1、1第四章 微分学的应用一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理.2.会用洛必达法则求未定式的极限.3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法.4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题.5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的图形.重点 用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单一元函数的最大值与最小值的应用题.（二）内容提要1. 三个微分中值定理 罗尔（Rolle）定理如果函数 满足下列三个条件：)(xfy
2、在闭区间 上连续;,ba在开区间 内可导;)( ,)()(bfaf则至少存在一点 使 .),a0)(f 拉格朗日（Lagrange）中值定理2如果函数 满足下列两个条件：)(xfy在闭区间 上连续；,ba在开区间 内可导,)(则至少存在一点 ，使得 或,)()(abff.)()(abfafb 柯西（Cauchy）中值定理如果函数 与 满足下列两个条件：)(xfg在闭区间 上连续；,ba在开区间 内可导，且 ,)( )(,0)(baxg则在 内至少存在一点 ，使得),(.)()(gfabgf2.洛必达法则如果 ;,0)(lim0xfx 0)(li0xg 函数 与 在 某个邻域内（点 可除外）可导
3、，且0x；)(xg ,则),()(lim0 或也 可 为为 有 限 数Axgfx.Axgfxfx )(lim)(li00注意 上述定理对于 时的 型未定式同样适用,对于或 时的 型未定式也有相应的法则.0x3. 函数的单调性定理3设函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，则有)(xf,ba),(ba若在 内 ，则函数 在 上单调增加；,ba0)(f )(xf,若在 内 ，则函数 在 上单调减少.)(x4 . 函数的极值、极值点与驻点 极值的定义 设函数 在点 的某邻域内有定义，如果对)(xf0于该邻域内任一点 ，都有 ，则称 是函数)(0x)(f)(0xf的极大值；如果对于该邻域内任一点 ，
4、都有 ，)(xf 0x)(0xf则称 是函数 的极小值.0)(xf函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为函数 的极值点.0x)(xf 驻点 使 的点 称为函数 的驻点.0fx)(xf 极值的必要条件 设函数 在 处可导，且在点 处取得f00x极值，那么 .)(0xf 极值第一充分条件设函数 在点 连续，在点 的某一去心邻域内的任一点 处)(xf00x x可导,当 在该邻域内由小增大经过 时，如果 由正变负，那么 是 的极大值点， 是 的极大)(xf 0x)(f )(0xf(f值； 由负变正，那么 是 的极小值点， 是 的极小)(xf 0x)(f )(0xf(f值； 不改变
5、符号，那么 不是 的极值点. )(xf 0x)(f 极值的第二充分条件4设函数 在点 处有二阶导数，且 ， ，则 是)(xf0 0xf0xf0x函数 的极值点， 为函数 的极值，且有f )(xf)(f如果 ，则 在点 处取得极大值；)(0xf 0x如果 ，则 在点 处取得极小值.)(f5.函数的最大值与最小值在闭区间上连续函数一定存在着最大值和最小值.连续函数在闭区间上的最大值和最小值只可能在区间内的驻点、不可导点或闭区间的端点处取得.6. 函数图形的凹、凸与拐点曲线凹向定义 若在区间 内曲线 各点的切线都位),(ba)(xfy于该曲线的下方，则称此曲线在 内是向上凹的（简称上凹，或称下凸）
6、；若曲线 各点的切线都位于曲线的上方，则称此曲)(xfy线在 内是向下凹的（简称下凹，或称上凸）.),(ba曲线凹向判定定理 设函数在区间 内具有二阶导数，),(ba 如果在区间 内 ，则曲线 在 内是上凹的.),(ba0)(xf xfy),(ba 如果在区间 内 ，则曲线 在 内是下凹)(f的.拐点 若连续曲线 上的点 是曲线凹、凸部分的)(xfy),(0yxP分界点，则称点 是曲线 的拐点.P7. 曲线的渐近线水平渐近线 若当 (或 或 )时，有 （xxx bxf)(为常数） ，则称曲线 有水平渐近线 .b)(fyby5垂直渐近线 若当 (或 或 )（ 为常数）时，axaxax有 ，则称曲
7、线 有垂直渐近线 .)(xf )(fy斜渐近线 若函数 满足 ， (其)(xf xfa)(lim)(limaxfbx中自变量的变化过程 可同时换成 或 )，则称曲线x 有斜渐近线 .)(xfy bay二 、主要解题方法1 . 用洛必达法则求未定式的极限的方法例 1 求下列极限（1） （2） （3）201cotlimxx )eln(cosim33xx)ln(li20x（4） （5） li0xx xxcos1li解 （1）由于 时， ，故原极限为 型，用0tan0洛必达法则 所以 xxxx sicolim1cotli 2020 （分母等价无穷小代换）3n20cosicosli3xx.01inlmx
8、1（2） 此极限为 ，可直接应用洛必达法则 所以 =)eln(3cosim3xx )eln(3icosli3xxx63elime1li3cosxx.xli3cos（3） 所求极限为 型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成 或 型. 0 )1ln(lim20xxxxxx 21lim)1ln(li020 .21)(li)(1li00 xxx（4）所求极限为 型，得（ 型）nxnx 100limlli= =10linx .01limli010nxxn（5）此极限为 型，用洛必达法则，得不存在，1sinlicoslimxxxx 但 .10cosli1licosli xxx小结 使用洛必达法则时，应注
