1、第3章 线性方程组,3.1 n 维向量及其线性相关性,3.1 n 维向量及其线性相关性,如果 ai (i=1,2,n )是实(复)数叫做实(复)向量。,行向量是 1n 矩阵,记作 (a1,a2,an)； 列向量是 n1 矩阵,记作 (a1,a2,an)T。 如果 n 个分量全为零，叫做零向量，用 0 表示。 全体 n 元实向量组成的集合记作 Rn 。,常用 , , 等表示 n 元向量。,1n元向量的概念,定义3.1 由 n 个数 a1,a2,an 组成的有序数组称为 n 元向量,记作 (a1,a2,an)，其中 ai 称为第 i 个分量。,2向量的线性运算,(2) 与 之和 : + = (a1
2、+b1, a2+b2, an+bn)。,k= 1时， = ( a1, a2, an), = +( ),加法满足4条运算律：,(1) + = + ； (2) ( + )+ = +( + )； 有+0n = ； 有( ) ,使 + ( ) =0n。,定义3.2 设 = (a1, a2, an) Fn, = (b1, b2, bn) Fn, F。,(3) 数 与 之乘积: = (a1,a2,an) ，简称数乘。,向量的加法与数量乘法统称为向量的线性运算，其运算规律与矩阵的相同,(1) = 当且仅当 ai=bi ， i=1,2,n。,F为数域, = 11 + 22 + + m m, Fn, , F有：
3、1=；,数乘满足4条运算律：,其他: (1) 有 0=0n ; k0n = 0n。,()=()；,(+)=+；,(2) 若 k =0n，则 = 0n 或 k=0。,(3) 向量方程 +x= 有唯一解: x= ,定义3.3 数域 F上的全体 n 元向量，在其中定义了上述的加法和数乘运算 , 称为数域 F上的n维向量空间，记作 Fn (Rn为实空间)。,称为向量1, 2 , , m的线性组合，或 可用1, 2 , ,m 线性表示。,矩阵A=1, 2 , , m，x= 1, 2 , , nT。,定义3.4 设i Fn , iF (i = 1, 2, , m), 则向量, = 1 1 + 2 2 +
4、+ m m (1),(1)式可表示为：A x =，此时， 1, 2 , , m , 为列向量，,(+)=+。,例如，在 R3中，任一向量 = (a1, a2, a3) 可由基本向量 e1=(1, 0, 0), e2=(0, 1, 0), e3=(0, 0, 1) 线性表示为 = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3,在R3中，如果三个向量 1, 2, 3共面，则至少有一个向量可以由另两个向量线性表示，如图，,即存在不全为 0 的 k1 ， k2 ，k3 使 k1 1 + k2 2 + k33 =0,如果三个向量 1, 2, 3不共面，则任意一个向量都不能由其余两个向量线性表示，如,1=
5、a1 e1 ，2= a2 e2 ， 3 = a3 e3,3 = k1 1+ k2 2,定义3.5 设 1, 2, , m Rn , 如果存在不全为零的 1, 2,m R ,使,成立，则称1, 2, , m线性相关，否则，线性无关。,“否则”是指：不线性相关就是线性无关，“仅当1, 2,m全为零时，才使(*)式成立”。这等价于 “如果(*)式成立，则1, 2,m必须全为零”。,11 + 2 2 + + m m = 0 （*）,1 1 + 2 2 + + m m = 0,定理3.1 向量组 1, 2, , m(m 2) 线性相关的充要条 件是 1, 2, , m中至少有一个向量可由其余向量线性表示
