1、丰华立德教育1说明本次所整理的三角函数包含：任意的三角函数及诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变形及应用，三角函数单元易错题型，三角函数高考易错题型，三角函数高考典型题目，并有两套备选测试试卷。 （前三部分均附有例题，和课时训练） 。请老师择优处理，另所有题目均无解答，望各位老师见谅。任意角的三角函数及诱导公式一课标要求：1任意角、弧度:了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；2三角函数:借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；二命题走向从近几年的新课程高考考卷来看，试题内容主要考察三角函数的图形与性质，但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式，在处理一
2、些复杂的三角问题时，同角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。三知识要点精讲1任意角的概念我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。2终边相同的角、区间角与象限角角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）x在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角（或轴上角） ，具体读作 的非负、非正半轴x及 的非负、非正半轴及。y终边相同的角是指与某个角 具有同终边的所有角，它们彼此相差 2k(kZ)，即 |
3、=2k+ ，kZ ，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。区间角是介于两个角之间的所有角，如 | = ， 。6563弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角，记作 1 ，或 1 弧度，或 1(单rad位可以省略不写)。角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-，-2 等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。角 的弧度数的绝对值是： ，其中，l 是圆心角所对的弧长， 是半径。rr角度制与弧度制的换算主要抓住 。180ad弧度与角度互换公式：1rad 、1 （rad） 。弧长公式
4、： （ 是圆心角的弧度数） ， rl|扇形面积公式： 。2|21rlS4三角函数定义丰华立德教育2在 的终边上任取一点 ,它与原点的距离 .过 作 轴的垂线,垂()Pab20rabPx足为 ,则线段 的长度为 ,线段 的长度为 .则 ；MOMsinMOr； 。cosaPrtna利用单位圆定义任意角的三角函数，设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 ,那么:()Pxy(1) 叫做 的正弦,记做 ,即 ；ysiniy（2） 叫做 的余弦,记做 ,即 ；xcosx（3） 叫做 的正切,记做 ,即 。tat(0)5三角函数线以坐标原点为圆心，以单位长度 1 为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆。当角
5、为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点 ，过点 作 轴交 轴于(,)PxyPMx点 ，根据三角函数的定义： ； ；M|sin|My|cos|OtanyATx我们把这三条与单位圆有关的有向线段 ,分别叫做角 的正弦线、余PAT、 、 弦线、正切线，统称为三角函数线。6同角三角函数关系式（两个公式，可以自己补充）几个常用关系式： ， ， ；(三式之间可以互cosincosincosin相表示)设 ，两侧平方，得：2,cosint1cosini21 22tt22icosin tt同理可以由 ， 推出其余两式。cosn7诱导公式:可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限” 。（有十六个）四典例解
6、析题型 1：象限角例 1已知角 ；（1）在区间 内找出所有与角 有相同终边的角450,72a的终边P(x,y)O xyO xya角的终边P TM A丰华立德教育3；例 2集合 ， 那么两集合ZkkxMO,451802| ZkkxNO,45180|的关系是什么？例 3若 sincos 0，则 在（ ）A第一、二象限 B第一、三象 C第一、四象限 D第二、四象限例 4已知“ 是第三象限角，则 是第几象限角?（注意方法，分割象限法）3题型 2：三角函数定义例 5已知角 的终边过点 ，求 的三个三角函数值。(,2)0a例 6已知角 的终边上一点 ，且 ，求 的值。3,Pm2sin4tan,cos题型
7、3：诱导公式例 7 的值为 ( )1)cos()cs()(sin2 A1 B C0 D22in例 8化简：（1） ； sin(0)si()ta(36)ta1cos180 （2） 。i()i()ssnZ题型 4：同角三角函数的基本关系式例 9已知 ，试确定使等式成立的角 的集合。1sinsi2tan例 10 （1）证明： ；cos1inisx（2）证明： 。cosiicn丰华立德教育4以下附有限时训练限时训练 任意角的三角函数及诱导公式1、在 中，若 ，则 ABC6,3,60ABC 2、cos43cos77+sin43 cos167的值为 . 3、已知 ，其中 均为非零实数，若)cos()sin
