1、,第11章 达朗贝尔原理及其应用,引入惯性力的概念，应用达朗贝尔原理，将静力学中求解平衡问题的方法用于分析和解决动力学问题。这种方法称为“动静法”。“动”代表研究对象是动力学问题；“静”代表研究问题所用的方法是静力学方法。,达朗贝尔原理虽然与动力学普遍定理具有不同的思路，但却获得了与动量定理、动量矩定理形式上等价的动力学方程，并在某些应用领域也是等价的。,达朗贝尔原理提供了有别于动力学普遍定理的新方法，尤其适用于受约束质点系统求解动约束力和动应力等问题。因此在工程技术中有着广泛应用，并且为“分析力学”奠定了理论基础。,爆破时烟囱怎样倒塌,第11章 达朗贝尔原理及其应用,第11章 达朗贝尔原理及
2、其应用,第11章 达朗贝尔原理及其应用, 惯性力与达朗贝尔原理, 结论与讨论, 惯性力系的简化, 达朗贝尔原理的应用示例, 参考性例题,第11章 达朗贝尔原理及其应用,在惯性参考系Oxyz中，设一非自由质点的质量为m，加速度为a，在主动力、约束力作用下运动。由牛顿第二定律，有,若将上式左端的ma移至右端，则有, 质点的惯性力与达朗贝尔原理,可以假想FI是一个力，它的大小等于质点的质量与加速度的乘积，方向与质点加速度的方向相反。因其与质点的质量有关，故称为达朗贝尔惯性力，简称惯性力。,上述方程形式上是一静力平衡方程。可见，由于引入了达朗贝尔惯性力，质点动力学问题转化为形式上的静力平衡问题。,假想
3、在运动的质点上加上惯性力，则可认为作用在质点上的主动力、约束力以及惯性力，在形式上组成平衡力系。此即达朗贝尔原理，亦即动静法。,动静法平衡方程的矢量形式,动静法平衡方程的投影形式, 惯性力与达朗贝尔原理, 质点的惯性力与达朗贝尔原理,应用上述方程时，除了要分析主动力、约束力外，还必须分析惯性力，并假想地加在质点上。其余过程与静力学完全相同。,动静法方程的矢量形式,动静法方程的投影形式,需要注意的是，惯性力只是为了应用静力学方法求解动力学问题而假设的虚拟力，所谓的平衡方程，仍然反映了真实力与运动之间的关系。, 质点的惯性力与达朗贝尔原理, 惯性力与达朗贝尔原理,离心调速器,已知：,m1球A、B
4、的质量；m2重锤C 的质量；l杆件的长度； O1 y1轴的旋转角速度。,求：, 的关系。,解：,1. 分析受力：以球 B(或A)和重锤C 为研究对象，分析所受的主动力和 约束力,2. 分析运动：,球绕 O1y1轴作等速圆周 运动，惯性力方向与法向 加速度方向相反，其值为,FIm1l 2sin,重锤静止，无惯性力。,3. 应用动静法：,m1球A、B 的质量；m2重锤C 的质量； l杆件的长度； O1 y1轴的旋转角速度。,对于重锤 C,对于球 B:,解：,将质点的达朗贝尔原理推广至质点系。考察由n个质点组成的非自由质点系，对每个质点都施加惯性力，则n个质点上所受的全部主动力、约束力和假想的惯性力
5、均形成空间一般力系。,对于每个质点，达朗贝尔原理均成立，即认为作用在质点上的主动力、约束力和惯性力组成形式上的平衡力系，则由n个质点组成的质点系上的主动力、约束力和惯性力，也组成形式上的平衡力系。, 质点系的达朗贝尔原理, 惯性力与达朗贝尔原理, 质点系的达朗贝尔原理,为方便起见，将真实力分为内力和外力（各自包含主动力和约束力）。主矢、主矩同时等于零可以表示为,注意到质点系中各质点间的内力总是成对出现，且等值、反向，故上式中,上述方程变为:, 质点系的达朗贝尔原理,这两个矢量式可以写出六个投影方程。,根据达朗贝尔原理，只要在质点系上施加惯性力，就可以应用上述方程求解动力学问题，这就是质点系的动
6、静法。, 惯性力与达朗贝尔原理, 惯性力系的简化,第11章 达朗贝尔原理及其应用, 惯性力系的主矢与主矩, 刚体平移时惯性力系的简化结果, 刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果, 刚体作平面运动时惯性力系的简化结果, 惯性力系的主矢与主矩,所有惯性力组成的力的系统，称为惯性力系。,与一般力系相似，惯性力系中所有惯性力的矢量和称为惯性力系的主矢：,惯性力系中所有力向同一点简化，所得力偶的力偶矩矢量的矢量和，称为惯性力系的主矩：,惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关；惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。, 惯性力系的简化, 刚体平移时惯性力系的简化结果,刚体平移时，由于同一瞬时刚体内各质点的加速度都相
