线性方程3

1、第七章 非线性方程(组)的数值解法,数值分析,05:14:31,Numerical Analysis,2,本章内容,非线性方程求解,二分法,不动点迭代法及其加速,牛顿法、弦截法、抛物线法,求根问题的敏感性与多项式的零点非线性方程组的数值求解,05:14:31,Numerical Analysis,3,本讲内容,迭代格式加速算法收敛性,非线性方程求解介绍二分法及其收敛性不动点迭代及其加速,05:14:31,Numerical Analysis,4,非线性方程数值解法,考虑方程,若 f(x) 是一次多项式，则称为线性方程；否则称为非线性方程,f (x) = 0,若 f(x) = a0 + a1x + . . . + anxn ，则称为代数方程,n=1, 2, 。

2、方程求根,2,历史背景,代数方程的求根问题是一个古老的数学问题。理论上，n次代数方程在复数域内一定有n个根(考虑重数)。早在16世纪就找到了三次、四次方程的求根公式，但直到19世纪才证明大于等于5次的一般代数方程式不能用代数公式求解，而对于超越方程就复杂的多，如果有解，其解可能是一个或几个，也可能是无穷多个。一般也不存在根的解析表达式。因此需要研究数值方法求得满足一定精度要求的根的近似解。,3,根的概念,给定方程 f (x)=0，如果有a使得f(a)=0，则称a为 f(x) =0的根 或f(x)的零点.设有正整数m使得f(x)=(x-a)mg(x)且g(a) 0 。

3、一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能在美国的德克萨斯引起一场龙卷风吗？,Logistic方程与混沌,在生物学中，有一个刻画生物种群个体总量增长情况的著名的方程Logistic方程：,其中xn为某生物群体的第n代的个体总数与该群体所能达到的最大保有量时的个体数之比。 选定初值和比例系数r的值后，由方程就能生成一个数列：,考察迭代格式(Logistic方程 ),初值,1. 当参数r取值分别为1.2，2.5，3.2，3.5，3.8,考察其迭代序列的收敛情况,clc;clf; x=0.1; y= ; r=1.2; %改变取值得到相应的图形 hold on axis(0 100 0 1) for i=1:100x=r*x*(1-x);y=y,x;plot。

4、2020 4 23 1 第一章線性方程式系統 1 1線性方程式系統簡介1 2高斯消去法與高斯 喬登消去法1 3線性方程式系統的應用 Skip 1 2 1 1線性方程式系統簡介 n個變數的線性方程式 linearequation 係數a1 a。

5、科学计算与MATLAB,中南大学材料科学与工程学院 2010.10,第八讲 非线性方程求根,内容提要,引言 二分法 迭代法 Newton迭代法 MATLAB的非线性方程求根函数 小结,在工程和科学技术中许多问题常常归结为求解非线性方程式问题，例如在控制系统的设计领域，研究人口增长率等。例 关于真实气体的状态方程（Van der waals方程）为其中，P是气体压力，V是气体体积，T是绝对温度，R是气体常数。如果已知某气体的温度T及压力P，那么求体积V的方程为：,1、引言,非线性方程的一般形式： f(x)=0 代数方程： f(x)=a0+a1x+anxn （an0） 超越方程 ：f(x)中含。

6、第二章,非线性 方程求解,第二章 非线性方程求解目录,1 对分法 2 迭代法 2.1 迭代法的基本思想2.2 迭代法的收敛条件2.3 Steffensen方法简单迭代 法的加速 3 Newton法与弦截法3.1 Newton法3.2 弦截法 4 抛物线法,第二章 非线性方程求解概述,很多科学计算问题常 归结为求解方程：,非线性方程求解概述(续）,例如，从曲线y = x和y = lg x的简单草图可看出方程 lg x + x = 0有唯一的正根x*，但是没有求x*的准确值的已知方法，即使是对代数方程，要求其精确解也是困难的。对于二次方程ax2 + bx+c = 0，我们可以用熟悉的求根公式：,对于三、四次代。

7、第3章 线性方程组,3.1 n 维向量及其线性相关性,3.1 n 维向量及其线性相关性,如果 ai (i=1,2,n )是实(复)数叫做实(复)向量。,行向量是 1n 矩阵,记作 (a1,a2,an)； 列向量是 n1 矩阵,记作 (a1,a2,an)T。 如果 n 个分量全为零，叫做零向量，用 0 表示。 全体 n 元实向量组成的集合记作 Rn 。,常用 , , 等表示 n 元向量。,1n元向量的概念,定义3.1 由 n 个数 a1,a2,an 组成的有序数组称为 n 元向量,记作 (a1,a2,an)，其中 ai 称为第 i 个分量。,2向量的线性运算,(2) 与 之和 : + = (a1+b1, a2+b2, an+bn)。,k= 1时， = ( a1, a2, an), = +( ),。

