1、第三章 一元函数导数的应用教学与考试基本要求：1 理解三个中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理） ，会用它们证明不等式及零点问题；2 会灵活运用罗必达法则求未定式的值；3 会用导数符号判断函数的单调性、凹凸性并会求函数的极值、最值与拐点；3.1 微分学中值定理一、主要内容回顾罗尔定理若函数 在 上连续，在 内可导且 ，则在 内至少)(xf,ba),(ba)(bfa),(ba有一点 ，使得 。c0)(cf注： 是函数 的零点。xf拉格朗日中值定理若函数 在 上连续，在 内可导，则在 内至少有一点 ，使)(f,ba),(ba),(bac得 。)(cfbf推论 1 若函数 在区间 上恒
2、有 ，则在 上 为常数）)(xfI0(xfICxf()推论 2 若在区间 上恒有 ，则在 上 为常数）I)(gf gf(柯西中值定理若函数 ， 满足：在 上连续；在 内可导；在 内)(xf ,ba),ba),(ba，则在 内至少存在一点 ，使得0g),bac)()(cgfgf二、基本题型及例题题型 1 选择题下列函数中，在-1,1上满足罗尔定理条件的函数是（ C ）A B C D xeyxy2xyxyarctn题型 2 填空题函数 在-1,1上满足拉格朗日中值定理的点是xfarctn)( 14题型 3 证明题（1） 证明：当 时， 。0xxxarctn12（2） 证明方程 只有一个正根。5（3
3、） 证明：若函数 在 内满足关系式 。)(xf), xeffxf )(,1)0()(则且证 （1）令 ，则 在 上满足拉格朗日中值定理的条件，arctn(xf,0所以 )10arctn2xcx即 2t而 12cx故 xartn（2） 设 ， ，1)(5f 03)2(,0)(ff由零点定理知，方程在(0,2)内至少有一个根。又假设方程有两个根 ，则 ，)(,21xx)(21xff由罗尔定理知在 内至少有一点 ，使 。),(21c0f但 。假设错误。05)(4xf故结论成立。（3） 设 ，则xefF)( 0)()(2xeffxF由推论 1 知 C)(又 知 ，即 ，)0(11)(xef故 xef三
4、、习题选解习题 31 教材 13P1 解 函数在1,3上连续，在(1,3)内可导， ，0)3(1f令 012()3(1)3(2)( xxxxxf得 6641因为 233在1,3上有两个根。所以罗尔定理成立。0)(xf2 在0,3上连续，在(0,3)内可导，即满足拉格朗日中值定理的条件。21令 ，31903)(2)( fxf得 拉格朗日定理成立。,33由柯西公式 得 2321c解得 914c4 设 ，bxfafxFba)(lim),(li)(则 在 上满足拉格朗日中值定理条件，)(,a在 内至少有一点 ，使得 。,bcabFc)()(由假设知结论成立。3.2 罗必塔法则一、主要内容回顾罗必塔法则
5、设 0)(lim,0)(lixgxfaa 在 的某去心邻域 内可微，且 ，,f ),(a0)(xg 存在（或为无穷大） ，)(lixga则 )(limliffax注： 时上面公式仍成立。 或 ， 时，上面公式仍成立。x)(,)(xgf法则可以连续使用。当 不存在或不为 时，不能依此推出 不存在。)(limxgf )(limxgf二、基本题型及例题题型 1 判断题由于 不存在，则 不存在。 （错）xxcoslixxsinli题型 2 计算题（1） 求 30arinlimx（2） 求 )arctn2(limxx（3） 求 ot1li0x（4） 求 xx2tan1)(li解 （1） 203031li
6、marcsli xxxx 61)1(li1li 2020 xx注：对 型未定式，只要满足罗必塔法则的条件，可直接运用法则来求。,（2） xxx1arctn2lim)arctn2(lim1li1li 22xx（3） xxx sincolim)cot(li0002sincoilsinli 0 x注：对 型未定式，先化为 型，再利用罗必塔法则来求。, 或（） xxxxxee2cot)ln(im)2ln(ta12tan1 1li)(lim 2)(sin2l2sin1li 1eeexxx 注：对 型未定式，通过取对数，先化为 型，再化为 型，利用0， 0或0罗必塔法则来求。三、习题选解1 解 1limn
