多元函数微分学的几何应用

1、,第四节 导数的应用,一、Lagrange中值定理,二、LHospital法则,三、函数的单调性与极值,四、曲线的凹凸性与拐点,五、函数曲线的渐近线,六、函数图形的描绘,一、Lagrange中值定理,或,几何解释,注意 Lagrange中值定理亦称微分中值定理,它精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.它是沟通导数和函数之间的桥梁.,推论1,推论2,例2-34 证明,证明,例如,二、LHospital法则,1,定理2-4 LHospital法则,如果函数 与 满足下列三个条件,(1) 当 (或 )时,函数 与 都趋于 或都趋于 ;,(2) 当 (或 )时,函数 与 都存在,且 ;。

2、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组,高等数学A,6.3.1 空间曲线的切线及法平面 6.3.2 曲面的切平面及法线,6.3 多元函数微分的应用,第6章 多元函数微分学,6.3 多元函数微分的应用,6.3.1 空间曲线的 切线及法平面,切线及法平面的概念,曲线方程为参数方程的情况,习例1-3,曲线为一般式的情况,习例4,6.3.2 曲面的切平面及法线,一般方程的曲面的切平面及法线,特殊方程的曲面的切平面及法线,求切平面及法线习例5-10,小结,曲线的切线及法平面曲面的切平面及法线,一、空间曲线的切线与法平面,复习: 平面曲线的切线与法线,已知平面光滑曲线,切。

3、,第五章,一、立体体积,二、曲面的面积,三、物体的质心,四、物体的转动惯量,五、物体的引力,机动 目录 上页 下页 返回 结束,重积分的应用,1. 能用重积分解决的实际问题的特点,所求量是,对区域具有可加性,从定积分定义出发 建立积分式,用微元分析法 (元素法),分布在有界闭域上的整体量,3. 解题要点,画出积分域、选择坐标系、确定积分序、,定出积分限、计算要简便,2. 用重积分解决问题的方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、立体体积,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,占有空间有界域 的立体的体积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,任。

4、第六节微分法在几何上的应用 二空间曲线的切线与法平面 三曲面的切平面与法线 一一元向量值函数及其导数 引言 在多元函数部分 我们可以利用偏导数来确定空间曲线的切线和空间曲面的切平面 在一元函数微分学中 我们可以利用导数确定曲线上某点处的切线斜率 并求出其切线和法线方程 设空间曲线 的参数方程为 一 预备知识 一元向量值函数及其导数 若记 则 方程成为 1 一元向量值函数的定义 其中D叫函数的定义域。

5、 第九章多元函数微分法的应用 在高数上册中， 我们讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数.但在许多 实际应用问题中，我们往往要考虑多个变量之间的关系，反映到数学上， 就是要考虑一个变 量（因变量）与另外多个变量（自变量）的相互依赖关系. 由此引入了多元函数以及多元函 数的微积分问题. 本章将在一元函数微积分学的基础上，进一步讨论多元函数的微积分学. 讨论中将以二元函数为主要对象，这。

6、2019/5/3,阜师院数科院,第六节,复习 目录 上页 下页 返回 结束,一、空间曲线的切线与法平面,二、曲面的切平面与法线,多元函数微分学的几何应用,第八章,2019/5/3,阜师院数科院,复习: 平面曲线的切线与法线,已知平面光滑曲线,切线方程,法线方程,若平面光滑曲线方程为,故在点,切线方程,法线方程,在点,有,有,因,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/5/3,阜师院数科院,一、空间曲线的切线与法平面,过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,位置.,空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限,平面.,点击图。

7、多元函数微分学,多元函数的微分学内容：,是否存在、是否可微，偏导数是否连续，以及他们之间的关系,2.求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、,3.求二元、三元函数的方向导数和梯度;,二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数;,1.判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数,该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与,4.求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，,空间解析几何的综合题，应结合起来复习;,5.多元函数的极值或条件极值在几何、,物理与经济上的应用题;,求一个二元连续函数,在一个有界平面区域上的最大值和最小值。,. 。

