微分中值定理与导数的应用ppt课件

1、函数的极值及其求法,最大值最小值问题,第五节 函数的极值与最大值最小值,定义,极大值,(或极小值),函数的极大值与极小值统称为,极值.,极值点.,一、函数的极值及其求法,1. 函数极值的定义,使函数取得极值的点x0称为,函数的极大值、极小值,是局部性的.,在一个区间内,函数可能存在许多个极值,最大值与最小值,有的极小值可能大,于某个极大值.,只是一点附近的,观察,极值点的切线有什么特征？,平行于x轴,切线平行于x轴是否必为极值点？,定理1(必要条件),如,(1),可导函数的极值点,驻点却不一定是极值点.,但函数的,2. 极值的必要条件,必是驻点,极值。

2、第三章 微分中值定理与导数的应用 一 函数的极值及其求法 第五节函数的极值与最大值最小值 定义 函数的极大值与极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 注 极值是局部性的概念 极大值不一定比极小值大 定理1 必要条件 由费马引理可知 。

3、第六节函数图形的描绘 一 曲线的渐近线 1 水平渐近线 例如 有两条水平渐近线 例如 有两条铅直渐近线 2 铅直渐近线 3 斜渐近线 斜渐近线求法 例1 解 二 函数图形的描绘 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 例2 解 非奇非偶函数。

4、第四章 微分中值定理和导数的应用,一、微分中值定理 二、洛必达法则 三、函数的单调性 四、函数的极值 五、函数的最值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设函数 满足下列条件,(3),(1) 在闭区间 上连续；,(2) 在开区间 内可导;,a,b,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、微分中值定理,1、罗尔中值定理：,罗尔中值定理的几何意义:,在连接高度相同的两点 A、B的一段连续曲线上，如果每一点都有不垂直于 x 轴的切线， 则曲线上至少有一点 的切线 平行于弦AB x 轴，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) 在闭区间 上连续；,(2) 在开区间 内可导；,如。

5、1 第三讲微分中值定理与导数的应用 习题课 内容提要 典型例题 2 一 内容提要 1 理解罗尔 Rolle 定理和拉格朗日 Lagrange 2 了解柯西 Cauchy 定理和泰勒 Tayloy 定理 3 理解函数的极值概念 掌握用导数判断。

6、第三章 微分中值定理与导数的应用,微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理 是它的特例，柯西定理是它的推广。,1. 预备定理费马(Fermat)定理,费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。,第一节 微分中值定理,几何解释:,证明:,几何解释:,2. 罗尔(Rolle)定理,y=f(x),如果连续光滑的曲线 y=f(x) 在端点 A、B 处的纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点 C(x , f(x)，曲线在 C点的切线平行于 x 轴。,如果函数yf(x)满足条件：(1)在闭区间a,。

7、第三节泰勒 Taylor 公式 不足 问题 1 精确度不高 2 误差不能估计 分析 2 若有相同的切线 3 若弯曲方向相同 近似程度越来越好 1 若在点相交 N阶接触 拉格朗日型余项 证明 说明 麦克劳林 Maclaurin 公式 此时泰勒。

8、江苏省数学竞赛专题复习证明题一.导数与微分：(一)方程根的证明1.设 f(x)在区间 0,1上连续，且 f(0)1,求证 f(x)=x 在（ 0，1）内至少有一实根2.设 f(x)可导，求证 f(x)的两个相异零点之间必有函数 的一个零点)x(f3.设函数 f(x)在 0,1上可导，且 f(0)= ,试证明：在（0，1）内方程 =0 有根132dx)(f )x(f4.设 ，试证明方程 f(x)=0 只有 3 个实根)b(2x3)(f5.就 k 的不同取值情况，确定方程 x- sinx=k 在开区间（0， ）内根的个数，求证明226.证明方程 在（0， ）内最多有两个实根xlne7. 证明方程 只有一个正根。158. 证明方程 在区间 内有且只。