7、li1xx bababaxlnllnili00 53sec5olimtan3sil2xxx 0ln1ili 1sinltaseci4sectali 222 xxxx lim1lilim2xxxx e2解 21lim1li)(li)1(li 0000 xxxxxxxx eee 2cs2licotli2tan)(li 111xxx 1lim)(li 0sinlmcs1limcotlnilnta0tan0 20200 eeeex xxxxx解 1)si1(lislixx但 不存在，故不能用罗必塔法则。coli)nli x（. 函数单调性的的判别法及极值一、主要内容回顾函数极值定义如果函数 在 的某个
8、邻域内有定义，若对于该邻域内的任意 有)(xf0 x ，则称 为函数 的极大值， 称为极大值点；0ff)(xf)(xf0x ，则称 为函数 的极小值， 称为极小值点。)(xff0ff极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。注：函数的的极值是仅在某点的邻域内来考察的，是局部的、相对的；函数的极大值与极小值可能不只一个；极大值不一定大于极小值。驻点 若 ，则称 为函数 的驻点（或稳定点） 。0)(xf0x)(xf函数单调性判别法设函数 在 上连续，在 内可导，fy,ba,ba若在 内 ，则函数 在 上单调增加；),(0)(xf )(xfy,若在 内 ，则函数 在 上单调减少。),
9、(ba0)(xf )(xfy,ba极值的必要条件如果函数 在 处可导，且在 处取得极值，则f 0 0)(xf即可导函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。极值点可以是不可导点。极值的第一判别法设 在 点连续，在 的某去心邻域 内可导。)(xf00x ),(),(00xx若在 内 ，在 内 ，则 在 点取得),)(f,0f(f0x极大值；若在 内 ，在 内 ，则 在 点取得),(0x)(f ),(0x0)(xf)(f0极小值；若在 和 内 保持相同的符号，则 在 点不取极),(0),(0)(f )(xf0值。极值的第二判别法设 在 点具有二阶导数，且 ，则)(xf0 0)(xf当 时， 在
10、 点取得极小值；f)(xf0当 时， 在 点取得极大值。0)(xff注：当 时， 可能是也可能不是极值点；f0x对于不可导点不能用此判别法。二、基本题型用例题题型 1 判断题 若 为函数 的极小值， 为 的极大值，则必有 )(xf)(xf )(2xf(f )(21xff（错） 若 是函数 的极值点，则 （错）0)(f 0)(f题型二 证明题 已知函数 在 上连续，在 内可导，且 在 单调增加，)(xf),0),()(xf),0。证明： 在 内单调增加。0)(f ,( 证明：当 时， 。x)1lnx 证明：方程 有且仅有一个实根。si证（1） ，2)()(xffxf令 ，因为 在 单调增加，则
11、，)(ffg )(xf),00)(xf，0)()()( xffxffxg在 单调增加， ，,0g所以 ，)(2fff在 内单调增加。xf),（2） 设 ，则)1ln()(xf )0(1)( xxf在 上单调增加，从而)(f,00故 )l(x（3） 设 ，则 在 上连续，xfsin)()(f),而 0,0ff由零点定理知 在 上至少有一个零点，)(xf),即 至少有一个实根。xsin又 ， 在 上单调增加，0i1)(f )(f),在 上至多有一个零点,综合得：方程 有且仅有一个实根。xsin题型 3 计算题 讨论函数 的单调性，并求其极值。3arctn2arct3xy 设 在 处取得极值，求 的