7、同，惯性力系为平行力系，所以，惯性力系简化结果为通过质心C的合力，用FIR表示：,其中m为刚体的质量; aC为刚体的质心加速度。, 刚体平移时惯性力系的简化结果,这里仅讨论刚体有质量对称面且转轴与质量对称面垂直的情形。这种情形下，可以先将惯性力系简化在质量对称面内，然后再进一步简化。, 刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果, 刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果,设刚体的质量为m ；刚体对轴O的转动惯量为J O ；角速度与角加速度分别为与。对称平面上第i个质点的质量为mi；至轴O的距离为ri ；切向加速度和法向加速度分别为ati和ani ，相应的惯性力分别为F tIi和F nIi 。所有质点的惯性
8、力组成平面力系。,再将平面惯性力系向点O简化，得一力和一力偶。因为所有质点的法向惯性力都通过O点，所以所有质点法向惯性力对O点之矩的和等于零：,于是，刚体作定轴转动时惯性力系向点O简化，得到, 刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果,上述结果表明，有质量对称面的刚体作定轴转动，且转轴垂直于对称平面时，其惯性力系向轴心简化的结果为对称面内的一力和一力偶。,力（通过轴O）大小等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度相反。,力偶的力偶矩等于惯性力系对转轴的主矩，其大小为刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度的方向相反。, 刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果, 刚体作定轴转动时惯性力
9、系的简化结果,讨论： 1）转轴通过刚体的质心 ，角加速度 不等于零，,惯性力系的简化成一个力偶：,2）刚体作匀角速度运动，角加速度 等于零，转轴不通过刚体的质心，,惯性力系的简化成一个力：,惯性力大小：,在工程构件中，作平面运动的刚体往往都有质量对称面，而且刚体在平行于这一平面的平面内运动。因此，仍先将惯性力系简化为对称面内的平面力系，然后再作进一步简化。,设刚体的质量为m，对质心轴的转动惯量为JC，角速度和角加速度分别为和a 。, 刚体作平面运动时惯性力系的简化结果,运动学分析的结果表明，平面图形的运动可以分解为随质心的平移和绕质心的转动。,因此，简化到对称平面内的惯性力系由两部分组成：刚体
10、随质心平移的惯性力系简化为一通过质心的力；绕质心转动的惯性力系简化为一力偶。该力和力偶分别为, 惯性力系的简化, 刚体作平面运动时惯性力系的简化结果, 惯性力系的简化, 刚体作平面运动时惯性力系的简化结果,上述简化结果表明，有质量对称面的刚体作平面运动，且运动平面平行于对称平面时，其惯性力系向质心C简化的结果为对称面内的一力和一力偶。,这一力(通过质心的力) 大小为刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度相反；这一力偶的力偶矩等于惯性力系对质心C的主矩，其大小为刚体对轴C的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度的方向相反。, 达朗贝尔原理应用示例,第11章 达朗贝尔原理及其应用,将达朗贝
11、尔原理即动静法应用于分析和求解刚体动力学问题，一般应按以下步骤进行：, 画受力图分别画出真实力和惯性力；, 建立平衡方程，得到所需要的解答。, 进行受力分析先分析主动力，再根据刚体的运动，对惯性力系加以简化；,例 题 1,电动机外壳和定子的总质量为m1，质心O与转子的中心重合；转子的质量为m2 ，由于制造或安装误差，转子的质心O1到定子的质心O的距离为e，已知转子以等角速 转动。,求：电动机机座的约束力偶。, 达朗贝尔原理应用示例,解：现在，采用动静法可以确定约束力偶。,电机所受真实力有, 达朗贝尔原理应用示例,惯性力,m1g、 m2g 、 Fx 、Fy、M；,FI,惯性力的大小为,方向与质心