9、意以下几点：（1）洛必达法则可以连续使用，但每次使用法则前，必须检验是否属于 或 未定型，若不是未定型，就不能使用法则；0（2）如果有可约因子，或有非零极限的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤；7（3）当 不存在时，并不能断定 也不存在，此时)(limxgf )(limxgf应使用其他方法求极限.2 . 单调性的判别与极限的求法例 2 试证当 时， .1xxe证 令 ，易见 在 内连续，且fx)()f),0)1(f.e)(xf当 时， 可知 为 上的严格单调减少函1xxf0()fx1,数，即()0.fx当 时， ，可知 为 上的严格单调增加1e)(xf0()fx),1函数，即 .()0
10、fx故对任意 有 即 .,1(),fx.0exxe例 3 求函数 的单调性与极值.34y解 函数的定义域为 .),(，)3(32xxy令 驻点 ,0,021列表 x),()3,( ),3(y 0 0 +极小8由上表知，单调减区间为 ，单调增区间为 ，极小值 )3,(),3(427)3(y求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中不能确定 处是否取极值，0,62xyy 0x得 是极小值.93x 427)3(小结 用单调性来证明不等式，其方法是将不等式两边的解析式移到不等式的一边，再令此不等式的左边为函数 ；利用导数判)(xf定 的单调性；最后利用已知条件与单调性，得到不等式。由例)(xf3 知，
11、用二阶导数讨论函数在某点的极值不需列表也很方便，但它的使用范围有限，对 、 及 同时不存在的点不能使0)(xf)(xf)(f用.3. 求函数的凹向及拐点的方法例 4 求函数 的凹向及拐点.)1ln(2xy解 函数的定义域 ，,，,12xy 22)1()1(xxy令 得 ，,0列表 x)1,(1 ( 1,1) 1 ),(y0 + 0 拐点 拐点 9由此可知，上凹区间 ,下凹区间 ，曲线的拐(1)(,1)(,)点是 .)2ln,1(小结 求函数的凹向与拐点只需用拐点的定义及凹向的判别定理即可，注意拐点也可在使 不存在的点取得.y4. 求函数的最大值与最小值的方法例 5 求函数 在区间 上的最大值与
12、最小值 .32)5(xy2,1解 函数在 上连续， 由于 ，2,1 3)(0xy令 ， 则 ， 在 处不存在. 故0yxyx)1(,0)2(,1max ff,3,7.02,in3mi y小结 函数的最大（小）值是整个区间上的最大（小）值，求最大（小）值的一般步骤为（1）求出 在 内的所有驻点及不)(xf),ba可导点；（2）求出函数在驻点、不可导点、区间端点处的函数值；（3）比较这些值的大小，其中最大者即为函数的最大值，最小者即为函数的最小值.5 . 求曲线渐近线的的方法.例 6 求下列曲线的渐近线（1） （2） .xyln122xy10解 （1）所给函数的定义域为 .),0(由于 ，1lim
13、nlixx可知 为 所给曲线 的水平渐近线.0yxyln由于 ，xli0可知 为曲线 的铅直渐近线.xyl（2） 所给函数的定义域 , .)1()由于 ， 12lim(li211xxf，12lim)(li211xxf可知 为所给曲线的铅直渐近线（在 的两侧 的趋向1x()fx不同）.又 ，axxf 1)(2lim)(li2， bxafxx 12lim)(li)(li2所以 是曲线的一条斜渐近线.1y6 . 函数图形的描绘例 7 作出函数 的图形.2)1(xy解 函数的定义域 ， ),，3421212 xxy，4623 )()(11令 ， 解得 .,0y 21,01x列表x)1,(1 )0,(0
14、 )21,(),21(y+ 0 + + + + + + 0 xf极小 拐点由上表可知： 极小值 ， 1)0(f拐点 .)91,2(（3）渐近线，1)(limli2xyx所以 是水平渐近线，1，211)(lilixyxx所以 是铅直渐近线.（4）作图如图所示.7 . 求实际问题的最大值，最小值的方法例 8 一条边长为 的正方形薄片，从四角各截去一个小方块，a然后折成一个无盖的方盒子，问截取的小方块的边长等于多少时，方盒子的容量最大？-1 xyO12解 设截取的小方块的边长为 ，则方盒子的容积为)20(ax3224)()axxaxv218令 ， 得驻点 （不合题意，舍去）0)(xv 2,61ax由
15、于在 内只有一个驻点，由实际意义可知，无盖方盒子的2,a容积一定有最大值.因此， 当 时 取得最大值.6x)(xv故当正方形薄片四角各截去一个边长是 的小方块后，折成一6a个无盖方盒子的容积最大 .小结 求最优化问题，关键是在某个范围内建立目标函数 ，)(xf若根据实际问题本身可以断定可导函数 一定存在最大值或最小)(xf值，而在所讨论的区间内部 有惟一的极值点，则该极值点一定)(xf是最值点.三 、学法建议1.本章重点是用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判定函数的单调性与凹向及拐点，利用导数求函数的极限的方法以及求简单函数的最大值与最小值问题.2.中值定理是导数应用的理论基础，一定要弄清楚它们的条件与结论.尽管定理中并没有指明 的确切位置，但它们在利用导数解决实际问题与研究函数的性态方面所起的作用仍十分重要.建议在学习过程中借助几何图形，知道几个中值定理的几何解释.133.洛必达法则求极限时，建议参照本章例 1 中的几点注意，并且和教科书第二章求极限的方法结合起来使用.4. 函数的图形是函数的性态的几何直观表示，它有助于我们对函数性态的了解，准确做出函数图形的前提是正确讨论函数的单调性，极值，凹向与拐点以及渐近线等，这就要求读者按教材中指出的步骤完成.