12、值，并判断 是极大bxx2,1ba, )2(,1y还是极小值。解 （1）因为 )3(13123 2xxy 所以驻点为 1xx),(1 ),(1 ),(y 0 0 减少 极小值 增加 极大值 减少极小值为 ，极大值为34)1(34)(y（2）因 ，依题意 baxy2 0412,023baba联立解之，得 ， 6,9又 ，26xay 03)2(,03)1(yy所以 为极大值， 为极小值。)1(y)2(y三、习题选解习题 33 解（1）令 ，0)43(4322 xx得驻点 ,0x极大值为 2567)4(y（2）令 ，得驻点01x0xx)0,1(0 ),(y 0 减少 极小值 增加极小值为 0)(（3
13、）令 ，0)1(32)1(3312 xxy得驻点 ， 而 为不可导点，x,0极大值为 34)1(y，极小值为 0（4）令 得驻点011222 xxy 1x当 时， ；当 时， 。0yy函数的单调增加区间为 ，单调减少区间为 ，极大值为),(),1(2ln14)(y2解 ，则 ，xaxf3cos)( 0cos3a2a又 ，xf insi2ini 03)(f为极大值。3)(f3证（1）设 ，xxfarctn)(则 01122f在 上单调增加，)(x),0)(fx)0,(0 )31,()1,3(1 ),(y+ 不存在 + 0 - 不存在 +增加 增加 极大值 减少 极小值 增加即 xarctn（2）
14、设 ，xf2tansi)(则 02seco2secoeco22 xxf在 上单调增加， )(x),00)(fx从而 x2tansi3.4 函数的最大值最小值及其应用一、主要内容回顾最大值与最小值设函数 在数集 上有定义，如果存在 ，使得对任意 都有)(xfyDDx0Dx（或 ） ，则称 为函数 在 上的最大值)(0f)(0xf)(f)(fy（或最小值） 。注：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。如果函数的最大值或最小值在开区间内取得，则最大值一定是极大值，最小值一定是极小值。求函数最大值最小值的步骤1由公式给出的在闭区间上连续的函数的最大值最小值：求出 在 上的所有驻点和不可导点；)(x
15、f,ba算出 在上述点及区间端点处的函数值，比较它们的大小，最大的就是最f大值，最小的就是最小值。2实际问题：列出目标函数，并确定其定义域；求出目标函数在其定义域内的驻点（一般仅有一个） ；驻点处的函数值就是所求实际问题的最大值或最小值。二、基本题型及例题题型 1 计算题求 在 上的最大值与最小值。7186223xxy4,解 令 得 0)3( 3,1x17|xy47|3xy15|xy3|4xy所以函数的最大值为 ，最小值为 。|17|题型 2 应用题 一房产公司有 50 套公寓要出租。当月租金定为 1000 元时，公寓会全部租出去。当月租金每增加 50 元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的
16、公寓每月需 100 元的维修费。问房租定为多少时可获得最大收入？ 从半径为 的圆中切去怎样的扇形，才能使余下部分可卷成一漏斗，其容积为最大？R解（1） 设房租为 元，总收入为 元，此时租出公寓 套，x501yx50则 )(509()(1)(0( xxy )(1629)5 驻点为 16x即租出 34 套公寓，房租定为 1800 元时，总收入最大。（2） 设余下部分的圆心角为 时所卷成的漏斗容积 最大，V漏斗的底半径为 ，高为 ，rh则 ，R2r231hrV022 rRr此时Rr3636即当余下的圆心角为 时漏斗容积最大。2三、习题选解习题 34 1 解 令 得 0163xy 2,x而 ， ， ，