12、加速度相反。因转子匀速转动，只有法向加速度，故惯性力方向沿O1O2向外。,应用动静法，由平衡方程,电机所受真实力有m1g、 m2g 、 Fx 、Fy、M；惯性力如图所示。, 达朗贝尔原理应用示例,例 题 2,长为l、重为W 的均质杆AB，其A端闰接在铅垂轴z上，并以匀角速绕此轴转动。,求: 当杆AB与轴间的夹角60时， 的数值及铰链A处的约束力。,解：作定轴转动的杆AB对z轴没有质量对称面。但注意到在转动的过程中，杆AB上的点均在垂直于轴的平面内作圆周运动，且由于匀速转动，各点仅有法向加速度。,同时由于 角为常数，所以杆AB上的惯性力沿z方向线性分布(三角形分布)，并位于杆和轴的轴线所组成的平
13、面内。,长为l、重为W 的均质杆AB，其A端铰接在铅垂轴z上，并以匀角速绕此轴转动。求: 当杆AB与轴间的夹角60时， 的数值及铰链A处的约束力。,惯性力合力的大小为,根据三角形分布惯性力的特点，惯性力合力作用线应通过三角形的重心，即,应用动静法，重力、A处的约束力和惯性力组成平衡力系, 有,解得,长为l、重为W 的均质杆AB，求: 当杆AB与轴间的夹角60时， 的数值及铰链A处的约束力。,车载杆件AB在B 处为铰链约束，A处为光滑面约束，若已知汽车以等加速度 a 在平坦的路面上行驶，杆件的重量为W、长度为 l ,杆件与车厢水平面的夹角为。,求：A、B二处的约束力。, 参考性例题,2. 受力分
14、析:,杆件AB跟随汽车作平移，因此杆件上各点都具有与汽车行驶加速度a相同的加速度。,应用达朗贝尔原理，在杆件AB各点上施加惯性力ma；,解：1. 运动分析与加速度分析,杆件重力W；,约束力FNA，FBx, FBy 。,解：3. 应用动静法,车载杆件AB在B处为铰链约束，A处为光滑面约束，汽车以等加速度a在平坦的路面上行驶，杆件的重量为W、长度为l , 杆件与车厢水平面的夹角为。,解：3. 应用动静法,车载杆件AB在B处为铰链约束，A处为光滑面约束，汽车以等加速度a在平坦的路面上行驶，杆件的重量为W、长度为l , 杆件与车厢水平面的夹角为。,解：3. 应用动静法,车载杆件AB在B处为铰链约束，A
15、处为光滑面约束，汽车以等加速度a在平坦的路面上行驶，杆件的重量为W、长度为l , 杆件与车厢水平面的夹角为。,均质圆盘质量mA，半径r，AB长2r,质量为m,在A处加力F使圆轮沿水平面作纯滚。,问施加多大的力F才使杆的B端刚离开地面，此时轮与地面的静摩擦系数是多大？,解：画出杆B端刚离开地面受力图（右），惯性力：,整个系统受力图，惯性力：,圆盘质量mA，半径r，AB长2r,质量为m。,对整个和圆轮列平衡方程：,摩擦系数：,圆盘质量mA，半径r，AB长2r,质量为m。,水平方向力F，对整个系统列平衡方程：,水平方向力：, 达朗贝尔原理应用示例,例 题 4,均质圆柱体重为W，半径为R，沿倾斜平板从
16、静止状态开始，自固定O处向下作纯滚动。平板相对水平线的倾角为 ，忽略板的重量。,试求： 固定端O处的约束力。,解：1. 首先确定圆柱体的质心加速度和角加速度。,以圆柱体为研究对象，画出包括真实力和惯性力系的受力图。对A点取矩，有,由于圆柱体纯滚动，因而有,解： 2. 确定固定端的约束力以整体为研究对象，画出受力图。动静法的平衡方程为, 刚体惯性力系的主矢与刚体运动形式无关,1. 平移,2. 定轴转动,3. 平面运动, 刚体惯性力系的简化结果, 惯性力系的主矩 惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。,1. 平移,2. 定轴转动,3. 平面运动, 结论与讨论, 刚体惯性力系的简化结果, 关于绕定轴转
17、动刚体的轴承动约束力,工程中，由于转子绕定轴高速旋转，常使轴承受巨大的附加的动约束力(dynamics constraint force)，又称动反力。尤其由于制造和安装误差等非设计原因，使得旋转零件或部件的质心与旋转轴不重合(偏心)，或者旋转零件或部件所在的平面与旋转轴不垂直(偏角)。偏心和偏角引起的惯性力都会在旋转轴的轴承处引起动约束力，从而导致零件或部件的损坏和剧烈振动。,通常作用在旋转轴上的约束力由两部分组成：一部分是由主动力引起的约束力称为静反力；另一部分是由惯性力引起的约束力称为附加动反力。静反力是无法避免的，而附加的动反力却是可以避免的。,FIFI,FI1FI2, 结论与讨论,