8、第三章 线性方程组张祥朝光科学与工程系1circle6 线性方程组的解法，九章算术中已作了比较完整的论述。其中所述方法相当于现代的高斯消元法。circle6 在西方，线性方程组的研究是在莱布尼茨开创的。他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。circle6 1857年，德国Grassmann分析了线性无关，维度，以及内积circle6 1888年，意大利Peano给出了向量的严格定义21. 一般形式3. 向量方程的形式2. 增广矩阵的形式4. 向量组线性组合的形式1 2 31 2 33 4 52 1x x xx x x+ = + = 3 4 1 51 1 2 1 一、线性方程组的表达式方程组可简化为AX =。

9、线性方程组的求解,线性方程组,的矩阵形式为,线性方程组,其中,就称它是相容的,(1)如果有解，,(1)如果无解，就称它不相容.,称(A b)为线性方程组(1)的增广矩阵。,引例 用消元法解线性方程组,解,把方程组的消元过程与方程组对应的增广矩阵的变换过程放在一起做对比,（1）把方程组中第二个方程加上第一个方程的-2倍，把第三个方程加上第一个方程的-1倍，得,（2）交换上面方程组中第二与第三个方程的位置，得,（3）把上面方程组中的第三个方程加上第二个方程的 5倍，得,（4）再把上面方程组中的第三个方程两边同乘以-1/19， 得,一、线性方程组解。

10、数学模型实验课（一）,求解非线性方程,问题：已知L=30, C=0.5, M=51, 求W, 使得精确到 0.001 MW - LC - W =0 是关于未知量W的非线性方程 难于解析求解 不必要解析求解 求问题的近似的数值解,一. M文件的编辑与建立M文件具有普通的文本格式，可以用任何编辑程序建立和编辑。可以使用Matlab提供的M文件窗口来进行。在Matlab命令窗口的File菜单中选择New命令，出现子菜单，再选择m-file的命令，将得到M文件的编辑窗口可以编辑M文件：可以是一段程序或一个函数。编辑完成后，在此窗口的File菜单中选择save as的命令，得到对话框，输入文件名 *。

11、Chapter 1 Systems of Linear Equations,1.1 Introduction to Systems of Linear Equations 1.2 Gaussian Elimination and Gauss-Jordan Elimination 1.3 Applications of Systems of Linear Equations,1.1,1.2,1.1 Introduction to Systems of Linear Equations,A linear equation (線性方程式) in n variables:,ai : real-number coefficientsxi : variables needed to be solvedb : real-number constant terma1: leading coefficient (領先係數)x1: leading variable (領先變數),Notes: (1) Linear equations have no products or roo。

12、非线性 方程求解,杜党朝宫压舞矫卤慈机炎惊率韭典仆牢拯鸡辣隧易蛮蓑逐盘昌咀饱瓦象肢非线性方程求解非线性方程求解,非线性方程求解目录,1 对分法 2 迭代法 2.1 迭代法的基本思想2.2 迭代法的收敛条件2.3 Steffensen方法简单迭代 法的加速 3 Newton法与弦截法3.1 Newton法3.2 弦截法 4 抛物线法,嘶抉料姚蔼氦剃裳挝澜藩廊绰崭肩眷焰硬穷了姿龙涂夜赖跃绵肇淫艇欺凸非线性方程求解非线性方程求解,非线性方程求解概述,很多科学计算问题常 归结为求解方程：,退俘邮曾产笺释岁倪血学奖屑睫陈勇筒负凋君积阂蕉张国契宪肋担囤春砚非线性方程求解。

13、第九章常微分方程数值解法,常微分方程( ODEs 未知函数是一元函数) 偏微分方程( PDEs 未知函数是多元函数),微分方程,常微分方程,一阶方程：如二阶方程 ：如,同一个微分方程,具有不同的初始条件,(1) 用差商近似导数,差分方程初值问题Euler方法,微分方程离散化的方法,若用向后差商近似导数，即,向后Euler方法,（2）用数值积分方法,若对积分用梯形公式，则得,梯形公式,（3）用Taylor多项式近似,Euler方法,1Euler方法,的解作为微分方程初值问题的数值解，即,以差分方程初值问题,1.Euler方法,x0,x1,x2,x3,y0,h,h,h,用分段折线逼近曲线,解：Euler。