17、 ， 2|0x4|2x 14|2xy5|1xy1|3xy所以最大值为 ，最小值为 。1|3y|令 得02x43而 ， ， 45|3xy65|y1|xy所以最大值为 ，最小值为 。|43x 65|x2解 设油罐的表面积为 ，则 ， ShrV2rVrhS22得 ，此时 ，042rVS32r34即当 ， 时表面积最小，此时 。32Vr34h 1:rd3 解 设横梁强度为 ，矩形的宽为 ，高为 ，则 。而Wxy2kxyW2dy)(2xdk)0(d， ，此时 即kx3dy361:2:xy4 解 20125102pxL令 得5 x当日生产 15 单位时，日总利润最大。5 解 依题意 ，则2cosRx23)
18、(Rxky令 ，得 。0)(3)(2212xkky x213.5 曲线的凹凸性与拐点一、主要内容回顾曲线的凹凸性设 在区间 上连续，如果在区间 上的曲线都位于它的每一点处的切线的)(xfyII上（下）方，则称曲线 在区间 上是凹（凸）的。)(xfy或定义为：设 在区间 上连续，如果对于 上任意两点 恒有)(fII21,x，则称曲线 在区间2)2(11xxf )2()2(11xffxf )(fy上是凹（凸）的。I拐点如果曲线 在经过 时，曲线的凹凸性改变了，就称点)(xfy)(,0xf )(,0xf为这曲线的拐点。简单地说，曲线上凹弧与凸弧的分界点就是曲线的拐点。凹凸性的判定设 在 上连续，在
19、内具有一阶和二阶导数，则)(f,ba),(ba（1） 若在 内 ，则 在 上是凹的；,0)xf(xfy,ba（2） 若在 内 ，则 在 上是凸的。),(ba(f )f,法 注：由拐点的定义及上述定理可知，若在 的左右两侧附近， 的符号不同，0x)(xf则 为曲线 的拐点。)(,0xf )(xfy拐点可在二阶导数为零或二阶导数不存在的点处取得。二、基本题型及例题题型 1 判断题（1） 若 为曲线 的拐点，则 。 （错）)(,0xf )(xfy0)(xf（2） 若 ，则 必为 的拐点。 （错）f,0ffy题型 2 选择题若 二阶可导，且 ， 时 ，则在 内)(xf )()xff),0(0)(,)(
20、xff )0,(曲线 （ C ）fyA 单调下降，曲线是凹的； B 单调下降，曲线是凸的；C 单调上升，曲线是凹的； D 单调上升，曲线是凸的题型 3 证明题证明： ),0(2ln)(lnl yxxyxyx 证 设 ，ufl)(则 ， ，1n )0()(uf函数 在 上是凹的。ufl)(,0任取 ，有yxyx, 2)()(yfxyf所以 2lnlln2即 yxyxlll)(题型 4 计算题求函数 的凹凸区间及拐点。35)1(xy解 函数的定义域为 ),， 3258xy 31490xy令 得 ，而在 处 不存在。0 yx)0,(0 )41,(),41(y+ 不存在 0 凹 拐点 凸 拐点 凹，拐
21、点为 和 。316)4(,0)(),()163,4三、习题选解习题 35 1 解（1） ，324xy 2xy令 得0 1,x),(0 )2,(),21(y 0 0 凸 拐点 凹 拐点 凸，拐点为 和16)2(,0)(),()16,2(（2） ，xey xxxeeey )2(令 得 0x),(2 ),(y 0 凸 拐点 凹，拐点为2)(e)2,(e（3） ，22)1()1(xxy 3242 )1(6)(2 x令 得0y3,xx),()0,()3,0( ),3(y 0 0 0 凸 拐点 凹 拐点 凸 拐点 凹，43)(,43)(,0)( y拐点为 ,2 解 ，bxay23 baxy26因为 为拐点
22、，所以 ，),1( 0)1( ba3解之得 29,ba3 解 323)1(6,)1( xyxy令 得0 ,232x)3,()32,(32)1,32(),(y 0 0 0 凸 )32(41凹 )32(41凸 1 凹曲线有三个拐点 ),(,2(,)(,3( CA又 ，故三拐点在同一直线上。BACk413.6 函数图形的描绘一、主要内容回顾作函数 )(xfy图形的步骤确定函数 的定义域、间断点、周期性、奇偶性；)(xf求出 的一、二阶导数，及使它们为零和不存在的点；f步骤中的点将定义域分成若干子区间，列表确定函数在各子区间上的单调性、凹凸性，求出函数的极值与拐点；求出曲线的水平、铅直渐近线；求出曲线