6、。,证 必要性：设1, 2, , m线性相关，则存在不全为零的数1, 2,m, 使得,不妨设 1 0 , 于是,1= 112 2 11m m,3向量的线性相关性,其中1, j1,1, j+1, , m不全为零，充分性得证。,例1 Rn中的 e1, e2, , en 是线性无关的。 其中 ei = (0, 0, 1, 0,0) 是第 i 个分量为 1 (i=1,2, , , n）其余分量全为零的向量。解：因为，由 1e1 + 2e2 + + mem = 0 即 (1, 2, , n) = (0, 0, , 0) 必有 1 = 2 = = n = 0.,定理3.1 的等价命题： 1, 2, , m
7、(m 2)线性无关的 充要条件是其中任一个向量都不能由其余向量线性表示。,充分性：若1, 2, , m中的一个向量可由其余向量线性表示，如,j = 1 1 + j1 j1 + j+1 j+1 + m m,则 1 1 + j1 1 j + j+1 j+1 + m m = 0,注意: (1) 单个向量 线性相关的充分必要条件是： 为零向量 因为 0 使 = 0 成立的充要条件是 = 0； (2) 两个非零向量 ， 线性相关的充分必要条件是：， 成比例 即存在 k 或 l 。 (3) R3中三个向量 ， 线性相 关的充分必要条件是， 共面,例2 含零向量的任何向量组0, 1, 2 , , m都线性相
8、关。因为1 0 + 0 1 + 0 2 + + 0 n = 0,从而有不全为零的 1 , 2 , k , 0, ,0 使,例如， 1 = (1, 2, 1)T, 2 =(2, 4, 2)T , 3 =(1,1,3)T。因为1, 2 线性相关（成比例），所以， 1, 2, 3 线性相关。 例3 的等价命题是：线性无关向量组的任一子集 （任一部分向量）都线性无关。 总之：向量组部分线性相关，则整体线性相关；整体线性无关，则任一部分都线性无关。,例3 如果向量组 1, 2, , m中有一部分向量线性相关， 则 整个向量组也线性相关。,证：不妨设1, 2, , k线性相关, 于是有不全为零的 1 ,
9、2 , ,k , 使 1 1 + 2 2 + + k k = 0 成立，,1 1 + 2 2 + + k k + 0 k+1 + 0 k+2 + + 0 m = 0 成立，所以1, 2, , m线性相关。,则 1, 2, ,s线性相关的充要条件是 s 元线性齐次方程组Ax=0 有非零解,其中,定理3.2 设 1, 2, ,s Fn, 其中,1 = (a11 , a21 , , an1)T,2 = (a12 , a22 , , an2)T, s = (a1s , a2s , ans)T,此定理的等价命题是： 1, 2, , s线性无关的充要条件是Ax=0 只有零解。,因为 s 个未知量, n个方
10、程的齐次线性方程组必有非零解， 即 sn 时 Ansx=0 必有非零解。,定理3.3 若向量组1, 2, , r 线性无关 , 而向量组, 1, 2, , r 线性相关 , 则 可由1, 2, , r 线性表示，且表示法唯一。,证： 由于向量组, 1, 2, , r 线性相关，所以存在不全为零的数 , 1 , 2 , ,r 使得, + 11 + 2 2 + + r r = 0,其中 必不等于零(如果 = 0, 则由1, 2, ，r 线性无关 又得 1 , 2 , , r 全为零，与题设矛盾), 于是, = 1 1 1 1 2 2 1 r r,则 可由 1, 2, , r 线性表示。,推论. 任
11、意 s 个 n 维向量，当 sn 时都线性相关。,故n+1个n维向量必线性相关。,于是，( b1 c1 )1 + ( b2 c2) 2 +( br cr) r = 0,则 Rn 中任一个向量 可由 1, 2 , , n 线性表示， 且表示法 唯一。这是因为 Rn 中任何 n+1个向量都线性相关。故 1, 2, , n线性相关，由 定理3.3，向量 可由 1, 2, , n 线性表示，且表示法 唯一。,再证表示法唯一。设有两种表示法：, = b11 + b22 + +br r = c11 + c22 + +cr r,而 1, 2, , r线性无关，所以 bi = ci ( i = 1, 2, r
