1、1.2 某船向东航行，速率为每小时15千米，在正午经过某一灯塔，另一船以同样速度向北航行，在下午1时30分经过此灯塔，问在什么时候两船的距离最近？最近的距离是多少？,解：以正午为计时零点，设东向船为A，北向船为B，以灯塔为坐标原点，建立坐标系o-xy，如图所示。在t时刻，两船位置分别为：,则:,（即午后45分钟）,将值代入表达式得：,（千米）,答：在正午后45分钟两船相距最近，其最近距离为15.9千米。,1.3 曲柄 ，以匀角速 绕定点O转动，此曲柄借连杆AB使滑块B沿直线ox运动，求连杆上C点的轨迹方程及速度。设。,解：如图所示建立坐标系oxy，C点的坐标为：,在三角形AOB中,由（1）（2
2、）两式消去 得：,即：,由（2）（3）两式消去 得：,由（4）（5）两式消去 得：,上式化简得轨道方程为：,对（1）（2）两式取微商得：,对（3）式取微商得：,将（8）代入（6）（7）得：,C点的速度为,1.4 细杆OL绕O点以匀角速 转动，并推动小环C在固定的钢丝AB上滑动，如图所示，d为一已知常数，试求小环的速度及加速度的量值。,解：如图建立直角坐标系Oxy，小环在任意时刻的位矢为：,式中用到：,小环的速度的量值为：,小环的加速度的量值为：,1.9 质点作平面运动，其速率保持为常数，试证明其速度矢量v与加速度矢量a 正交。,证：,上式对时间取微商：,即：,方法1：,方法2：,1.10 一质
3、点沿着抛物线 运动，其切向加速度的量值为法向加速度的 倍，如此质点从正焦弦（ ）的一端以速度 u出发，试求其达到正焦弦另一端时的速率。,解：,（由 得）,终点：,根据题意：,故：,所以：,积分：,1.11 质点沿着半径为r的圆周运动，其加速度矢量与速度矢量间的夹角 保持不变。求质点的速度随时间而变化的规律。已知初速度为 。,解：按题意画图，如图所示。,沿切向与 同向， 与 间夹角 ，即 与 间夹角为 ，为常数。则 :,1.15 当一轮船在雨中航行时，它的雨蓬遮着篷的垂直投影后2米的甲板，篷高4米，但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3米，如果雨点的速度为8米/秒，求轮船的速率。,解
4、：选择： 研究对象雨点动系轮船静系岸边,雨对地的速度（绝对速度）为,雨对船的速度（相对速度）为 船对地的速度（牵连速度）为 方向如图所示。由相对运动速度公式有：,由图形知： 与速度三角形相似，则：,1.16 宽度为d 的河流，其流速与到河岸的距离成正比，在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为c ，一小船以相对速度u 沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点。,解：如图所示，取船离岸处为坐标原点， 轴平行于河流方向， 轴和它垂直。,船的轨迹为：,船在对岸靠拢点：,船的轨迹为：,1.19 将质量为m 的质点竖直上抛于有阻力的媒质中，设阻力与速度平方成正比，即 ，如上掷时的速度
5、为 ，试证此质点又落至投掷点时的速度为：,证：1）上抛，选取坐标系，受力分析如图所示。,运动微分方程为：,到达最高点：,2）下落：受力分析如图所示，运动微分方程为：,利用初始条件：,积分得：,落至投掷点：,落至投掷点的速度为：,证毕。,1.21将一质点以初速 抛出， 与水平线所成之角为 ，此质点所受到的空气阻力为其速度 的倍， 为质点的质量， 为比例常数。试求当此质点的速度与水平线所成之角又为 时所需的时间。,解：受力分析如图所示。 建立坐标系 质点运动微分方程为：,利用初始条件：,对上式积分得：,根据题意有：,整理得：,所需时间为：,1.22 如向互相垂直的匀强电磁场E、H中发射一电子，并设
6、电子的初速度V与E及H垂直，试求电子的运动规律。已知此电子所受的力为 ，B为磁感应强度，e为电子所带的电荷，v为任一瞬时电子运动的速度。,解：取电子初速V沿x轴，电场强度E沿y轴，磁感应强度B沿z轴。,电子受力：,设电子的质量为m，则运动微分方程为：,利用初始条件： ，对（3）式积分两次得：,利用初始条件： ，对（1）式积分得：,将（5）代入（2）式得：,整理得：,特征方程为：,（6）式齐次方程的通解为：,（6）式非齐次方程的特解为：,所以方程（6）的通解为：,（7）式取微商得：,利用初始条件：,代入（7）得：,将（8）代入（5）式得：,利用初始条件： ，对（9）式积分得：,（4）（8）（10
