1、1.3 线性方程,一阶微分方程,（1.3.1）,定义,一、 线性齐次方程,（1.3.2）,为线性齐次方程。,求解思想：,将（1.3.2)进行变形，将方程左端整理成某一个函数的导数，再进行积分求解。,例1.3.1,求线性齐次方程,即方程（1.3.3）的通解为,一般地，对方程,即,整理得通解为,二、 线性非齐次方程,1.积分因子法,给方程两边乘以函数,两种解法,变成一个函数的导数，,，使左边,整理得：,积分得通解：,称为方程的积分因子。,2.常数变易法,先求（1.3.1）对应的齐次方程的通解为：,思想：将一个对应齐次方程的通解中的常数变为函数，代入原方程后确定出该方程的通解。,即令,整理得通解为：
2、,线性微分方程解的性质:,1.齐次方程的解或者恒为零，或恒不为零。,2.齐次方程任何解的线性组合仍是它的解。,3.齐次方程的任一解与非齐次方程的任一解之和仍,为非齐次方程的解。,4.非齐次方程的两解之差为对应齐次方程的解。,5.非齐次方程的任一解与对应齐次方程的齐次方程,的通解之和是非齐次方程的通解。,初值问题,的解为,初值问题,的解为,例：1.3.3,整理得,线性非齐次方程初值解公式在理论上的意义,我们可以利用它来研究解得性质，对解进行“估值”。,于是,原题得证。,三、 Bernoulli方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边 , 得,换回原变量即得伯努利方程的通解.
3、,解法:,(线性方程),例1.3.5求初值问题,的解。,解：方程两边同乘以2y后得,通解为,代入初值条件得,在电感上的电压降为,由Kirchhoff回路电压定律知：,沿着任一闭合回路的电压降的代数和为零。,四、 线性微分方程的应用举例,例2 湖泊的污染,设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸，,这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20,立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水中流,入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊中混合均匀,的水的流出的速率是1000立方米每小时, 求该厂排污,1年时, 湖泊水中盐酸的含量.,解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为,因此有,该方程有积分因子,积分得,利用初始条件得,故,( 雅各布第一 伯努利 ),书中给出的伯努利数在很多地方有用,而伯努利定理,Bernoulli (1654 1705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,猜度术,则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他首次给出了直角坐,1713年出版了他的巨著,这是组合数学与概率论史上的一件大事,此外, 他对双纽线, 悬链,线和对数螺线都有深入的研究.,