12、 ),故 由 1, 2, , r 表示是唯一的。,推论 如果1, 2, , n是 Rn 中线性无关的 n 个向量,例4 (1) a 取何值时，1 = (1, 3, 6, 2)T , 2 =(2, 1, 2, 1)T , 3 =(1, 1, a, 2)T 线性无关？,解 (1)设 x1 1x2 2x3 30 (*),(2) a = 2时，3可否由1, 2 线性表示？若可以，求表示式。,解 (2)设 3 x1 1x2 2 (*),得 x2=4/5x1=3/5 所以，,例5 若,问：,解,是否线性无关？,思考：由定理3.2， 若向量组 1, 2, , r线性无关 , 对每一个i 各增加 m个分量得到
13、的向量组1, 2, , r 也线性无关。其逆否命题是什么？,3.2 向量组的秩及其极大线性无关组,定义3.6 向量组1, 2 , s中存在 r 个线性无关的向量：i1, i2 , ir,且任意一个向量均可由它们线性表示,则称向量组的秩为 r，记 作,秩1, 2 , sr 或 r1, 2 , sr,并称 i1, i2 , ir是一个极大线性无关组。,注意：一个向量组的秩是唯一确定的，但它的极大线性 无关组不是唯一的。例如,1(1, 0); 2(0, 1); 3(1, 2); 4(2, 1),秩1, 2 , 3, 42,其中任意两个i, j (i, j =1,2,3,4且 ij ) 都线性无关，都
14、是 1, 2 , 3, 4的一个极大线性无关组。,定义3.7 若向量组 1, 2 , k 中每个向量均可由向量组1, 2 , s线性表示，则称 1, 2 , k可由向量组1, 2 , s线性表示。如果它们可以互相线性表示，则称它们等价，记作1, 2 , s1, 2 , k ,定理3.4 设向量 1, 2 , s可由另一向量组 1, 2 , r 线性表示。如果 sr, 则 1, 2 , s 线性相关。在R3中的几何背景是：如果1, 2线性无关, 1, 2, 3可由 1, 2 线性表示，则 1, 2, 3都位于 1, 2所确定的平面上, 故 1, 2, 3线性相关。,证 : 设,j = 1, s,
15、再设 x1 1 + x2 2 + xs s = 0,(交换和号顺序),推论(1)(定理2.5的等价命题): 若1, 2 , s 线性无关, 则 s r。,故1, 2, s线性相关。,令,中 i (i = 1, 2, n)的系数全为零, 即,（i = 1, r） （*）,此式是关于 x1 , x2 ,xs 的齐次线性方程组，由于 r s （方程个数 未知数个数 ), 必有非零解，从而有不全为零的 x1 , x2 ,xs 使 (*) 式成立，即有不全为零的 x1 , x2 , xs 使,x1 1 + x2 2 + xs s = 0,推论(2) 若秩1, 2 , sr, 则 1, 2 , s中任意
16、r +1 个向量都是线性相关的。,因为任意 r +1个向量都可经线性无关的 r 个向量线性表示。,若秩1, 2 , sr, 则 1, 2 , s中任意 r 个线性 无关的向量都是 1, 2 , s的一个极大线性无关组。,推论(3) 若向量组 1, 2 , k 可由向量组 1, 2 , s 线性表示，则秩1, 2 , k 秩1, 2 , s,证 设 1, 2 , r和 1, 2 , p 分别是 1, 2 , k 和 1, 2 , s 的一个极大线性无关组，则,1, 2 , p 线性表示，由推论(1)得r p。,1, 2 , r可经 1, 2 , k线性表示。,已知 1, 2 , k,可由 1,
17、2 , s 线性表示，,又1, 2 , s可经其极大线性,无关组 1, 2 , p 线性表示。因此， 1, 2 , r可经,推论(4)的逆命题不成立。例如，1(1, 0，0); 2(0, 1, 0); 3(0, 0, 1) 秩1, 2 =秩 1, 32 但1, 2 和1, 3不是等价向量组。,除掌握秩和极大线性无关组的定义外，还要掌握秩和极大线性无关组的求法，以及向量组中的一个向量如何用极大线性无关组线性表示。这在下一节中讲。,推论(4) 若向量组1, 2 , k 1, 2 , s，则秩1, 2 , k秩1, 2 , s,3.3 矩阵的秩 相抵标准形,A的n个列(m个行)向量组成的向量组的秩称