8、()( xbxaf ba、，则 106f 207f4、已知 为锐角， ，则 AnAmAcos1lg,)cslg( Asilg5、若 ，则 xf3o)(cs3inf6. 已知 ，则 1in)(ssNn7. 设 则 的值等于_ .1s (), ta(),522ta8. 在ABC 中，BC=1， ，当ABC 的面积等于 时， _ .3B3Ctan9. 已知 ，且 为第一象限角，求 的0tan)1(t cosi3cos2si值。10. 在ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 ，给出下列结论：ba、若 ABC，则 ；若 ；sinisin CBAccosos,则必存在 A、B、C，使 成立；BAt
9、anttatat 若 ，则ABC 必有两解.25,0,4ba其中，真命题的编号为 .（写出所有真命题的编号）11. 若函数 对任意的 存在常数 ,使得 恒成立,2()|sin1|fxxRc()(fxcf则 的最小正值是 . c丰华立德教育5三角函数的图象与性质一课标要求：1能画出 y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图像，了解三角函数的周期性；2借助图像理解正弦函数、余弦函数在0， 2，正切函数在（/2， /2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与 x 轴交点等） ；3结合具体实例，了解 的实际意义。)sin(xy二命题走向近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对
10、三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。三要点精讲1正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2三种三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称轴、对称中心、最值点3函数 BxAy)sin(），（ 其 中 0A最大值是 ，
11、最小值是 ，周期是 ，频率是 ，相位是2T2f，初相是 ；其图象的对称轴是直线 ，凡是该图象与直x )(Zkx线 的交点都是该图象的对称中心。By4由 ysinx 的图象变换出 yAsin(x )的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不丰华立德教育6是“角变化”多少。途径一：先平移变换（相位变换） ，再周期变换(横向伸缩变换) ，最后振幅变换（纵向伸缩变换） ；途径
12、二：先周期变换(横向伸缩变换 )，再平移变换（相位变换） ，最后振幅变换（纵向伸缩变换） 。5由 yAsin(x )的图象求其函数式：给 出 图 象 确 定 解 析 式 y=Asin（ x+ ） 的 题 型 ， 通 常 先 通 最 值 确 定 ， 再 有 周 期 确 定 ，A最 后 代 入 某 个 中 心 点 坐 标 来 完 成 确 定 。6 由 变换出 、 、 的图像，并注意变换后xsisixysin)si(xy周期的变化。7求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“ 、 ”的形式，再利用周期sin()yAxcos()yAx公式，另外还有图像法和定义法。8五点法作 y=Asin（x+ ）
13、的简图：五点取法是设 x=x+ ，由 x 取 0、 、 、2 来求相应的 x 值及对应的 y 值，23再描点作图。四典例解析题型 1：三角函数的图象例 1函数 yxcosx 的部分图象是（ ）例 2函数 y=x+sin|x|，x ，的大致图象是（ ）题型 2：三角函数图象的变换丰华立德教育7例 3试述如何由 y= sin（ 2x+ ）的图象得到 y=sinx 的图象。31例 4把曲线 ycosx+2y1=0 先沿 x 轴向右平移 个单位，再沿 y 轴向下平移 1 个单2位，得到的曲线方程是（ ）A （1y）sinx+2y3=0 B （y1）sinx+2y3=0C （y+1）sinx+2y+1=
14、0 D(y+1)sinx+2y+1=0题型 3：三角函数图象的应用例 5已知电流 I 与时间 t 的关系式为 。sin()IAt（）右图是 （0， ）在一个周期内的图sin()A|2象，根据图中数据求 的解析式；It（）如果 t 在任意一段 秒的时间内，电流 都能150sin()IAt取得最大值和最小值，那么 的最小正整数值是多少？例 6 （1）已知函数 f（x）=Asin（x+ ） （A0，0，xR）在一个周期内的图象如图所示，求直线 y= 与函数 f（x）图象的所有交点的坐3标。（2）在（0，2）内，使 sinxcosx 成立的 x 取值范围为（ ）A （ ， ）（ ， ） B （ ， ）
15、4454C （ ， ） D （ ， ） （ ， ）4523例 7 （1）已知 f（x）的定义域为 0，1 ，求 f（cosx）的定义域；（2）求函数 y=lgsin（cosx）的定义域；例 8已知 f（x）= ，求 f（x）的定义域，判断它的奇偶性，x2cos564并求其值域。题型 5：三角函数的单调性例 9求下列函数的单调区间：30-301180-190oIt图丰华立德教育8（1）y= sin（ ） ；（ 2）y=sin （x+ ）。243x4例 10函数 y=2sinx 的单调增区间是（ ）A 2k ，2k （kZ） B 2k ，2k （kZ）223C 2k ，2k （kZ） D 2k ，