14、第二章 非线性方程的数值解法,王新年大连海事大学信息工程学院信号与图像处理研究所,简介（Introduction）,我们知道在实际应用中有许多非线性方程的例子，例如（1）在光的衍射理论（the theory of diffraction of light)中,我们需要求x-tanx=0的根（2）在行星轨道（ planetary orbits）的计算中,对任意的a和b，我们需要求x-asinx=b的根（3） 在数学中，需要求n次多项式xn + a1 xn-1+.+an-1 x + an 0的根,求f(x)=0的根,满足方程的x值通常叫做方程的根或解，也叫函数f(x)=0的零点。,非线性方程的一般形式 f(x)=0 这里f(x)是单变量x 的函数，。

15、椭圆的简单几何性质(1),一、复习回顾：,1.椭圆:,到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。,2.椭圆的标准方程：,3.椭圆中a,b,c的关系:,a2=b2+c2,当焦点在X轴上时,当焦点在Y轴上时,二、椭圆 简单的几何性质,1、范围：,-axa, -byb 椭圆落在x=a,y= b组成的矩形中,带着下列问题自学课本第29页倒数第八行第30页的第五行： 椭圆的另两个性质：对称性和顶点 (1)椭圆有何对称性？如何根据曲线方程判断出曲线的对称性？ (2) 什么是椭圆的顶点、长轴、短轴、长半轴长、短半轴长？椭圆有几个顶点？短半轴长？,自主探索，。

16、模线性方程 模线性方程组,henu 08wangnan,今天要解决的问题：,axb (mod n) a0 n0 x=? 如：4x2(mod 5),xa1 (mod n1)xa2 (mod n2)a0 n0 x=?,如：x2(mod 5) x3(mod 13),求解模线性方程？,axb (mod n) a0 n0 x=? 如：4x2(mod 5),1.是否有解？ 2.有几个解？ 3.这些解分别是多少？,？,分析,首先明确一点, 如果x是解(0=xn), 则对于任意整数k, x+kn也是解, 所以解应表示成一些剩余类xxi axb(mod n)等价于存在整数y, 使得 ax-ny=b 这是一个线性同余方程, 首先判断d=(a,n)是不是b的约数, 如果是, 等价于方程ax-ny=b, 相当于求解 axb(mod n), (a,n)=1。

17、第三章 线性方程组,杨世显 kite79yangyahoo.com.cn,3.3 线性相关性,定义3.14：如果向量组 中有一个向量可以由其余向量线性表出，那么向量组 称为线性相关的。,例：向量组,注意：,1)向量组 线性相关的充要条件是两向量成比例。,2)任意一个含有零向量的向量组一定线性相关。,3)在 中，如果两个向量 线性相关，那么 共线，如果三个向量 线性相关，那么 共面,定义3.14：向量组 称为线性相关的，如果存在数域P中的不全为零的数 使得：,注意：,1)以上两个线性相关的定义在 时是等价的。,2) 线性相关的充要条件为 。,定义3.15：一个向量组 不线性。

18、1.3 线性方程,一阶微分方程,（1.3.1）,定义,一、 线性齐次方程,（1.3.2）,为线性齐次方程。,求解思想：,将（1.3.2)进行变形，将方程左端整理成某一个函数的导数，再进行积分求解。,例1.3.1,求线性齐次方程,即方程（1.3.3）的通解为,一般地，对方程,即,整理得通解为,二、 线性非齐次方程,1.积分因子法,给方程两边乘以函数,两种解法,变成一个函数的导数，,，使左边,整理得：,积分得通解：,称为方程的积分因子。,2.常数变易法,先求（1.3.1）对应的齐次方程的通解为：,思想：将一个对应齐次方程的通解中的常数变为函数，代入原方程后确定出该。

19、4 迭代法的收敛性 /* Convergence of Iterative methods */,的收敛条件,充分条件: |B| 1,必要条件:,？,等价于对 任何算子范数有,4 Convergence of Iterative methods,证明：,“”：对任意非零向量有,But hey, you dont seriously expect me to compute Bk whenever I want to check the convergence, do you?,4 Convergence of Iterative methods,证明：,“” 若 是 B 的eigenvalue, 则k 是 Bk 的eigenvalue 。,则 (B)k = max | | k = | mk |, ( Bk ) | Bk | 0, (B) 1,“” 首先需要一个引理 /* Lemma */,对任意 0, 存在算子范数 | | 使得。

20、3.3 向量组的线性相关性,1. 线性相关, 线性无关及其几何说明,几何意义：,(1)两向量线性相关：两向量共线.,(2)三向量线性相关：三向量共面.,定义4：,例1：用定义判断线性相关性。,相,相,2. 判断线性相关性的定理,至少有一个向量可由其余 m-1 个向量线性表示,任一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表示,(1),(2),例1：例2：一个零向量线性相关，而一个非零向量线性无关。例3：例4：,即,未知量为,系数行列式,例6：,(3),部分相关则整体相关,整体无关则部分无关,(4),定理6：n维向量组 线性无关，,把每个向量的维数增加后，得到的新向量组 仍线。