18、为A的列秩(行秩)。,在阶梯形矩阵中，非零行的行数=A的行秩= A的列秩。,方程 x11 + x2 2 + x3 3 = 0 , 易得只有零解 ，三个行向量1, 2 , 3 线性无关，A的行秩=3。,方程 y11 + y3 3 + y4 4= 0 也只有零解 ，三个列向量1, 3 , 4线性无关，且任意4个列向量线性相关。所以 A的列秩=3。,定义3.8 矩阵A=(aij)mn的每一列(行)称为A的一个列(行)向量。,A的列秩 n；A的行秩 m,1.矩阵的行秩=列秩=矩阵的秩,(3) 将A的第i行乘常数c加到第j行得到B，则B的行向量组1, ,j , m为 j=ci+j ; k=k (kj)。
19、相应地也有j=jci ; k=k (kj)。因此A与B的行向量组可以互相线性表示（等价）。所以A与B的行秩相等。,定理3.5 初等行（列）变换不改变矩阵的行（列）秩。,证：只需证明作一次倍乘，倍加和对换行变换， A的行秩不变。设mn矩阵A的m个行向量为1, 2 , m。,将A的第 i, j 行对换得到B, 则B与A的行向量组相同（只是排列顺序不同），故A, B的行秩相等。,将A的第 i 行乘非零常数 c 得到B, 则B的行向量组为1, i-1, ci , i+1, m，它与A的行向量组等价。 因此A与B的行秩相等。,所以，初等行变换不改变矩阵的行秩。同理，初等列变换不改变矩阵的列秩。,这个定理
20、给出了求向量组的秩及其极大线性无关组的一个简单而有效的方法。,定理3.6 对矩阵A作初等行变换化为B, 则A与B的任何对应的列向量组有相同的线性相关性。即,则向量组 i1, i2 , ri 与 i1, i2 , ir （1i1 i2 ir s),有相同的线性相关性。,证：对A做行变换化为B，即 B =PkP2P1A, 其中 PkP2P1 为若干初等矩阵的乘积，记 P= PkP2P1(P可逆)， 则,PA= B 或 Pj =j , j=1,2,s,记A1= i1, i2 , ir , B1= i1, i2 , ir , 则,齐次线性方程组A1x=0 与 B1x =0 (即PA1x=0）为同解方程
21、组。,所以，A1 与 B1的列向量组有相同的线性相关性。,推论：对矩阵A做初等行变换，不改变A的列秩。,例1 求向量组 1,2, ,5的秩及其一个极大线性无关组, 并将其余向量用极大线性无关组线性表示。其中1=(1,1,0,0), 2=(1,2,1,1) , 3=(0,1,1,1)， 4=(1, 3, 2, 1), 5=(2, 6, 4,1) (i为行向量),解：对A=1T, 2T ,3T, 4T, 5T (将 i 竖排)作初等行变换，将其化为阶梯形矩阵U，即,记阶梯形矩阵U=1, 2, 3, 4, 5 。U中每个非零行第一个非零元所在的第1, 2, 4列 线性无关， 所以， 1, 2, 4
22、是U的一个极大线性无关组， 从而， 1T, 2T, 4T 是A的列向量组的一个极大线性无关组。即 1, 2, 4 是 1， 2，3， 4 ， 5 的一个极大线性无关组。,(1) 设 x11+x2 2= 3， 此非齐次方程组的增广矩阵为 1， 2， 3，用高斯消元法（初等行变换）化为U中的 前三列，其同解方程组为,x1x20, x21，解得：x1 x2 =1。所以， 31+2 。,(2) 设 x1 1+x2 2+x4 4= 5，同理，方程组的增广矩阵经初等行变换化为U中的第1，2，4，5列,得同解方程组,3, 5 可以用1, 2, 4 线性表示，做法如下：,3, 5 用 1, 2, 4线性表示的