16、2k （k Z）题型 6：三角函数的奇偶性例 11判断下面函数的奇偶性：f（x）=lg （sinx+ ） 。x2sin1例 12关于 x 的函数 f（x） =sin（x+ ）有以下命题：对任意的 ，f（x）都是非奇非偶函数；不存在 ，使 f（x）既是奇函数，又是偶函数；存在 ，使 f（x ）是奇函数；对任意的 ，f （x）都不是偶函数。其中一个假命题的序号是_.因为当 =_时，该命题的结论不成立。题型 7：三角函数的周期性例 13求函数 y=sin6x+cos6x 的最小正周期，并求 x 为何值时，y 有最大值。例 14设 的周期 ，最大值 ，)0(cossin)(baxf T4)12(f（1
17、）求 、 、 的值；（2）。的 值终 边 不 共 线 ， 求、 、的 两 根 ，为 方 程、 、若 )tan(0)( xf例 15设 M 和 m 分别表示函数 y= cosx1 的最大值和最小值，则 M+m 等于（ 3）A B C D2323234例 16函数 y 的最大值是（ ）xcosin1A 1 B 1 C1 D12222丰华立德教育9xy- 221086420-2限时训练 三角函数的图象与性质1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 函数 y=xcosx 的部分图象是( ) Aoy xBoy xCoy xDoy x2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 函数
18、f(x)=cos2x+sin( +x)是( )2A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j非奇非偶函数 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j仅有最小值的奇函数 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j仅有最大值的偶函数 D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j既有最大值又有最小值的偶函数3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 函数 f(x)=( )cosx 在 ， 上的单调减区间为 _ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 34 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设 0，若函数 f(x)=2sinx 在
19、 ， 上单调递增，则 的取值范围是4,3_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 函数 的图像，向右平移 个单位，得到的图像恰好关于2sin)0(对称，则 的最小值为_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 6. 已知函数 。,)s(ics)(xf R（1）求函数 的最小正周期；（2）求函数 在区间 上的最小值和最大(xf43,8值。7. 已知一条正弦函数 的图像如图所示。)(sinxAy)0,（1）求此函数的解析式 ；（2）求与 的图像)(1f1f关于 对称的函数的解析式 ；8xx（3）作出函数 的图像的简图。)(
20、21fxfy丰华立德教育108 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设 x ，求函数 y=log2(1+sinx)+log2(1sinx )的最大值和最小值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 49 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 是否存在实数 a，使得函数 y=sin2x+acosx+ a 在闭区间0， 上的最853大值是 1？若存在，求出对应的 a 值；若不存在，试说明理由 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 三角恒等变形及应用一课标要求：1经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2能从两角差的余
21、弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆） 。二命题走向从近几年的高考考察的方向来看，这部分的高考题以选择、解答题出现的机会较多，有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质。本讲内容是高考复习的重点之一，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变换的基本问题。历年高考中，在考察三角公式的掌握和运用的同时，还注重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及