23、上特殊点（极值、拐点、与坐标轴的交点）的坐标，补充一些点的坐标，用光滑曲线连接起来。二、基本题型及例题题型 1 填空题曲线 水平渐近线为（ ） ，铅直渐近线为（ ） 。)3ln(xey3lny3ex题型 2 计算题讨论函数 的单调性、凹凸性，并求极值与拐点及渐近线方程。)l(解 函数的定义域为 。,3e，在定义域内没有驻点，也没有导数不存在的点。0)(312xxey得)(622 ),3(6e所以函数在 内单调增加且为凸函数。,3e三、习题选解习题 361解 定义域为 ),(，得驻点 0432xy 43,021x得16 3xx)0,(0 )2,()43,21(),43(y 0 0 0 0 增、凸
24、 拐点 增、凹 拐点 增、凸 极大 减、凸极大值为 ，拐点为25681)43(y)16,2(复习题三三解（1） 203030 31limarcsnlisinarclmxxxxx 6)1(1li1li 22020 xx（2） 210)ln(1010 limi)(limeexxxx 四解 令 得驻点632y,令 得0x1xx),(0 ),(1 )2,(2 ),(y 0 0 0 增、凸 极大 减、凸 拐点 减、凹 极小 增、凹极大值为 ，极小值为 ，拐点为1)(y5)2(y)3,1(五证（2） 设 ，它在 上连续，在 内可导，ln)(xf,0x,0x由拉格朗日中值定理知，存在 使得),( )(1ln
25、)1l(而 ，所以 11x xxln六解 设场地的长为 m 时所用材料费最少，此时场地的宽为 m，x50材料费为 )150()1502(31506xxy令 ，得)92x即当侧面长为 15m，正面为 10m 时材料费最少。七解 不妨设 0)(f因为 连续，由局部保号性知存在 ，当 时，恒有x 00x0)(xf故当 时，由泰勒公式得 3020000 )(!()(!)()( xxfxfxffxf 由条件有 1)(33fff因 ，所以0)(0xf当 时， ；当 时，)(0xff)(00xfxf故 不是极值点。0x当 时，对 应用拉格朗日中值定理，有)(xf)10()()()( 1000 xxffxf即
26、 ff因 ，0)(10xf当 时， ；当 时，)(f 0x0)(0xf故 不是曲线的拐点。)(,0xf本章测试题一、判断题1函数 在 上满足拉格朗日中值定理的条件，则利用拉格朗日中值中值公式求)(xf,ba出的 是惟一的。2若 在 内可导，且 ，则 在 内至多只有一个零点。)(xf,ba0)(xf)(xf,ba3已知 是函数 的极值点，则必有0)(fy0f二、填空题1函数 在 内单调增加，在 内单调减少，)1ln()2xf_极 值为 。_2函数 在-1,1上否满足罗尔定理条件 。xey3曲线 的水平渐近线是 ，铅直渐近线是 。231_三、求下列极限1 ， 2)ln(im0xx xx)arctn
27、2(lim四、证明：当 时，31tan五、讨论函数 的单调性、凹凸性，并求极值与拐点。786223xxy测试题答案一、错，对，错。二、1 （1,0） ， （0,1） ，大，0。 2满足。 3 ，1y2x三、解 1 xxxx 1)ln(im)1ln(i)1ln(im000 21)ln(i0 xx2设 ，则 ，xy)arctn2()arct2lly 212arctnlim1)rtnl(im)arctn2l(imlni 2 xxxxy xx所以 2)arctn2(liexx四、证 设 ， 31t)f则 )(tan(ttansec( 222 xxxxf 当 时00ta设 ，则xxgtn)( 0tan1sec)(22 xxg在 内单调增加，所以 ，2,0)(g从而 ， 在 内单调增加，)(xf)(xf)2,00)(fx即 。31tan五、解 令 ，得驻点0862xy 3,1x令 ，得1x),(-1 (-1,1) 1 (1,3) 3 ),(y 0 0 0 增、凸 极大 减、凸 拐点 减、凹 极小 增、凹极大值为 ，极小值为 ，拐点为17)(y47)3(y)15,(