23、另一个做法如下：,设 x11T+x2 2T+x3 3T +x4 4T+x5 5T= 0,此齐次方程组的系数矩阵A用初等行变换化为U，对U再做行变换得U 1 。,其同解方程组为,由定理3.5 和定理3.6的推论 得,定理3.7 初等变换不改变矩阵的行秩和列秩。,定理3.8 矩阵A的行秩= A的列秩。,证：对A做初等行变换，将其化为阶梯形矩阵U，则A的行秩= U的行秩= U的列秩= A的列秩,定义3.8 A的行秩= A的列秩, 统称为A的秩，记作秩(A)，或 r(A). 对n 阶矩阵A ， r(A)= n时称为满秩矩阵。,定理3.9 n 阶矩阵A ， r(A)= n 的充要条件是A为非奇异矩阵（即
24、 A 0）。,证：若 r(A)=n，则对A做初等行变换，将其化为阶梯 形矩阵U ，则 U 有n个非零行，可以继续化为单位矩阵 I , 即 存在可逆矩阵 P 使得 PA=I 。,所以， PA = P A =1, 故 A 0。,若 A 0 ，则 A x=0 只有零解 x= A10 =0,A的n个列向量线性无关，故 r(A)= n。,矩阵A若存在 r 阶非零子式且所有 r +1 阶子式都等于零，则矩阵A的非零子式的最高阶数为 r（因为由行列式的展开可知更高阶的子式也都等于零），并称r为A的行列式的秩。,定义3.9 矩阵A=(aij)mn 的任意k行 (i1i2ik行)和任意 k列 (j1j2jk列)
25、 的交点上的 k2 个元素排成的行列式,称为矩阵 A 的一个 k 阶子式 (k 阶子式)。 等于零的 k 阶子式, 称为 k 阶零 子式, 否则叫做非零子式。 当 jt= it ( t =1,2, , k ) 时，称为 A 的 k 阶主子式。,2. 矩阵的行列式的秩=矩阵的秩,定理3.10 秩(A)=r的充要条件是A的非零子式的最高阶数为r 。,证 必要性。设秩(A)= r,不妨设A的前 r行线性无关。记,充分性。不妨设A的左上角 r 阶子式| Ar|0，则 Ar可逆, Ar 的 r个行向量线性无关, 添分量成为 A1 的行向量组也线性无关。而A中任何 r +1 行线性相关（否则，由必要性的证
26、明可知A中存在r +1阶非零子式）。,A的任意 r +1个行向量线性相关， 所以 A的任意 r +1阶子式都等于零(*)。由(*)和(*)得A的行列式的秩为 r.,A1 =Ar B,其中Ar是 r 阶方阵, r(A1)= r。,不妨再设A1的前 r 列向量线性无关, 即 r(Ar)=r, 故 | Ar|0. 即 存在一个 r 阶子式不等零（*），,故 矩阵A的行秩=秩(A)= r。,3. 矩阵的秩的性质,(1) 对任意的Amn，都有: 秩(A) minm,n 和 秩(AT)=秩(A)。,秩(A+B) 秩(A)+秩(B)。证： 设 Amn =1, 2, n, Bmn =1,2, ,n , 秩(A
27、) =p, 秩(B)=q， 1, , n和 1, ,n的极大线性无关组 分别为1, , p和 1, ,q ，则 A+B=1+ 1, 2+ 2, , n +n A+B的列向量组可以由向量组1, 2, n, 1, ,n线性 表示。所以，r(A+B) r(1, 2, n, 1, ,n) p+q。,(3) 秩(AB) min秩(A),秩(B)。,证：设 A， B 分别是 mn 和 ns 矩阵，A依列分块有,(4) 设A为 mn 矩阵， P 和 Q 分别是 m 和 n 阶可逆矩阵, 则秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ) 证: 秩(PA)秩(A), 由 P1 (PA)= A ，得: 秩(A)秩
28、(PA) 所以 秩(PA)=秩(A) ; 同理可证明其他情形。 或利用:可逆矩阵可表示为若干初等阵的乘积，初等阵左(右)乘A是对A作初等行(列)变换，初等变换不改变矩阵的秩。,AB的列向量组可以由A的列向量组1, , n线性表示。 所以， r(AB) = AB的列秩 A的列秩= r(A)类似地，对B依行分块，可以证明r(AB) r(B)。或利用r(AB) = r(AB)T ) = r(BT A T) r(BT) = r(B),例2 设A为 mn 矩阵，且 mn，证明：|ATA |=0。 证： 由于秩(ATA)秩(A) minm,n=mn，而 AT A是 n 阶矩阵，故 AT A 是不可逆矩阵，
