1、1相似的综合应用适用学科初中数学 适用年级 初中三年级适用区域通用 课时时长（分钟） 60知识点相似三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的应用；相似三角形的综合；学习目标掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方掌握两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件掌握相似三角形与其它图形的综合问题；学习重点利用图形的相似解决一些综合问题学习难点利用图形的相似解决一些综合问题2学习过程一、 复习预习本章知识网络图3二、知识讲解考点 1 相似三角形的判定方法（1）定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边( 或
2、两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似（3）判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似（4）判定定理 2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（5）判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似4考点 2 常见的相似模型1.如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X 型”图）2.如图：其中1=2，则ADEABC称为“
3、斜交型” 的相似三角形。（有“反A共角型”、“ 反A共角共边型”、 “蝶型” ）3.如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型” 、“双垂直共角共边型（也称“射 影 定 理 型 ”）”“ 三垂直型”）4.如图：1=2，B=D，则ADEABC，称为“旋转型” 的相似三角形。5.一线三角模型5考点 3 常用方法归纳 （1）总体思路:“等积”变“比例” ， “比例”找“相似”（2）找相似： 通过“横找”“竖看”寻找三角形（3）找中间比： 若没有三角形 (即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”( 或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等
4、线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。 )(,为 中 间 比nmdcba , ),(, nmndcba或6（4） 添加辅助线： 若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线( 通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。（5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着 k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为 k。（6）对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形） “分
5、离”出来的办法处理。7三、例题精析考点一 相 似 三 角 形 与 简 单 几 何 图 形 结 合 问 题例 1、如图是小红设计的钻石形商标， ABC 是边长为 2 的等边三角形，四边形 ACDE 是等腰梯形，ACED， EAC=60， AE=1（1）证明： ABECBD；（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形） ；（3）小红发现 AM=MN=NC，请证明此结论；（4）求线段 BD 的长【规范解答】：（1）证明： ABC 是等边三角形，AB=BC， BAC=BCA=60 （1 分）四边形 ACDE 是等腰梯形， EAC=60，AE=
6、CD， ACD=CAE=60，BAC+CAE=120=BCA+ACD，即 BAE=BCD （2 分）在 ABE 和 BCD 中， AB=BC， BAE=BCD， AE=CD，ABECBD （3 分）（2）存在答案不唯一如 ABNCDN证明： BAN=60=DCN， ANB=DNC，ANBCND （5 分）其相似比为： = =2；（6 分）ABCD218（3）由（ 2）得 = =2，ANCBDCN= AN= AC， （8 分）13同理 AM= AC，AM=MN=NC （9 分）（4）作 DF BC 交 BC 的延长线于 F，BCD=120，DCF=60 （1 O 分）在 RtCDF 中， CDF
7、=30，CF= CD= ，2DF= = = ； （11 分）2CDF21()3在 RtBDF 中， BF=BC+CF=2+ = ， DF= ，532BD= = = （12 分）2BFD2253()7【分析】：（1）由 ABC 是等边三角形，得 AB=BC， BAC=BCA=60，由四边形 ACDE 是等腰梯形，得 AE=CD， ACD=CAE=60，利用“S AS”判定 ABECBD；（2）存在可利用 ABCD 或 AEBC 得出相似三角形；（3）由（ 2）的结论得 = =2，即 CN= AC，同理，得 AM= AC，可证 AM=MN=NC；ANCBD1313（4）作 DF BC 交 BC 的
8、延长线于 F，在 RtCDF 中，由 CDF=30， CD=AE=1，可求 CF， DF，在 RtBDF 中，由勾股定理求 BD9例 2 、已知：如图所示的一张矩形纸片 ABCD（ ADAB） ，将纸片折叠一次，使点 A 与点 C 重合，再展开，折痕 EF 交 AD 边于点 E，交 BC 边于点 F，分别连结 AF 和 CE。（1）求证：四边形 AFCE 是菱形；（2）若 AE=10cm， ABF 的面积为 24cm2，求 ABF 的周长；（3）在线段 AC 上是否存在一点 P，使得 2AE2=ACAP？若存在，请说明点 P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.AB CDEFO10【规范
9、解答】：（1）证明：由题意可知 OA=OC， EF AO，ADBC， AEO=CFO， EAO=FCO， AOECOF， AE=CF，又 AECF，四边形 AECF 是平行四边形，AC EF，四边形 AECF 是菱形；（2）四边形 AECF 是菱形， AF=AE=10cm，设 AB=a， BF=b， ABF 的面积为 24cm2，a2+b2=100， ab=48，（ a+b） 2=196， a+b=14 或 a+b=14（不合题意，舍去） ，ABF 的周长为 14+10=24cm；11（3）存在，过点 E 作 AD 的垂线，交 AC 于点 P，点 P 就是符合条件的点；证明： AEP=AOE=
10、90， EAO=EAP，AOEAEP， = ， AE2=AOAP，APOE四边形 AECF 是菱形， AO= AC， AE2= ACAP，2 AE2=ACAP11【分析】：（1）通过证明 AOECOF，可得四边形 AFCE 是平行四边形；由折叠的性质，可得AE=EC，即可证明；（2）由 勾股定理 得 AB2+FB2=100， ABF 的面积为 24cm2可得，ABBF=48；变换成完全平方式，即可解答；（3）过点 E 作 AD 的垂线，交 AC 于点 P，通过证明AOEAEP，即可证明；12考点二 相似三角形与圆有关的综合问题例 3、已知：如图，P 是O 外一点，过点 P 引圆的切线 PC（C
11、 为切点）和割线 PAB，分别交O于 A、B，连接 AC，BC（1）求证：PCA=PBC；（2）利用（1 ）的结论，已知 PA=3，PB=5，求 PC 的长13【规范解答】：（1） 证明：连结 OC，OA，OC=OA， ACO=CAO，PC 是O 的切线， C 为切点，PCOC，PCO=90，PCA+ACO=90，在AOC 中， ACO+CAO+AOC=180，AOC=2PBC，2ACO+2PBC=180，ACO+PBC=90，PCA+ACO=90，PCA=PBC；14（2） 解：PCA=PBC，CPA=BPC，PACPCB， = ，PC2=PAPB，PA=3，PB=5，PC= = 【分析】：
12、（1）连结 OC，OA ，先根据等腰三角形的性质得出 ACO=CAO，再由 PC 是O 的切线，C 为切点得出PCO=90，PCA+ACO=90，在AOC 中根据三角形内角和定理可知ACO+CAO+AOC=180，由圆周角定理可知AOC=2PBC ，故可得出ACO+PBC=90 ，再根据PCA+ACO=90即可得出结论；（2）先根据相似三角形的判定定理得出PACPCB，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论15例 4、如图所示， A， B， D， E 四点在 O 上， AE， BD 的延长线相交于点C， AE8， OC12， EDC BAO(1)求证 CAB(2)计算 CDCB 的值，并指出 CB 的取值范围16【规范解答】:证明：(1) EDC BAO， C C，CDECAB， .DEAB解： (2)AE8， OC12，AC12+416 ， CE=1248又 ，CDEABCDCB ACCE168128 连接 OB，在 OBC 中， OB AE4， OC=12，128 BC16 【分析】: 利用 CDECAB，可证明 CDEAB
