1、多元函数连续，可导，可微之间的关系1、一元函数涉及的是两维曲线，多元函数涉及到的是至少是三维的曲面。 一元函数的可导可微只要从左右两侧考虑； 多元函数的可导可微，必须从各个角度，各个方向，各个侧面，进行前后、 左右、上下、侧斜等等方向的左右两侧考虑。 2、一元函数，只要曲线光滑-没有尖点、没有断点，切线垂直于 x 轴就行， 也就是不能斜率为无穷大； 多元函数的要求就是一方面曲面光滑-没有裂缝、没有皱褶。同样没有垂直 于各个坐标的垂直切线。 3、一元函数的求导，就是简单的沿着 x 轴考虑曲线变化率，考虑曲线的连续性、 可导性、凹凸性等等； 多元函数要考虑在某一个方向的特殊导数-方向导数。方向导数
2、取得最大值 的方向，就是梯度的方向，而它的反方向一定存在一个力，整体存在一个力 场。例如温度增加得最快的方向，其反方向就是热流的方向；如电势增加得 最快的方向，反方向就是电场力的方向。这样的例子举不胜举。 4、一元函数的可导可微没有什么惊人区别，工程上的误差计算： y = (dy/dx)x, dy/dx 利用的是可导， x, y 运用的就是可微。 无论是牛顿的近似计算，还是用麦克劳琳级数计算，还是用泰勒技术计算， 也都是运用的可导性与可微性。 在多元函数中，就不一样了，u = f(x,y,z), 随便写出 du/dx, du/dy, dy/dz 都是错误的。我们可以有三种写法： du = (u
3、/x)dx + (u/y)dy + (u/z)dz du/dt = (u/x)dx/dt + (u/y)dy/dt + (u/z)dz/dt grad u = (u/x)i + (u/y)j + (u/z)k (i，j, k 是单位矢量) 5、一元函数可微就是可导，可导就可微； 多元函数可导就含糊了，沿 100 万个方向可偏导，只要一个方向不可偏导， 就不可微，只要可微，就表示沿各个方向可偏导； 多元函数，在任何方向的导数都是偏导。没有全导的概念，只有偏导、偏 微、全微的概念。如果讲全导，则是意指上面的 du/dt 的情况。 6、在一元函数，我们可以计算极值点。 在多元函数中，当然仍然有极值点的计算。但是可能多出了一个极值面， 或极值曲线的概念。例如，在引力场中，物体下滑时，沿什么样的曲线最 快？这就要涉及多元函数的张量问题。 7、一元函数，通常是常微分的解；多元函数是偏微分的解。 总而言之，言而总之，多元函数考虑的情况是三维以上的情况，考虑的因素多了许多，基本上仍然是一元微积分的应用。本质上没有区别，只是在复杂程度上，麻烦了许多
