1、三角函数、解三角形一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1.任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角正角：按_逆时针_方向旋转形成的角负角：按_顺时针_方向旋转形成的角零角：如果一条射线_没有作任何旋转_，我们称它形成了一个零角(2)终边相同角：与 终边相同的角可表示为：| 2k ，kZ，或| k360，kZ(3)象限角：角 的终边落在_第几象限_就称 为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限. 象限角轴线角2弧度制(1)1 度的角： _把圆周分成 360 份，每一份所对的圆心角叫 1的角_.(2)1 弧度的角： _弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫 1
2、弧度的角_.(3)角度与弧度的换算：360_2_rad,1 _ _rad,1rad(_ _)5718.180 180(4)若扇形的半径为 r，圆心角的弧度数为 ，则此扇形的弧长l_| |r_，面积 S_ |r2_ lr_.12 123任意角的三角函数定义(1)设 是一个任意角， 的终边上任意一点(非顶点)P 的坐标是(x ，y)，它与原点的距离为 r，则 sin_ _，cos_ _， tan_ _.yr xr yx(2)三角函数在各象限的符号是：sin cos tan _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦(3)三角函数线可以看作是三角函数的几何
3、表示正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段MP，OM，AT 分别叫做角 的_正弦_线、_余弦 _线和_正切_线4终边相同的角的三角函数sin(k2) _sin_，cos(k2)_cos_，tan(k 2)_tan _(其中 kZ)，即终边相同的角的同一三角函数的值相等重要结论1终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角 终边相同的角时，单位必须一致2确定 (kN *)的终边位置的方法k(1)讨论法：用终边相同角的形式表示出角 的范围写出 的范围k根据 k 的可能取值讨论确定 的终边所在位置k(2)等分象限角的方法：已知角 是第
4、m(m1,2,3,4)象限角，求 是第几象k限角等分：将每个象限分成 k 等份标注：从 x 轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上 1,2,3,4，直至回到 x 轴正半轴选答：出现数字 m 的区域，即为 所在的象限k如 判断象限问题可采用等分象限法2二、同角三角函数的基本关系式与诱导公式 1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：_sin 2xcos 2x1_. (2)商数关系：_ tan x_.sinxcosx2三角函数的诱导公式组数 一 二 三 四 五 六角 2k(kZ) 22正弦 sin _sin_ _sin _ _sin_ _cos_ _cos_余弦 cos _cos _ _cos_
5、 _cos _ _sin_ _sin _正切 tan _tan_ _ tan_ _tan_重要结论1同角三角函数基本关系式的变形应用：如sinxtanxcosx，tan 2x1 ，(sinx cos x)212sinxcosx 等1cos2x2特殊角的三角函数值表角 0 30 45 60 90 120 150 180 270角 的弧度数 0 6 4 3 2 23 56 32sin 0 12 22 32 1 32 12 0 1cos 1 32 22 12 0 1232 10tan 0 33 1 3 33303.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限” “奇”与“偶”指的是诱导公式 k 中的整
6、数 k 是奇数还2是偶数 “变”与“不变”是指函数的名称的变化，若 k 是奇数，则正、余弦互变；若 k 为偶数，则函数名称不变 “符号看象限”指的是在 k 中，将 看成锐角时 k 所在2 2的象限4.sinx cosx、sinxcosx、sinx cosx 之间的关系sinxcosx、sinxcosx、sinxcos x 之间的关系为(sinx cosx) 212sin xcosx，(sinxcosx)212sinxcos x，(sinx cos x)2(sinxcosx) 22.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值 三、两角和与差的三角函数 二倍角公式 1两
7、角和与差的正弦、余弦和正切公式2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2_2sin cos_；(2)cos2_cos 2sin 2_2cos 2_11_2sin 2_；(3)tan2_ _( 且 k ，k Z)2tan1 tan2 k2 4 23半角公式(不要求记忆)(1)sin ；2 1 cos2(2)cos ；2 1 cos2(3)tan .2 1 cos1 cos sin1 cos 1 cossin重要结论 1降幂公式：cos 2 ，sin 2 .1 cos22 1 cos222升幂公式：1cos22cos 2，1cos22sin 2.3公式变形：tantantan( )(1tanta
