加到第二列中 则第二列全为零 这与逆矩阵的性质相矛盾 这样就可以通过初等变换将第二行第二列的元素变为不等于零 再对第二行第二列乘以适当的系数 可以把第二行第二列的元素变为1 再将第二行乘以适当的数加到下面各行 得到矩阵 BACK 类似地可以证明 C33 Cn3中至少有一个不为零 并通过适
8、当的行变换将第三行第三列的元素变为1 气候各行的元素全部变为零 重复下去 最后可以将矩阵A变为上三角矩阵形式 BACK 将此上三角阵的第n行乘以适当参数 加到上面各行中 可以使第n列的非角元素全变为零 第n 1行乘以适当的数 加到上面各行中 可以使第n 1列的非对角元素全变为零 依此类推 最后可以得到单位阵 BACK 定理1 5方阵P为可逆阵的充分必要条件是P可以表示为有限个初等矩阵的乘积 证明 充分性 如果可以表示为有限个初等矩阵的乘积 则由定理1 2的结论 P为可逆阵 必要性 由定理1 4可知 可逆方阵P可以经过有限次行的初等变换化成单位阵E 则由定理1 2知 存在初等矩阵F1 F2 Ft 使得Ft F2F1P I 从而有P F1 1F2 1 Ft 1 其中F1 1F2 1 Ft 1都是初等矩阵 证毕