8、131第五章 多元函数微分学3 多元函数微分学的应用【考试要求】1. 了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程(数学二、三不要求).2. 理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值132和最小值,并会解决一些简单的应用问题.3. 了解二元函数的二阶泰勒公式(数学二、三不要求).一、基本概念1. 二元函数极值的定义设函数 定义于平面点集 上, 为 的内点.若存(,)zfxyD0(,)Pxy在 的某。

9、第12章 多元函数微分学的MATLAB求解,编者,Outline,12.1 多元函数的基本概念 12.2 偏导数 12.3 全微分 12.4 多元函数微分学的几何应用 12.5 方向导数与梯度 12.6 多元函数的极值 12.7 多元函数的泰勒公式 12.8 最小二乘法及其MATLAB实现,12.1 多元函数的基本概念,1.平面点集与n元空间坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合，称为平面点集，记作我们用 表示 n 元有序实数组 的全体所构成的集合，为了在集合 中的元素之间建立联系，在 中定义线性运算如下：设 为 中任意两个元素， ，规定这样定义了线性运算的集合 称为 n 维空间。 2.多元函数。

10、第五章 多元函数的微分学,5.1 多元函数的基本概念,5.2 多元函数的偏导数,5.3 多元函数的全微分,5.4 多元复合函数及隐藏函数求导法则,5.5 多元函数的极限,5.6 多元函数微分法在经济上的应用,5.1 多元函数的基本概念,一、平面点集,例1:,例2:,y,x,o,定义,例3:,y,-r,o,二、邻域,内点:,外点:,界点:,开集:,开区域:,注意：开集不一定是开区域,y,x,o,o,o,o,闭区域:,区域:,有界区域与无界区域,二、空间解析几何简介,1. 空间直角坐标系O-XYZ(右手法则),坐标轴:,坐标原点:,坐标平面:,卦限:八个卦限,空间内的点,问题：空间任一点的坐标如何确定呢？,4。

11、第七节 多元函数微分学的几何应用本节概念、公式多，求同一类几何图形的方程根据所给曲线方程形式的不同，方法也不同一、空间曲线的切线与法平面空间曲线 的参数方程是 xt,yt,zt()t重要概念：光滑曲线 切线 切向量 法平面切向量： 00(),()tyzt切线方程： 000()()xttt法平面： 0()yzt曲线的向量方程和切向量若向量值函数 在 处可导，且 ，则 的矢端曲线 在 的终点处存在()rt00()rt()rt0()rt切线， 就是切线的方向向量，切线方程为0 0Tt二、曲面的切平面与法线设曲面 的一般方程是(,)0Fxyz重要概念：光滑曲面 切平面 法向量切平面的方程是 0。

12、8.9 多元函数微分学应用案例,第八章 多元函数微分学,高等数学,一、竞争性产品生产中的利润最大化,一家制造计算机的公司计划生产两种产品：一种使用27英寸 (in,lin=0.0254m)显示器的计算机，而另一种使用31英寸显示器的 计算机除了400000美元的固定费用外，每台27英寸显示器的计 算机成本为1950美元，而31英寸的计算机成本为2250美元制造 商建议每台27英寸显示器的计算机零售价格为3390美元，而31英 寸的零售价格为3990美元营销人员估计，在销售这些计算机的 竞争市场上，一种类型的计算机每多卖出一台，它的价格就下降 0.1美元此外，一种。

13、1/48,二、曲线的弧长,第六节,一、空间曲线的切线与法平面,三、曲面的切平面与法线,多元函数微分学在几何上的简单应用,第五章,2/48,一、空间曲线的切线与法平面,1、空间曲线 的参数方程:, 可以看作是从区间,的一个连续映射,r 的像,的轨迹就是曲线。,r (t)的像就是向径,曲线也可以写为,3/48,例如,圆柱螺旋线,的参数方程为,上升高度, 称为螺距 .,4/48,设空间曲线 的方程为,2. 简单曲线和有向曲线,上连续，, 为连续曲线；,如果向量值函数r(t)在区间,如果 为连续曲线， 且任取,都有 ，,即在,上r(t)为单射， 则称 为简单曲线。,如果 为简单曲线,。

