1、1/48,二、曲线的弧长,第六节,一、空间曲线的切线与法平面,三、曲面的切平面与法线,多元函数微分学在几何上的简单应用,第五章,2/48,一、空间曲线的切线与法平面,1、空间曲线 的参数方程:, 可以看作是从区间,的一个连续映射,r 的像,的轨迹就是曲线。,r (t)的像就是向径,曲线也可以写为,3/48,例如,圆柱螺旋线,的参数方程为,上升高度, 称为螺距 .,4/48,设空间曲线 的方程为,2. 简单曲线和有向曲线,上连续，, 为连续曲线；,如果向量值函数r(t)在区间,如果 为连续曲线， 且任取,都有 ，,即在,上r(t)为单射， 则称 为简单曲线。,如果 为简单曲线, 且,则称 为简单
2、,闭曲线。,则称,5/48,对于选定了参数t的曲线，我们规定t增大的,的方向为曲线的正方向。对于规定了方向的曲线，,我们称为有向曲线。一般讨论的曲线均为有向曲线。,3.空间曲线的切线与法平面,设空间曲线 的方程为,6/48,切线方程。,我们来讨论 在点,处的,与平面曲线的切线一样， 空间曲线上点,处的切线也定义为曲线,当点P沿曲线趋向于点,时的极限位置,7/48,要求此切线方程。关键在于求出一个方向向量。,。从而向量,与P对应的向径分别为,易知,对上式取极限有,8/48,从而割线变为曲线 的切线，,由此可见向径r(t)的导数,相应的方向向量变为切线的 方向向量,表示曲线 在相应点,的切线的方向
3、向量。,9/48,其中,为曲线上动点M(x,y,z)的向径，t参数。,时， 曲线上都存在切线。,消去参数 处的切线方程为,若切线方向连续变化， 此时称曲线为光滑曲线。,如果不是光滑曲线， 但将 分成若干段后，如果每,10/48,段都是光滑曲线，则称为分段光滑曲线。,过点 且垂直于 处切线 的直线, 称为,曲线 的法线， 这些法线显然位于一个平面内，,此平面为在点 处的法平面,法平面的法向量, 所以法平面,的方程为,11/48,例 求曲线,在点 M (1, 1, 1) 处的切线,方程与法平面方程.,解：,点(1, 1, 1) 对应于,故点M 处的切向量为,因此所求切线方程为,法平面方程为,即,思
4、考: 光滑曲线,的切向量有何特点?,答:,切向量,12/48,曲线为一般式的情况,光滑曲线,曲线上一点, 且有, 可表示为,处的切向量为,13/48,则在点,切线方程,法平面方程,有,或,14/48,也可表为,法平面方程,(自己验证),15/48,例5. 求曲线,在点,M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程.,切线方程,解法1 令,则,即,切向量,16/48,法平面方程,即,解法2 方程组两边对 x 求导, 得,曲线在点 M(1,2, 1) 处有:,切向量,解得,17/48,切线方程,即,法平面方程,即,点 M (1,2, 1) 处的切向量,18/48,6.2 曲线的弧长,弧长,折线
5、的极限,对于空间简单曲线 ：, 的两个端点A,B分别对应 ,在 上介于A,B,之间分别沿t增大的方向依次取n-1个分点，,他们把分成了n段。用直线段把相邻分点连接起来得,到一折线，它的长度为,19/48,定理6.1 弧长计算公式：,如果不论分点怎么选取，最大长度,折线长度有确定的极限s,线弧为可求长的.并称此极限为曲线的长 ,则称此曲,即,20/48,证明：设分点 对应的参数分别为,，这样便有,首先来求,利用拉格朗日中值公式得,其中,21/48,为使上式右端根式中的函数在 同一点处取值， 将其变形得到,于是有,其中,令,，由定积分的定义和存在定理可知,22/48,利用不等式,这样， 由(6.1
6、3)(6.14)两式可知，要想证明弧长,因为,公式，只需要证明,由(6.12)可知,在,上连续，从而一致连续，,23/48,证毕。,于是,特别当 时有,24/48,平面曲线为空间曲线的特例(z=0) ：对于平面曲线,弧长为,(1) 如果曲线弧由直角坐标方程给出:,则参数方程为 x=x ,y=f(x), 于是有,25/48,(2) 曲线弧由极坐标方程给出:,因此所求弧长,则得,26/48,例 计算摆线,一拱,的弧长 .,解:,27/48,例：求平面曲线的弧长：,例：求螺旋线一个螺距之间的长度：,28/48,弧微分,设曲线的参数方程为,可以将弧长视为参数 t 的函数,这样，可得弧长的微分（弧微分）