18、关于绕定轴转动刚体的轴承动约束力, 结论与讨论, 关于绕定轴转动刚体的轴承动约束力,若刚体的转轴通过质心，且刚体除重力外，没有其它主动力作用，则刚体可在任意位置静止不动，这种现象称为静平衡；当刚体的转轴是中心惯性主轴时，刚体转动时不出现动反力，这种现象称为动平衡。,动平衡的刚体一定是静平衡，静平衡的刚体不一定动平衡。,工程中为消除高速旋转刚体的附加动反力，必须先使其静平衡，即把质心调整到转轴上，然后再通过增加或减少某些部位的质量使其动平衡，动平衡一般在动平衡机上进行。, 结论与讨论, 关于绕定轴转动刚体的轴承动约束力,研究表明，当旋转轴为刚体（或质点系）的质量对称轴时，轴承的动反力为零。, 关
19、于动静法与动量矩定理,达朗贝尔原理虽与普遍定理的思路不同，但却获得了与动量定理、动量矩定理形式上等价的动力学方程。请大家结合对例题4的分析过程与分析方法的再思考，研究：, 例题4中，确定圆柱体的质心加速度时，以圆柱体为研究对象，建立了真实力、惯性力对C点的力矩平衡方程，加上运动学分析结果，非常简洁地求出质心加速度和角加速度；这与应用相对瞬心的动量矩定理得到的方程结果完全一致。, 应用动静法时，可列出对任意点的力矩平衡方程；用动量矩定理时，对圆柱体而言只能列出对质心C或对瞬心的动量矩方程。这是为什麽？, 根据动静法和动量矩定理各自的特点，加以认真总结，便于今后使用时能采用最佳的方法。, 动力学普
20、遍定理与动静法的综合应用,应用动静法解题的关键是惯性力系的简化，而正确简化惯性力的前提是准确的运动分析。因此将动力学普遍定理与动静法综合应用，往往会达到事半功倍的效果。,请分析研究直线行驶的卡车,分别用动量定理、动量矩定理和动能定理求运动，再用动静法求约束反力。, 结论与讨论, 动力学普遍定理与动静法的综合应用,应用动静法解题的关键是惯性力系的简化，而正确简化惯性力的前提是准确的运动分析。因此将动力学普遍定理与动静法综合应用，往往会达到事半功倍的效果。,请分析研究安装在悬臂梁端的电动机提升设备,分别用动量定理、动量矩定理和动能定理求运动，再用动静法求约束反力。, 结论与讨论, 动力学普遍定理与
21、动静法的综合应用,应用动静法解题的关键是惯性力系的简化，而正确简化惯性力的前提是准确的运动分析。因此将动力学普遍定理与动静法综合应用，往往会达到事半功倍的效果。,请分析研究纯滚动的圆柱体与重物等组成的刚体系统,分别用动量定理、动量矩定理和动能定理求运动，再用动静法求约束反力。,yAsin t,求：颗粒脱离台面的 最小振动频率, 参考性例题,振动筛,解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定颗粒脱离台面的位置和条件。, 参考性例题 2, 参考性例题,yAsin t,解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定颗粒脱离台面的位置和条件。,FI -ma = mA 2sin t,应用动静法,颗粒脱离
22、台面的条件 FN0，sin t1时， 最小。, 参考性例题,解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定颗粒脱离台面的位置和条件。,应用动静法,颗粒在平衡位置以下时不会脱离台面。,FI - ma = mA 2sin t,半径为R、重量为W1的 大圆轮，由绳索牵引，在 重量为W2的重物A的作用 下，在水平地面上作纯滚 动，系统中的小圆轮重量 忽略不计。,求：大圆轮与地面之间 的滑动摩擦力, 参考性例题 4, 参考性例题,解：1. 受力分析,考察整个系统，有4个未知约束力。,如果直接采用动静法，需将系统拆开。因为系统为一个自由度，所以考虑先应用动能定理，求出加速度，再对大圆轮应用动静法。, 参考性例题,化简：,两边对等式求导：, 参考性例题 4,对大轮用动静法：,谢 谢 大 家,返回,
