1、,第二节 初等函数的导数,一、按定义求导数,三、反函数的求导法则,四、复合函数的导数,二、函数四则运算的求导法则,五、隐函数的求导法则,六、对数求导法,七、初等函数的导数,八、高阶导数,一、按定义求导数,常数的导数,2幂函数的导数,所以,3 正弦函数和余弦函数的导数,即,4对数函数的导数,即,二、函数四则运算的求导法则,证(1),证(3),推论,解,解,解,例2-7 已知函数 ,求,同理可得,即,解,同理可得,即,例2-8 已知函数 ,求,三、反函数的求导法则,定理2-1,即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,于是有,证明,即,例2-10,解,特别地,当 时,解,同理可得,例2-11,即,
2、四、复合函数的导数,定理2-2,即 因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导.(锁链法则),或,推广,则复合函数 的导数为,或,解,解,比较熟练后,中间变量不必写出来,直接按锁链法则对复合函数求导.,解,例2-15 证明幂函数的求导公式 对任意实数指数 成立.,证明 将 化为 ,则,例如,解,例2-18 放射性同位素碘 广泛用来研究甲状腺的功能.现将含量为 的碘 通过静脉推入病人的血液中,血液中 时刻碘的含量为 (其中 为正常数),试求血,液中碘的减少速率 .,解,解,例2-19,五、隐函数的求导法则,如果联系两个变量 和 的函数式是由方程 来确定的，这样的函数称
3、为隐函数.,（不能显化）,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,直接从方程 两边来求导,称为隐函数的求导法则.,例2-20 已知函数 是由椭圆方程 所确定 的,求,解 方程两边分别关于 求导,由复合函数求导法则和四则运算法则有,解得,例2-21 已知函数 是由方程 确定的.求 和,解 方程两边分别关于 求导,由复合函数求导法则和四则运算法则有,解得,所以,例2-22 设生物群体总数的生长规律为,其中 均为常数,且 .试求生长率,解 将 写成如下形式,两边对 求导得,整理得,六、对数求导法,方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.,适用范围:,解 两边取对数，得,两边对 求导，得,例2-23 已知函数 ,求,所以,解 两边取对数，得,例2-24 已知函数 ,求,1.基本初等函数的导数公式,七、初等函数的导数,2.函数的和、差、积、商的求导法则,或,3.复合函数的导数,八、高阶导数,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶导数的导数称为三阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,例2-25 已知指数函数 ( 为常数) ,求,解,解,例2-27,解:,解:,同理可得,例2-28,主要内容,1.基本初等函数的导数公式2.函数四则运算的求导法则3.复合函数的导数4.隐函数的导数5.对数求导方法6.高阶导数,