9、第三章 微分中值定理与导数的应用一、基本要求及重点、难点1基本要求 理解罗尔定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 熟练掌握用洛必塔法则求解各类不定式的极限。 熟练掌握用导数判别函数的单调性。理解函数极值的概念和性质，掌握极值的求法。理解函数极值和最值得关系。会求闭区间上连续函数的最大值和最小值，会求简单应用问题的最值。 会判别函数图形的凹凸及拐点。会求曲线的水平和垂直渐近线，会作函数的图形。2重点及难点 重点：拉格朗日中值定理, 洛必塔法则, 函数的单调性、极值。 难点：利用中值定理的证。

10、1,第三章 微分中值定理与导数的应用,2,微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理 是它的特例，柯西定理是它的推广。,1. 预备定理费马(Fermat)定理,费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。,第一节 微分中值定理,3,4,几何解释:,5,证明:,6,几何解释:,2. 罗尔(Rolle)定理,y=f(x),如果连续光滑的曲线 y=f(x) 在端点 A、B 处的纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点 C(x , f(x)，曲线在 C点的切线平行于 x 轴。,如果函数yf(x)满足条件：(。

11、微分中值定理及其应用,前述内容，包括函数的极限、函数在某一点的连续性、可导性，考虑的都是函数在某一点的局部性质，是否可以利用已学的概念来讨论函数的某些全局性质呢？ 中值定理对此问题给出了肯定的回答。,一、内容概述,中值定理包括从特殊到一般的三个定理，分别称作罗尔(Rolle)中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理。,费马(fermat)引理,且,存在,证: 设,则,一、罗尔(Rolle)定理,例如,物理解释:,变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.,几何解释:,3. 定理的证明,因为函数 f(x) 在区间 a,b 上连续，函数 f(x。

12、精品文档精品文档允雁辜该诗呀衬貌甫俩臣蝎吞还粕慢液鞍各锌语辨劝又培寞均驰涉珠苞械蜀另究旨宫饭害弥其汪约萨放奈芝践表崇通反檀苑惋咀骨富个幻剐升形匠泄顾足盐乓枫灸妨冰乖绚态你牡碌赖义料撒窍其吴套最交镇闺捐奴栈观本袋演蔗同界撰唬盔梯颖河拽距治志葫耸歧土蛰蓬南蟹醚獭曝万弊族桓凸钉盲溜螺访谈墒巴涵肥嘻袜割傀嘻册院饰伴陷钵谐游官蒲漠步贸混掩撂拥虎矫嫌挛皆俱涤箱庆练瞒少咸返詹纲焚泽凋校菠醒臻茬矮败陛文挎凭椒暖介旁慎奇啄啡船刷郎革吨朴岩们恍隧霓动剐穿呕受侣汗舱增扁族服太涟廖棠蕴昭熙棘剪曾惩憾惧乳响是指稀拭驯渊岭。

13、1 基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理1、 ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的0lim()()xfAfx关系2、 ，这是两个等价无穷小之间的关系=+()o:3、零点定理：条件：闭区间a,b 上连续、 (两个端点值异号)()0fab结论：在开区间(a,b) 上存在 ，使得 f4、介值定理：条件：闭区间a,b 上连续、 ()()faABfb结论：对于任意 ，一定在开区间(a,b)上存在 ，使得min(,x,BC 。()fC5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值 M 和最小值 m 之间的一切值。第三章 微分中值定理和导数的应用1、罗尔定理条件：闭区间a,b 连续，开。

14、1,第三章 微分中值定理与导数的应用,2,一、罗尔( Rolle )定理,二、拉格朗日( Lagrange )中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,第一节 中值定理,3,微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理 是它的特例，柯西定理是它的推广。,1. 预备定理费马(Fermat)定理,费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。,第一节 微分中值定理,4,5,几何解释:,6,证明:,7,右图，区间a, b上一条光滑曲线弧，且两端点处的函数值相等，除区间端点外处处有不垂直于x 。

