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第五章§3多元函数微分学的应用.doc

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1、131第五章 多元函数微分学3 多元函数微分学的应用【考试要求】1. 了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程(数学二、三不要求).2. 理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值132和最小值,并会解决一些简单的应用问题.3. 了解二元函数的二阶泰勒公式(数学二、三不要求).一、基本概念1. 二元函数极值的定义设函数 定义于平面点集 上, 为 的内点.若存(,)zfxyD0(,)Pxy在 的某个邻域 ,使得对于该邻域内的任意点0P0UP

2、,都有 (或 ),则(,)()y0(),)fyf 0,)(,)ffxy称函数 在点 处取得极大值(或极小值).,fx0x2. 驻点133方程组 的解称为函数 的驻点.0(,),xyf (,)zfxy二、重要结论1. 极值存在的必要条件若 在点 处的偏导数存在,且 是 的(,)zfxy0()y0(,)xy(,)zfxy极值点,则 是该函数的驻点.02. 极值存在的充分条件设 在点 的某邻域内有二阶连续的偏导数,且(,)zfxy0()Pxy, ,令0,f, , ,则(,)xfA0()xyB0(,)yfxC134(1) 当 时, 在 处取得极值,且当 时取20ACB(,)fxy0)0A得极大值,当

3、时取得极小值;(2) 当 时, 在 处不取得极值;2(,)f0,)(3) 当 时, 在 处是否取得极值不能确定.0xy3. 求函数 极值的步骤()zf(1) 求函数的驻点及一阶偏导数不存在的点(构成可能的极值点);(2) 对每个驻点利用取得极值的充分条件判定其是否极值点;对每个偏导数不存在的点,一般利用定义判定其是否极值点;(3) 求出极值.注 驻点不一定是极值点,偏导数不存在的点也可能是极值点.1354. 条件极值的求法拉格朗日乘数法求函数 在约束条件 下的极值的步 (,),)zfxyD0(,)xy骤:(1) 作辅助函数 ,其中 为待定的常数;(,)(,)()Ffxy(2) 解方程组 得可能

4、的极值点 ;0,()xyy(,)xy(3) 判定可能的极值点是否极值点(对实际问题可由实际意义来确定,不必加以判定,一般不能用判定极值的充分条件讨论).注 条件极值有时转化为无条件极值计算.1365. 函数的最大值与最小值的求法设 在有界闭区域 上连续.(,)zfxyD(1) 求出函数在 内部所有可能极值点处的函数值;(2) 求出函数在 的边界上所有可能极值点处的函数值;(3) 比较上述两类值的大小,最大者即为最大值,最小者即为最小值.注 1 若已知函数 在 内必取得最值,而函数在该区域内(,)zfxyD有惟一可能的极值点 ,则 即为所求的最值.00)注 2 与一元函数不同的是, 在 内的惟一

5、极值点不一定(,zf是函数的最值点(见本节题型 4 的例 1).1376. 偏导数的几何应用(数学二、三不要求)(1) 空间曲线的切线及法平面设空间曲线 : 曲线上一点 ,该点参数为 ,则(),xtyzt0(,)Mxyz0t曲线 在点 处的切线方程为 0(,)M,0()xyttt其中 是点 处的切向量.00(,()T0(,)xyz曲线 在点 处的法平面方程为 ,xyz.00000()()()txtt138(2) 空间曲面的切平面及法线设空间曲面 : ,则曲面 在其上一点 处的0(,)Fxyz0(,)Mxyz切平面方程为 ,000000(,)(,)(,)(x y zyzyF其中 为 在 点处的法

6、,),x znzxx向量.特别地,曲面 在点 处的切平面方程为(,)fy0(,)y.00 0(,) ()xfxz曲面 在 处的法线方程为Mz139,000(,)(,)(,)xyzFzxFxy特别地,曲面 在 处的法线方程为f0M00 1.(,)(,)xyf法线向量 的方向余弦为,ynff, , .21cosxy21cosyxf21cosxyf7. 二元函数的泰勒公式(数学二、三不要求)定理(泰勒公式):设 在点 的某个邻域内连续且(,)zf0(,)y具有直到 阶的连续偏导数, 为此邻域内任一点,则1n0xhk1402000 01(,)(,)(,()(,!fxhykfxyhkfxyhkfxy,1

7、,!nnRn.1001()(,)()nRhkfxhykxy三、典型例题题型 1 偏导数的几何应用(数学二、三不要求)例 1 求下列各曲线在指定点处的切线与法平面方程:(1) 0132cos,:intutxedyz在 处;0t141(2) 对应于 处.2294173,:()xyz01x解 (1) 对应于点 .0t02,M, 32cos,sinttt txeytze处的切向量 ,01tT所求切线方程为 ,xy法平面方程为 ,即 .2320z2380xyz142(2)先求切点.令 ,则01x202054,yz解之得 ,0,yz所以有两个切点 .121,P下面求切线的方向向量 .取 作为参数,则 ,T