22、观察能力、运算推理能力和综合分析能力。三要点精讲1两角和与差的三角函数； sincosin)si(；icoco。tattan()1n2二倍角公式丰华立德教育11； cosin2si；222 sin1co 。2tata1n3三角函数式的化简常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角； 三角公式的逆用等。 （2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幂公式； ； 。2sin1cosin2cos1i22cos12（2）辅助角公式，2sicssiaxbabx 22sincosbaab其
23、中 ，。4三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角” ，如 等，把所求角用含已知角2(),()()的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。5三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同” ；（2）三
24、角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。四典例解析题型 1：两角和与差的三角函数丰华立德教育12例 1已知 ，求 cos 。0cos1sin， ） 的 值（ 例 2已知 求2ta56x， 是 方 程 的 两 个 实 根 根 ，。2sin3sicscs的 值题型 2：二倍角公式例 3化简下列各式：（1） ， （2） 。32cos12， 4costin2例 4若 。的 值求， xxxtan1ssi,47125cs 2题型 3：辅助角公式例 5已知正实数 满足 。ba, 的 值， 求 abb158tnsi5coin例 6若函数 最小正周期为
25、 ，则 .s()(06yx已知函数 （1）当函数 y 取得最大值时，求自变量 xRx,csin3的集合；（2）该函数的图象可由 ysinx（xR）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?题型 4：三角函数式化简例 7求 sin220cos 250sin20cos50的值。例 8已知函数 . 1sin()4()coxfx（）求 的定义域； （）设 的第四象限的角，且 ，求 的tan43()f值。题型 5：三角函数求值例 9求函数 2 的值域和最小正周期。y)4cos()s(xx2sin3题型 6：三角函数综合问题丰华立德教育13例 10已知向量 (sin,1)(,cos),.2ab（I）若 求,b;
26、（II）求 的最大值。例 11设 00，函数 f(x)=2sinx 在 上为增函数，那么 的取值范围是_4,318、已知奇函数 单调减函数，又 ， 为锐角三角形内角，则（ 上 为，在 01f丰华立德教育17）A、f(cos ) f(cos) B、f(sin) f(sin)C、f(sin)f(cos) D、f(sin ) f(cos)19、函数 的值域是 sin(cosyxx(0,220、若 ， 是第二象限角，则 =_135tan21、求函数 的相位和初相。yxsic44322、已 知 函 数 f(x)= sin2x+sinx+a， （ 1） 当 f(x)=0 有 实 数 解 时 ， 求 a 的
27、 取 值 范 围 ；（ 2） 若 xR，有 1f(x) ，求 a 的取值范围。4723、 已知定义在区间-， 上的函数 y=f(x)的图象关于直线 x= - 对称，当 x-32 6， 时，函数 f(x)=Asin(x+)(A0, 0,- )，其图象如图所示。6 2(1)求函数 y=f(x)在-， 的表达式；32(2)求方程 f(x)= 的解。224、将函数 的图像向右移 个单位后，再作关于 轴的对称变换得到的函xfysin)(4x数 的图像，则 可以是（ ） 。2i1)(fA、 B、 C、 D、coscosxsin2sin2丰华立德教育18高考典型例题解析一、填空题：1.（上海卷）函数 f(x
28、) sin x +sin( +x)的最大值是 322.（山东卷）已知 a，b，c 为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，向量 m（ ） ，1,3n（cosA,sinA）.若 mn，且 acosB+bcosA=csinC，则角 B 3.（江苏卷） 的最小正周期为 ，其中 ，则 = os6fx504.（广东卷）已知函数 ， ，则 的最小正周期是 ()incos)ifxxR()fx5.（辽宁卷）已知 ，且 在区间si(0363fxff， f有最小值，无最大值，则 _63， 二、解答题： 3.（北京卷） 已知函数 （ ）的最小正周期为 2 ()sin3sin2fxx0（）求 的值；（）求函数 在区
29、间 上的取值范围()fx03，4.（四川卷） 求函数 的最大值与最小值。2474sinco4scoyxx5.（天津卷）已知函数 （ ）的最小值正2(i1)f,0xR周期是 2（）求 的值；（）求函数 的最大值，并且求使 取得最大值的 的集合()fx()fxx丰华立德教育196.（安徽卷） 已知函数 ()cos2)sin()si()34fxx（）求函数 的最小正周期和图象的对称轴方程()f（）求函数 在区间 上的值域x,127.（山东卷）已知函数 f(x) 为偶函数，)0,0)(cos)sin(3 xx且函数 yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 .2（）求 f（ ）的值；8（）将函数 yf(x)的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长6到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 yg(x)的图象，求 g(x)的单调递减区间.