7、为：,则t 增大的方向也是 s 增大的方向，且有,29/48,自然参数,既然弧长可以视为参数 t 的函数,将反函数 t = t(s) 代入曲线参数方程,即弧长 s 成为曲线的参数，称之为自然参数,性质：,为单位切向量,30/48,6.3 曲面的切平面与法线,曲面的参数方程,圆柱面方程,其参数方程为,向量的形式,即圆柱面可以看作平面区域 到 的连续映射下,的像。,31/48,解：,任取一点,如右图，,则,因此，球面可以看成是平面区域,到 的连续映射（6.22）的像。,例6.6 建立半径为 的球面的参数方程。,32/48,一般的，曲面S看做某区域D到空间Oxyz的某一连续,映射的像，,从而S的方程
8、可表为,或写成向量的形式,此二式称为曲面的参数方程，,曲面上的曲线的表示,若在D中固定,则此映射r下的像点的集合应是,曲面S上的一条曲线，,称为曲面S上的u曲线，,方程是,33/48,同理可得曲面S上的v曲线的方程为,这样，过曲面S上的每一点P，就有u曲线和一条v,曲线，它们的交点就是P。,u曲线族和v曲线族构成曲面S,上的参数曲线网。,曲面S可以看成 是映射r将平面uOv上 的区域D在R3中变形 后得到的，而D内的 坐标网相应的变成了曲面S的参数曲线网。如图,34/48,即为球面的经线。,即为球面的纬线。,35/48,复习,例6.7 机械工程中常见的一种曲面称为正螺面，它是 当长为l的一动直
9、线段在平面上匀速地绕与此平面垂直的 轴旋转，而此直线段所在平面又匀速地沿此轴向上或向 下运动时，该直线段的运动轨迹. 试建立它的方程。,解,建立坐标系，设运动开始时直线段位于x轴的正,方向上，且直线段以原点为起点。,记为OM。,垂直移动的速度为b0.,正螺面上的任一点P(x,y,z)与z轴的距离为u。,36/48,令,于是正螺面的参数方程为,曲面的切平面与法线,曲面S的参数方程为,其中r在D内连续，在点 存在偏导数,37/48,且,（点 称为曲面的正则点）,曲面S上过点 的u曲线为,其在 的切向量为,在点 的切向量为,同理可得v曲线,上述u曲线和v曲线的切线,若 是正则点，所以向量,不平行，,
10、以 为法线方向,确定了一个平面,它是过点 且,向量的平面。,38/48,其方程为,在S上过点 任一条光滑曲线,其中,上式两端在 处对 求导，,是何种关系？,曲面S上过点 的任一曲线在点 的切线与平面,线性表示，,于是曲线 在点 的切向量可用,故曲线 在点 的切线必在平面 上。,由曲线 的任意性知：曲面S上过点 的任一曲线在,39/48,点 的切线均在平面 上。,于是称平面 为曲面在点 的切平面。,过点 且,垂直于切平面 的直线称为曲面在点 处的法线。,的方向向量称为法向量。,法线,于是S在点 的切平面方程是：,法线方程为：,40/48,若,均在区域D内,连续，,则称曲面S是一光滑曲面。,若曲面
11、S的方程是直角坐标方程,且,不妨设,确定二元函数,于是方程,于是得曲面的参数方程,于是,故法向量取,41/48,于是曲面在点 的切平面方程为：,法线方程为：,若曲面S的方程是直角坐标方程,于是曲面在点 的切平面方程为：,法线方程为：,42/48,全微分的几何意义,二元函数 在点,的全微分为,二元函数的全微分是：用切平面上的改变量,代替曲面上的改变量。,-局部线性化,43/48,例6.8求正螺面 在,处的切平面与法线方程，其中常数a为非零常数。,解,于是对应于点（a，-a，2）处的法向量可取为,44/48,从而得切平面方程,法线方程,45/48,例9. 求球面,在点(1 , 2 , 3) 处的切,平面及法线方程.,解: 令,所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,即,(可见法线经过原点，即球心),46/48,例10.,如果平面,与椭球面,相切,提示: 设切点为,则,(二法向量平行),(切点在平面上),(切点在椭球面上),47/48,补充题 1. 求曲线,在点(1,1,1) 的切线,解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线:,法平面:,即,与法平面.,48/48,2. 证明曲面,与定直线平行,证: 曲面上任一点的法向量,取定直线的方向向量为,则,(定向量),故结论成立 .,的所有切平面恒,