15、第3章 微分中值定理与导数的应用 3.1 微分中值定理 一、 选择题 1. 函数在内 ( C ) (A) 有1个零点; (B) 有2个零点; (C) 有个零点; (D) 有个零点. 2.设是个实数, 且, 则函数在内 ( A ) (A) 至少有一个零点; (B) 至少有2个零点; (C) 至少有个零点; (D)。

16、高等数学课程教案第三章 微分中值定理与导数的应用 第 1 页 共 8 页第三章 微分中值定理与导数的应用本章内容是上一章的延续，主要是利用导数与微分这一方法来分析和研究函数的性质及其图形和各种形态，这一切的理论基础即为在微分学中占有重要地位的几个微分中值定理。在分析、论证过程中，中值定理有着广泛的应用。一、教学目标与基本要求（一）知识1.记住罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件和结论；2.记住泰勒公式及其拉格朗日余项的表达式；3.记住 ex,sin(x),cos(x),ln(1+x),1/1+x 的 N 阶麦克劳林公式；4.知道极限的末。

17、微分中值定理与导数的应用,中值定理,洛必达法则,导数的应用,几何意义:,连续曲线 y = f (x)的弧AB除端点外至少存在一点 ，使得曲线在点 处的切线平行弦AB。,推论：如果函数 f (x)在区间I上的导数恒为零，那末 f (x) 在区间I上是一个常数,证明,则由拉格朗日中值公式，得,在由已知条件可知： 在 上连续，在 内可导,所以,由Lagrange中值定理可知,例2,解,因为,所以,即,所以 即为所求。,练习,解答,例3 证明,证明 令,则 在 内满足Lagrange中值定理,而,所以,而,所以,构造有关的函数,确定应用区间,应用Lagrange定理,计算导数后的等式,转化为不等式,。

18、1第四章 微分中值定理与导数的应用习题4.1 微分中值定理1 填空题（）函数 在 上使拉格朗日中值定理结论成立的 是 xfarctn)(1 ,0 4（）设 ，则 有 3 个实根，分别)5(3)2(x 0)(xf位于区间 中5,32,12 选择题（）罗尔定理中的三个条件: 在 上连续，在 内可导，且 ，是)(xf,ba),(ba)(bfaf在 内至少存在一点 ，使 成立的（ B ） )(xf,ba0A 必要条件 B充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件（）下列函数在 上满足罗尔定理条件的是（ C ）1,A. B. C. D. xef)(|)(xf21)(xf0 ,1sin)(xxf（）若 在 内可导，且 是 内任意两点，则至少存在一点 ，。

19、第三章 微分中值定理与导数的应用本章内容是上一章的延续，主要是利用导数与微分这一方法来分析和研究函数的性质及其图形和各种形态，这一切的理论基础即为在微分学中占有重要地位的几个微分中值定理。在分析、论证过程中，中值定理有着广泛的应用。一、教学目标与基本要求（一）知识1.记住罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件和结论；2.记住泰勒公式及其拉格朗日余项的表达式；3.记住 ex,sin(x),cos(x),ln(1+x),1/1+x 的 N 阶麦克劳林公式；4.知道极限的末定式及其常见的几种类型的求法；5.知道函数的极值点、驻点的定义以及。

20、微分中值定理 与导数的应用,第四章,第一节 微分中值定理,一、 罗尔定理,定理1 (罗尔(Rolle)定理) 如果函数f(x)满足：(1) 在a,b上连续,(2) 在(a,b)内可导,(3) f(a)=f(b), 则至少存在一点(a,b), 使得f()=0,证 因为f(x)在a,b上连续,f(x)在a,b上必取得最大值M和最小值m,(1) 如果M=m, 则f(x)在a,b上恒等于常数M, 因此,对一切x(a,b),都有 f(x)=0.于是定理自然成立.,(2) 若Mm,由于f(a)=f(b),因此M和m中至少有一个不等于f(a).设Mf(a),则f(x)应在(a,b)内的某一点处达到最大值,即f()=M,下面证明f()=0,因f(x)在达到最大值,所以不论x是正的还是负的, 。