一元函数的导数公式和微分

1、经济数学：一元微积分 第四章 导数的应用 第一节 微分中值定 理和洛必塔 法则本次练习有 4题，你已做4 题 ，已提交4题 ，其中答对4 题。 当前页有4 题，你已做4 题 ，已提交4题 ，其中答对4 题。1. 不用求出函 数 的导数，分析方程有 几个实根？( )A0 B1 C2 D3 答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：2. =？（ ）A0 B1 C-1 D2 答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：3. =？， （ ）A0 B1 C-1 D2 答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：4. 求不能使用 洛必塔法则 。 （ ） 答题： 对. 错. （已提交。

2、第三章 一元函数导数的应用教学与考试基本要求：1 理解三个中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理） ，会用它们证明不等式及零点问题；2 会灵活运用罗必达法则求未定式的值；3 会用导数符号判断函数的单调性、凹凸性并会求函数的极值、最值与拐点；3.1 微分学中值定理一、主要内容回顾罗尔定理若函数 在 上连续，在 内可导且 ，则在 内至少)(xf,ba),(ba)(bfa),(ba有一点 ，使得 。c0)(cf注： 是函数 的零点。xf拉格朗日中值定理若函数 在 上连续，在 内可导，则在 内至少有一点 ，使)(f,ba),(ba),(bac得 。)(cfbf推论 1 若。

3、多元函数连续，可导，可微之间的关系1、一元函数涉及的是两维曲线，多元函数涉及到的是至少是三维的曲面。 一元函数的可导可微只要从左右两侧考虑； 多元函数的可导可微，必须从各个角度，各个方向，各个侧面，进行前后、 左右、上下、侧斜等等方向的左右两侧考虑。 2、一元函数，只要曲线光滑-没有尖点、没有断点，切线垂直于 x 轴就行， 也就是不能斜率为无穷大； 多元函数的要求就是一方面曲面光滑-没有裂缝、没有皱褶。同样没有垂直 于各个坐标的垂直切线。 3、一元函数的求导，就是简单的沿着 x 轴考虑曲线变化率，考虑曲线的连续性。

4、,第四节 导数的应用,一、Lagrange中值定理,二、LHospital法则,三、函数的单调性与极值,四、曲线的凹凸性与拐点,五、函数曲线的渐近线,六、函数图形的描绘,一、Lagrange中值定理,或,几何解释,注意 Lagrange中值定理亦称微分中值定理,它精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.它是沟通导数和函数之间的桥梁.,推论1,推论2,例2-34 证明,证明,例如,二、LHospital法则,1,定理2-4 LHospital法则,如果函数 与 满足下列三个条件,(1) 当 (或 )时,函数 与 都趋于 或都趋于 ;,(2) 当 (或 )时,函数 与 都存在,且 ;。

5、第一节 导数的概念,一、实例,三、可导与连续的关系,二、导数的定义及导数的几何意义,第二章 一元函数微分学,1.变速直线运动的瞬时速度,一、实例,设一质点沿直线做变速直线运动,其运动规律为,求时刻 的瞬时速度.,平均速度,瞬时速度,2. 细胞的增殖速度,设增殖细胞在某一时刻 的总数为 ,显然 是时间 的函数,求细胞在时刻 的瞬时增长率.,从 变化到 这段时间内,细胞的平均增长率为,瞬时增长率=,定义2-1,二、导数的定义及导数的几何意义,即,注意 若极限不存在,就称函数 在点 处不可导;,由导数定义,变速直线运动的质点在时刻 的瞬时速度为,细胞在。

6、,第二节 初等函数的导数,一、按定义求导数,三、反函数的求导法则,四、复合函数的导数,二、函数四则运算的求导法则,五、隐函数的求导法则,六、对数求导法,七、初等函数的导数,八、高阶导数,一、按定义求导数,常数的导数,2幂函数的导数,所以,3 正弦函数和余弦函数的导数,即,4对数函数的导数,即,二、函数四则运算的求导法则,证(1),证(3),推论,解,解,解,例2-7 已知函数 ,求,同理可得,即,解,同理可得,即,例2-8 已知函数 ,求,三、反函数的求导法则,定理2-1,即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,于是有,证明,即,例2-10,解,特别地,当 时,解,。

7、1第四章 微分学的应用一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理.2.会用洛必达法则求未定式的极限.3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法.4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题.5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的图形.重点 用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单一元函数的最大值与最小值的应用题.（二）内容提要1. 。