8、x1d,yzTx为此在方程组中,两边分别对 求导得14322061d,yzxx解之得 212d, ,xyyzx.12,PPT所以切线方程分别为 与 ,112yxz12yxz相应的切平面方程分别为 144与 ,120xyz 120xyz即 与 .0z2xy注 求 时也可令T2294173, , ,FxyzGzy代入公式 .,zxyyFFTGG例 2 求下列各曲面在指定点 的切平面与法线方程:0M(1) 在23zx处;12(,)145(2) 在点 处的切平面过直线2231xyz0M. 61:l解 (1)法向量 ,102102464, ,nxy切平面方程为 ,即 ,z0xz法线方程为 .(2)设切点

9、为 ,令 ,00,Mxyz2231,Fyzyz则 处的切平面的法向量为 .0 00246,MMnxx146切平面方程为 00023.xyz1()在曲面上, 0M1.z2将(2)代入(1)式得 002.3()又 直线在切平面上, , 2n0.xyz4()又 点 在直线上, 满足(3)式,632,即 001.xyz5()联立方程(2) (4) (5)解得两个切点 ,1230,M对应的法向量1 26306, ,Mnn147故在 及 的切平面方程分别是12,M230,与 ,46xyz3620xz即 与 .7相应的法线方程分别是 与 .1246yz012xyz例 3 设函数 在点 附近有定义,且,f,,

10、则( ).00,xyff(A) ,ddzxy(B)曲面 在点 处的法向量为,f0,f31,148(C)曲线 在点 处的切向量为0,zfxy0,f103,(D)曲线 在点 处的切向量为,fy,f,解 (C)正确.题型 2 求函数的无条件极值例 求下列各函数的极值:(1) ;422(,)fxyxy(2) 函数 由方程 所确,z 410zxyz定.149解 (1)解方程组 3420(,),xyfxy由对称性可知 ,得 ,组合为三个驻点 .0xy12301,M令 ,221,xyyAfBCfy在 处, ,且1,M960CB为极小值.01,Af在 处, ,3,2150且 为极小值.1012,Af在 处,

11、,判别法失效.2M0CB在 的某邻域内,总存在点 充分小),使得, 0,(,,也总存着点 充分422,f (,小),使得 非极值.40,ff(2)解方程组40122,.zxyy当 取得极值时,必有 故上述方程组化(,)zfx0,zxy151简为 20,xy解之得驻点 ,此时 ,解得 .1,P2410z126,z由(1)得 ,由(2)得 ,zx2y于是 ,33,xABzz2231212120044, , ,zyCC152为极小值.21024,ACBzf注 由隐函数存在定理,应有 , 无使 与 不存40zFzxy在的点.同理可知 为极大值.216,zf题型 3 求函数的条件极值例 求函数 在条件

12、下的极值.uxyz2210xyz解 令 (,) ,F153解方程组 2210,xyzF得 和 ,133,xy12332,xyz点 和 为可能的极值点.1P21,P因为 在球面 上连续且不为常数,所uyz221yz以 必在其上取得最大值和最小值,且二者不相等,而这里只有两个可能的极值点,因此经比较函数 必在 点取得最大值 ,在u1P13uP点取得最小值 ,它们2P23P也分别是极大值和极小值.154题型 4 求函数的最值例 1 求函数 在区域 上233(,)zfxyyx216:Dxy的极值与最值.解 解方程组 得驻点 .260,xyf 120,P 1111263600,PPPpABCABf为极小

13、值. 222 2606, ,PPP155非极值.20,f下面考察函数在 的边界 上取得极值的情况.D216xy将 代入 得2216yx,f, ,3 248430ggxgx为最大值, 为最小值.经比较, 为最小值, 为最大值.016,f 41,f注 1 求最值时,可不必讨论是否极值.注 2 内惟一极值点不一定是最值点(如本例).D注 3 的边界上的极值可用条件极值讨论.例 2 求曲线 上21,zxy到原点的最长与最短的距离.156解 设 为曲线上任意一点,它到原点的距离为,Pxyz.此题化为求 在条件22dxyz22,fdxyz与 下的最大值与最小值问题.利用拉格朗0z10日乘数法,令 ,解22

14、21,Fxyz方程组 由(1)-(2)得 ,203415,xyzxyyx代入(4) (5)得 ,21,zx157,解之得 ,210x132,xyz得两个驻点 .32,由问题的实际意义, 的最大与最小值一定存在,经比较d.9595大 ,d例 3 设一矩形的周长为 2,现让它绕其一边旋转,求它的圆柱体体积为最大时的矩形的面积及圆柱体的体积.解 设矩形的两个边长分别为 由题意得 .不妨设矩,xy1xy形绕着边长为 的一边旋转,则圆柱体的体积为 ,于是问题转y 2V化为求 在条件 下2Vx1y的最大值.158由拉格朗日乘数法,作辅助函数 解21(,)(),Fxyxy方程组159得唯一可能的极值点 .由实际意义可知 的201,xyF213, V最大值在 取得,最大值为 ,对应的矩形面积为3427,V29.S例 4 求 , 的值,使得包含圆 在其内部的椭圆ab21()xy有最小面积.21xyab0()解 由题意,当椭圆与圆相切时,椭圆才有最小面积.设切点为160,则()Pxy22211,()().xbyax由(1)得 代入(2)得221,(),bxaab于是问题转化为求函数 在条件240.abS下的最小值.利用拉格朗日乘数法可得当 时椭圆有最小面积.32,ab

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