29、于是 | AT A |=0。,4. 矩阵的相抵标准形,相抵关系( ) 是一个等价关系。具有性质： (1) 反身性， 即A A ; (2) 对称性：若A B，B A； (3) 传递性：若A B, B C, 则A C。,定义3.10 设 A是 mn 矩阵， A 经过初等变换化为 B (或存在可逆矩阵 P 和 Q, 使得 PAQ=B），就称A相抵于B (或A等价于B)，记作 A B .,定理 3.11 若 秩(Amn)= r，则一定存在可逆矩阵P (m阶）和Q（n阶）使得,证： A可以经一系列行初等变换化为阶梯形矩阵Ur，即存在初等阵P1 ,.P2, Ps, 使得. Ps P2P1 A= Ur ,
30、再对 Ur 做倍加列变换和列对换,即存在初等阵Q1 ,.Q2, ,Qt，使得,其中Ir 为r阶单位矩阵。,UrQ1 Q2 Qt = U 令Ps P2P1 =P， Q1 Q2 Qt =Q (P,Q均可逆) ，则,称矩阵U为A 的相抵(或等价)标准形。所有秩为r 的mn矩阵都相抵于U 。,*例3 设A是mn矩阵(mn), 秩(A) = n. 证明：存在nm矩阵B, 使BA=In. 证：A是mn矩阵，秩(A) = n, 则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q, 使得,则,其中01是(mn)n零矩阵; 02是n (mn)零矩阵。,故存在nm矩阵B=CP, 使BA=In 。,解: 若a=1, 则A的各行成
31、比例，r(A)=1。所以，排除a=1。,例4. 设n 阶矩阵 (n3),若矩阵A的秩为n 或n 1，则a必为_。,(1) 若 k = 1+(n 1)a 0 即,第一列乘,再将各行减去第一行，得到,可知 a1且,时， r(A)=n。,利用初等变换不改变矩阵的秩，将A的各列加到第一列。,(2) 若,所以，r(A)= n 1。,即 k = 1+(n1)a =0。 A的各列加到第1列。,再将第2， n行各行都减去第1行,再将第2， ,n行各行都乘,加到第1行，将第1行化为全零行,例5. 设,已知r(A)=2, 求t。,解：,利用初等变换不改变矩阵的秩，将A化为B。,B中第2，3行成比例,3.4 齐次线
32、性方程组有非零解的条件 及解的结构,1.齐次线性方程组有非零解的充要条件,以Amn为系数矩阵的齐次线性方程组 Ax=0 当A按列分块为 A=(1, 2 , n), 列向量 x=x1, x2, xn T 时， 方程组表示为向量方程：,x1 1 + x2 2+ xn n=0。,定理3.12 齐次线性方程组Ax=0 有非零解的充要条件是,r(A)=r( 1, 2 , n) n ，或 1, 2 , n线性相关。,当r(A)=r时，对A做初等行变换，可化为行阶梯形矩阵,Ax=0 与Ux=0为同解方程组,有非零解的充要条件:rn 。,推论1： A为mn矩阵, A x=0 只有零解的充要条件:r=n。,推论
33、2： A为n阶矩阵时, A x=0 有非零解的充要条件:A =0。,证： 设 B =(b1, b2, bn)， AB=0, 即A (b1, b2, bn)= (A b1, A b2, A bn)=(0,0, , 0)。,例1 设A是n阶矩阵，证明：存在ns矩阵B0,使得AB=0 的充要条件是:A =0。,A bi=0（ i=1,2, , n) 意味着B的每一列都是A x=0 的解。 由 B0，即A x=0 有非零解。所以，A =0。,反之，若A =0， A x=0有非零解。取非零解为 B 的 s 个 列向量。则 B 0, 且AB=0。,2. 齐次线性方程组解的结构,定理3.13 齐次线性方程组