14、第五章 多元函数的微分学,5.1 多元函数的基本概念,5.2 多元函数的偏导数,5.3 多元函数的全微分,5.4 多元复合函数及隐藏函数求导法则,5.5 多元函数的极限,5.6 多元函数微分法在经济上的应用,5.1 多元函数的基本概念,一、平面点集,例1:,例2:,y,x,o,定义,例3:,y,-r,o,二、邻域,内点:,外点:,界点:,开集:,开区域:,注意：开集不一定是开区域,y,x,o,o,o,o,闭区域:,区域:,有界区域与无界区域,二、空间解析几何简介,1. 空间直角坐标系O-XYZ(右手法则),坐标轴:,坐标原点:,坐标平面:,卦限:八个卦限,空间内的点,问题：空间任一点的坐标如何确定呢？,4。

15、1,一、多元函数微分法在几何中的应用,1.,求曲线在切线及法平面,(关键: 抓住切向量),求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量),2.,切线方程为,法平面方程为,(1) 空间曲线的切线与法平面,2,两曲面在点,3,() 曲面的切平面与法线,切平面方程为,法线方程为,法向量为,4,例1. 求曲线,在点(1,1,1) 的切线,解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线:,法平面:,即,与法平面.,5,例2 证明曲面,与定直线平行,证: 曲面上任一点的法向量,取定直线的方向向量为,则,(定向量),故结论成立 .,的所有切平面恒,6,自测12/一、选择题：,7。

16、1,第六节,一、空间曲线的切线与法平面,二、曲面的切平面与法线,多元函数微分学的几何应用,第九章,2,复习: 平面曲线的切线与法线,已知平面光滑曲线,切线方程,法线方程,若平面光滑曲线方程为,故在点,切线方程,法线方程,在点,有,有,因,3,一、空间曲线的切线与法平面,过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法,位置.,空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限,平面.,点击图中任意点动画开始或暂停,4,（1） 曲线方程为参数方程的情况,切线方程,（两点式）,5,此处要求,也是法平面的法向量,切线的方向向量:,称为曲线的切向量 .,不全为0,。

17、多元函数微分学的几何应用内容要点：一，求空间曲线的切线与法平面设空间曲线为 则过曲线上点 的切线方程为),(,tzytx),(0zyx)()()(0/0/0/ tztytx法平面方程为0)()()( 0/00/0/ ztytt1 求曲线 在点 处的切线方程与法平面2sin4,co1,sinzyx 2,1方程.2 求曲线 在 处的切线方程与法平面方程.2,ttt3 求曲线 在 处的切线方程与法平面方程.bzayxsinco4t二， 求曲面的切平面与法线方程设曲面方程为 ，则过曲面上点 的切平面方程为0),(F),(0zyx0)(,(, 0/0/0/ zyxFFxzyx zy法线方程为= =),(0/zyxF),(0/zyx),(0/zyxz例题例 1 求曲线 在点 处的切线方程。

18、二、空间曲线的切线与法平面,第六节,一、一元向量值函数及其导数,三、曲面的切平面与法线,多元函数微分学的几何应用,第八章,一、一元向量值函数及其导数,引例: 已知空间曲线 的参数方程:, 的向量方程,对 上的动点M ,即 是,此方程确定映射,称此映射为一元向量,的终点M,的轨迹 ,此轨迹称为向量值函数的终端曲线 .,值函数.,要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性，就需要引进向 量值函数的极限、连续和导数的概念.,定义: 给定数集 D R , 称映射,为一元向量,值函数（简称向量值函数）, 记为,定义域,自变量,因变量,向量值函数的极限、连续和。