8、n)tan( )； tan( )1 tan1 tan 4 1 tan1 tan 4cos ，sin2 ，cos2 ，1sin2 (sincosx) 2.sin22sin 2tan1 tan2 1 tan21 tan24辅助角(“二合一”) 公式：asinbcos sin( )，a2 b2其中 cos_ _，sin _ _.aa2 b2 ba2 b25.三角形中的三角函数问题在三角形中，常用的角的变形结论有：AB C；2A2B2 C2 ； .A2 B2 C2 2三角函数的结论有：sin(AB)sinC，cos(A B)cosC，tan( AB)tanC，sin cos ，cos sin .A B
9、2 C2 A B2 C2ABsinAsin BcosA0)的图象(1)列表：X x 0 2 32 2x _ _ _2 _ _ _ _32 _ _2 sinx 0 1 0 1 0y _0_ _A_ _0_ _A _ _0_(2)描点：_( ，0)_，_( ，A)_，( ，0)， ( ，A)_，( ，0) _. 2 32 2 (3)连线：把这 5 个点用光滑曲线顺次连接，就得到 yAsin(x )在区间长度为一个周期内的图象(4)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得 yAsin(x )在 R 上的图象2由函数 ysinx 的图象变换得到 yAsin(x )(A0，0)的图象的步骤3函数 yAsi
10、n( x)(A0，0，x0 ，)的物理意义(1)振幅为 A. (2)周期 T _ _.2(3)频率 f_ _ _. (4)相位是_x _. (5)初相是 .1T 2重要结论1函数 yAsin( x)的单调区间的 “长度 ”为 .T22 “五点法”作图中的五个点：yAsin(x )，两个最值点，三个零点；yA cos(x)，两个零点，三个最值点 3正弦曲线 ysinx 向左平移 个单位即得余2弦曲线 ycos x.六、正弦定理、余弦定理1正弦定理和余弦定理定理 正弦定理 余弦定理内容 _ _2R (其中 R 是asinA bsinB csinCABC 外接圆的半径)a2_b 2c 22bc co
11、sA_b2_a 2c 22ac cosB_c2_a 2b 22abcos C_常见变形a_2RsinA_，b_2RsinB_，c_2Rsin C_；sinA_ _，sinB_ _，sina2R b2RC_ _；c2Ra bc_sinAsin BsinC_asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinAcosA_ _；b2 c2 a22bccosB_ _；a2 c2 b22accosC_ _a2 b2 c22ab解决解斜三角形的问题(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求各角；(2)已知两边一角，求第三边和
12、其他两个角2在ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 ab ab解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解3三角形常用面积公式(1)S aha(ha 表示 a 边上的高)12(2)S absinC acsinB bcsinA.12 12 12(3)S r(ab c)(r 为内切圆半径)12重要结论在ABC 中，常有以下结论1AB C.2在三角形中大边对大角，大角对大边3任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边4sin(AB )sin C；cos( AB )cosC；tan(A B) tanC；sin cos ，cosA B2 C2sin
13、 .A B2 C25tanAtanBtan Ctan AtanBtanC.6A Babsin AsinBcos AcosB.7三角形式的余弦定理 sin2Asin 2Bsin 2C2sinBsin CcosA，sin2Bsin 2Asin 2C2sin AsinCcosB，sin2Csin 2A sin2B2sin AsinBcosC.8若 A 为最大的角，则 A ，) ；若 A 为最小的角，则 A(0 ， ；若 A、B、C 成3 3等差数列，则 B .39.三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角( 如 a2Rsin A，a 2b 2c 22abcosC 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如 sinAsinBAB；sin(AB)0AB；sin2Asin2BAB 或 AB等2(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如 sinA ，cosA 等，通过代数a2R b2 c2 a22bc恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断(3)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能