8、一元函数中 可导 连续 可积 反过来不一定成立 即可导是连续的充分不必要条件 连续是可积的充分不必要条件 可导与可微互为充分必要条件 则有可微 连续 二元函数中 连续和可导分别是可微的必要条件 即可微分别是可导和连续的充分条件 可微并不保证偏导函数连续 不保证连续函数可导 满足可导和连续两个条件才有可微 一元函数在可导处的导数就是函数在可导处的变化率 和一元函数一样 多元函数的偏导数是函数值沿各坐。

9、第四章 一元函数微分学的应用第一节 柯西( )中值定理与洛必达( )法则CauchyHospitalL思考题 ：1. 用洛必达法则求极限时应注意什么？答：应注意洛必达法则的三个条件必须同时满足.2. 把柯西中值定理中的“ 与 在闭间区 上连续”换成“ 与xfFba, xf在开区间 内连续”后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画出函xFba,数图象）说明.答：不成立. 图像如下： 习作题：1. 用洛必达法则求下列极限：（1） ， （2） ，1lim2x xsinlm1（3） ， （4） .xsinl xx420sin3li解：(1) = =2,1li2x)(lix(2) = =1,xsnlim0xcosli0(3) = =1, 1coslim。

10、例1. 变速直线运动的速度,物体作匀速直线运动时, 有,这一速度其实是物体走完某一段路程的平均速度，平均速度记作V.,由于匀速运动物,体的速度是不变的，因此,41 导数的概念,一、导数概念的引入,由于变速直线运动物体的速度 V(t) 是变的，因此，用这个公式算出的平均速度V不能真实反映物体在时刻 t0 的瞬时速度 V(t0).如何求V(t0)?,设一物体作变速直线运动，在0, t这段时间内所走路程为 S = S(t). 下求V(t0),如图,设物体在 t0 时，所走路程为 S(t0)，在 t0+t 时所走路程为 S(t0+t)，从而，物体在 t0, t0+t 这段时间内所走路程为,S =,S (t0+t。

11、第三章 一元函数的导数和微分 【字体：大 中 小】【打印】 3.1 导数概念 一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置切线位置 如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题 二、导数的定义 设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义。

12、第四章 一元函数微分学的应用1第四章 一元函数微分学的应用本章教学要求1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理.2.熟练掌握会用洛必达法则求未定式的极限.3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法.4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题.5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的图形.重点：微分中值定理，用洛必达。

13、导数的定义 1 函数在一点处的导数与导函数 其它形式 即 关于导数的说明 注意 右导数 2 单侧导数 左导数 导数的几何意义 切线方程为 法线方程为 可导与连续的关系 定理凡可导函数都是连续函数 证 注意 该定理的逆定理不成立 微分的定义 定义 微分的实质 可微的条件 定理 。

14、第二章 一元函数的导数与微分,本章简介 导数与微分是微分学中的两个基本概念。其中导数是研究函数相对于自变量的变化的快慢程度，即函数的变化率；而微分则是指当自变量有微小变化时，函数改变量的近似值。,本章重点 导数与微分的概念；基本初等函数的求导公式；求导法则。 本章难点 导数与微分的概念；复合函数的求导法则。,第一节 导数的概念,一、两个引例,二、导数的定义,三、求导举例,四、导数的几何意义,五、函数的可导性与连续性的关系,本节内容提要,本节重点 导数的概念；左，右导数的概念：导数的几何意义；函数可导与连续的关系。

15、基础模块1第三章 一元函数导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的 n 阶导数。4、会求分段函数的导数。5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导。

16、1、一元函数微分学一元函数微分学由导数和微分组成。导数：样本量随自变量的变化而变化的快慢程度；微分：曲线的切线上的纵坐标的增量。二、常数和基本初等函数求导公式(1) 0)(C (2) 1)(x(3) xcossin (4) sinco(5) 2e)(ta (6) xx2c)(t(7) xxtansc (8) otscs(9) l)( (10) (e)x(11) axaln1log(12) 1ln，(13) 21)(rcsi(14) 21)(arcosxx(15) 2(artn)x (16) 2(rt)三、函数的和、差、积、商的求导法则设 )(xu， )(v都可导，则（1） vu)(（2） uC)(（ 是常数）（3） v)( （4） 2vu四、反函数求导法则若函数 )(yx在某区间 yI内可导、单调且 0)(y，。