34、A x=0 的任意两个解x1，x2 的 线性组合k1 x1+k2 x2(k1 ,k2 为任意常数) 也是它的解。,证：因为A(k1 x1+k2 x2)= k1 A x1+k2 Ax2= k1 0+k2 0=0。,定义3.13 设 x1, x2, xp 是Ax=0 的解向量，且Ax=0 的 任意一个解向量都可由 x1, x2, xp 线性表示，则称 x1, x2, xp为Ax=0的一个基础解系。,基础解系的任意线性组合也都是Ax=0的解，称,证：对A作初等行 变换，化为行简化阶梯形矩阵， 不妨设为U，,3. 求Ax=0 的基础解系的常用方法,定理3.14 设A是mn矩阵，r(A)=rn, 则齐次
35、线性方程组,Ax=0 与U x=0为 同解方程组。,x= k1x1+ k2x2+ kpxp,(其中k1, k2,kp 为任意常数）为Ax=0的一般解（通解）,Ax=0 存在基础解系，且基础解系包含 nr 个解向量。,Ux=0，即,选xr+1, xr+2, , xn为自由未知量，对它们取下列n r 组值(1,0, ,0) , (0,1, ,0) , ， (0,0, ,1) 再分别代入(*)，即可得到Ax=0 的n r个解： x1=( c1,r+1, c2,r+1, , cr,r+1, 1, 0, , 0)T x2=( c1,r+2, c2,r+2, , cr,r+2, 0, 1, , 0)T x
36、 n-r = ( c1,n , c2,n, ， cr,n, 0, 0, , 1)T这 n r个解显然是线性无关的（增加分量不改无关性），,(*),再证Ax=0 的任意一个解向量都可由 x1, x2, xn-r 线性表示。,且 x*= k1 x 1+ k2 x 2+kn-r xn-r 也是Ax=0的解。,Ax=0 的任意一个解向量 x ，可取自由未知量xr+1, xr+2, , xn和任意常数 k1, k2, kn-r, 代入(*)得x=（ d1, d2, dr, k1, k2, kn-r )T,所以 x1, x2, xn-r 是齐次线性方程组Ax=0 的基础解系。,x- x*也是Ax=0的解。
37、,x x*=（d1, d2, dr, k1, k2, kn-r )T (k1 x 1+ k2 x 2+kn-r xn-r ),是自由未知量 xr+1, xr+2, , xn 全部取0时的解，此时由(*)得x1 = = xr =0，即 d1*= d2 *= dr *=0，所以， x x*=0，即,x =x*= k1 x1+ k2 x2+kn-r xn-r可由 x1, x2, xn-r 线性表示。,=（d1, d2, dr, k1, k2, kn-r )T, k1 ( c1,r+1, c2,r+1, , cr,r+1, 1, 0, , 0)T, k2 ( c1,r+2, c2,r+2, , cr,
38、r+2, 0, 1, , 0)T kn-r ( c1,n , c2,n, ， cr,n, 0, 0, , 1)T,= (d1*, d2 *, dr *,0, 0, 0)T,Ax=0 的基础解系不是唯一的，但基础解系所含向量的个数一 定是n r。任意一个基础解系的线性组合都是Ax=0 的通解。,例2求方程组 Ax=O 的基础解系和一般解。其中,Ax=0的一般解为： x = k1 x1+k2 x2，即 x = k1(3,1,0,0,0)T + k2(7,0, 2,0,1)T,解 对A做初等行变换，将 A化为行简化阶梯形矩阵U。,选x1, x3, x4为主元，x2, x5为自由未知量，,取x2=0,
39、 x5 =1，得x2=(7,0,2,0,1)T,x1，x2 为Ax=0 一个基础解系。,取x2=1, x5 =0 得 x1=(3,1,0,0,0)T。,r(A)=3, n-r=2,（k1，k2为 任意常数）,r(B)秩 1, 2 , s nr(A), 即 r(A)+r(B)n,证：记 B=(1, 2 , s) （i 为B的第 i 列向量）。,例3 若AmnBns=0, 则 r(A)+r(B)n。,由AB=0 ，得 Ai=0 (i=1, s), 即1, 2 , s都是Ax=0的解，,又Ax=0 的基础解系含nr(A) 个解，即 Ax=0 的任意一组解,中至多包含 nr(A) 个线性无关的解，所以