7、）为电子的运动方程。,1.26 一弹性绳上端固定，下端悬有m及 两质点。设a为绳的固有长度,b为加 m 后的伸长，c为加 后的伸长。今将 任其脱离而下坠，试证质点 m 在任一瞬时离上端o的距离为：,证：研究对象为质点 ，其受力分析如图所示。设坐标原点 在 处，向下为正，建立坐标轴 。,质点平衡时 :,质点运动微分方程为,其解为：,将初始条件：,代入得：,初始条件：,又解：选 为坐标原点，建立坐标 ，质点运动微分方程为：,又解：选 为坐标原点，建立坐标 ， 质点运动微分方程为：,即：,即：,1.29 一质量为m 的质点自光滑圆滚线的尖端无初速的下滑，试证在任何一点的压力为 ，式中 为水平线与质点
8、运动方向间的夹角，已知圆滚线方程为：,证：受力分析如图所示，质点运动微分方程为：,（1）式积分：,（3）（4）代入（2）得：,1.31 假定单摆在有阻力的媒质中振动，并假定振动很小，故阻力与 成正比，且可写为 ，式中 m是摆锤的质量，l 为摆长，k 为比例系数，试证当 时，单摆的振动周期为：,证：选取自然坐标系，受力分析如图所示，切向运动微分方程为：,很小,方程可写为：,特征根为：,当 时，（2）式的解为：,振动周期为：,即：,1.32 光滑楔子以匀加速度a0 沿水平面运动，质量为m的质点沿楔子的光滑面滑下，求质点的相对加速度 和质点对楔子的压力 P 。,解：1）a0沿 x正向，取楔子为参照系
9、，建立坐标系oxy ，受力分析如图所示。,所以：,压力 P 与N 大小相等，方向相反。,2） a0 沿 x 负向，取楔子为参照系，建立坐标系oxy ，受力分析如图所示。,所以：,压力P 与N 大小相等，方向相反。,1.33 光滑钢丝圆圈的半径为r，其平面为竖直的。圆圈上套一小环，其重为W，如钢丝圈以匀加速度a 沿竖直方向运动，求小环的相对速度vr及圈对小环的反作用力R。,解：以圆圈为参照系，建立坐标系oxy,1）a沿y轴正向，小环受力分析如图所示。其运动微分方程为：,上式代入（1）式后，分离变量积分：,（3）代入（2）得：,2）a沿y轴负向，小环受力分析如图所示。其运动微分方程为：,综合以上结
10、果：,同理解得：,1.25 滑轮上系一不可伸长的绳，绳上悬一弹簧，弹簧另一端挂一重为W 的物体，当滑轮以匀速转动时，物体以匀速 下降，如将滑轮突然停止，试求弹簧的最大伸长及最大张力。假定弹簧受 的作用时静伸长量为 。,解：以弹簧原长处为弹性势能零点，以弹簧平衡位置（伸长 时）为坐标原点建立坐标 ，且以 点为重力势能零点，如图所示。由机械能守恒得：,弹簧处于平衡位置时: 代入上式并化简得：,弹簧的最大伸长量为,且最大张力为：,又解：此过程中，只有保守力做功，机械能守恒，且初始动能全部转化为弹性势能：即：,弹簧的最大伸长量为：,且最大张力为：,1.27 一质点自一水平放置的光滑固定圆柱面凸面的最高
11、点自由滑下，问滑至何处，此质点将离开圆柱面？假定圆柱体的半径为r。,解：以质点为研究对象，受力分析如图所示。,设质点m滑至与竖直线夹角为 处离开圆柱面，此时 ,则质点的法线方程为：,质点滑动过程中，只保守力作功，机械能守恒.,、两式联立得：,1.28 重为W 的小球不受摩擦而沿半长轴为a ，半短轴为b 的椭圆弧滑下，此椭圆的短轴是竖直的，如小球自长轴的端点开始运动时，其初速为零，试求小球在到达椭圆的最低点时它对椭圆的压力。,解：小球运动过程中，只有保守力做功，机械能守恒。,小球到达最低点时，法向方程为：,椭圆方程：,曲率半径：,将（1）（3）代入（2）得：,对椭圆的压力：,P与N方向相反。,1
12、.39 一质点受一与距离的 3/2 次方成反比的引力作用在一直线上运动，试证此质点自无穷远到达 时的速率和自 静止出发到达 /4 时的速率相同。,证：如图所示，质点受引力作用： , 为比例系数,质点运动微分方程为：,即：,质点由 到 /4 ：,证毕。,质点由无穷远到 ：,1.45 如 及 为质点在远日点及近日点处的速率，试证明：,证：质点在有心力作用下，动量矩守恒：,圆锥曲线轨道方程：,在近日点：,在远日点：,于是,所以：,证毕。,1.48 试根据1.9中所给的我国第一颗人造地球卫星的数据，求此卫星在近地点和远地点的速率v1及v2，以及它绕地球运行的周期 （参看82页）。,解：已知卫星运行轨道为椭圆轨道，近地点和远地点距离分别为： r1=439+6370=6809 km r2=2384+6370=8754 km,其能量方程为：,a为椭圆轨道半长轴,由动量矩守恒：,将以上数据代入得：,绕地球运行的周期：,1.50 质量为m 的质点在有心斥力场 中运动，式中r为质点到力心 o 的距离，c为常数。当质点离 o 很远时，质点的速度为 ，而其渐近线与o 的垂直距离则为 （瞄准距离），试求质点与o 的最近距离a 。,解：由题意知，势能函数为：,质点运动过程中，能量守恒：,当 时，上式变为：,质点受有心力作用，动量矩守恒：,（2）（3）两式联立得：,(1),(2),(3),