40、，,设(ATA) x=0 (xRn)，则 xT(ATA) x= 0 ，即 (Ax)TAx= 0 。 令Ax= (b1, b2 , bm) Rm（实向量），则 (Ax)TAx= b12+ b22 +bm2= 0 ，故必有b1=b2 = bm =0 ，,*例4 设A是mn实矩阵，证明：r(AT A)=r(A)。,证： 由秩的性质知 r(ATA) r(A)，只需证明 r(ATA) r(A)。,只要证明： ATAx=0的解集合包含于 Ax=0 的解集合。,即Ax=0 。因此， ATAx=0的解必满足方程Ax=0，所以，n r(ATA) n r(A), 即 r(ATA ) r(A)。,例5. 设r(Bm
41、3)=2,( m3),问：,（1）a, b 满足什么条件时，将确保r(AB) =2; （2）A, B 满足什么条件时， r(AB) =1。,解：(1) 当|A|=ab10 时，A满秩（可逆）, r(AB)= r(B)=2。,(2)当|A|=ab1=0 时， A不可逆, r(A)=2 (因A中有两列不成比例)。,由 r(Bm3)=2，不妨设B=（x1, x2, x3）。,若AB =（Ax1, Ax2, Ax3）=（0, 0, ）, 其中 0 ，则 r(AB) =1。,即 x1, x2 是Ax=0 的解，而 x3 不 是Ax=0 的解。由r(A)=2 知：x1, x2成比例(基础解系仅含一个解向量
42、）。,但 x3, x2不成比例（否则x3 也是A x=0 的解，矛盾）。此时，r(B)= rx1, x2, x3=2,所以，当A, B 满足： ab=1 ， B 的列向量中有两列 是 A x=0 的解且 另一列不 是Ax=0 的解时， r(AB) =1。,3.5 非齐次线性方程组有解的条件 及解的结构,设 A=(1, 2, n), 则Ax=b 等价于向量方程 x11 + x2 2,+xn n=b Ax= b有解，即 b可经A的列向量线性表示。所以，,秩 (1, 2, n，b)= 秩 (1, 2, n),定理3.15 对于非齐次线性方程组Ax=b ，下列命题等价: (1) Ax= b有解(或相容
43、); (2) b可由A的列向量组线性表示; (3) r(A,b)= r(A), 即增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩。,即 r(A, b) = r(A),Ax=b 与 Cx=d 为同解方程组，Ax=b 有解 dr+1=0,又 r(C, d) = r(A, b) ； r(C) = r(A)，所以，Ax=b 有解 r(A, b) = r(A),r(C, d) = r(C),推论：Ax=b 有唯一解 r(A, b) = r(A)= n (A的列数)。,因b由A的列向量组线性表示，且表示法唯一的的充要条件是 A的列向量组 1, 2, n线性无关，即秩1, 2, n=n。,证： A(x1x2) = A x1 A x2 = b b = 0。,定理3.16 若 x1, x2 是A x=b 的解，则 x1x2 是对应的 齐次线性方程组A x=0 的解。,可以表示为 x* x0 = k1x1 + k2x2 + kpxp 。因此, x* = x0 +(x* x0 )可以表示为x = x0 +x 的形式， 即是A x = b 的一般解。,定理3.16 若A x = b 有解，则其一般解为x = x0 +x, 其中x0 是A x = b 的一个特解（某一个解）；x = k1x1 + k2x2 + kpxp 是A x = 0 （称为A x = b 的导出组）的一般解。,
