1、1,第三章 微分中值定理与导数的应用,2,微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理 是它的特例，柯西定理是它的推广。,1. 预备定理费马(Fermat)定理,费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。,第一节 微分中值定理,3,4,几何解释:,5,证明:,6,几何解释:,2. 罗尔(Rolle)定理,y=f(x),如果连续光滑的曲线 y=f(x) 在端点 A、B 处的纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点 C(x , f(x)，曲线在 C点的切线平行于 x 轴。,如果函数yf(
2、x)满足条件：(1)在闭区间a, b上连续，(2)在开区间(a, b)内可导，(3) f(a)f(b)，则至少存在一点x(a, b)，使得f (x) 0。,7,证,由费马引理,8,注意：如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。,f(x)不满足条件(1),f(x)不满足条件(3),f(x)不满足条件(2),9,例1,验证,10,例2 不求导数，判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个零点，以及其所在范围。解 f(1)=f(2)=f(3)=0，f(x)在1, 2，2, 3上满足罗尔定理的三个条件。在 (1, 2) 内至少存在一点 x1，使 f (x1)=0，x
3、1是 f (x)的一个零点。在(2, 3)内至少存在一点 x2，使f (x2)=0，x2也是f (x)的一个零点。f (x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1, 2)及(2, 3)内。,可导函数的两个零点之间必有其导数的零点。,11,如果函数f(x)满足：(1)在闭区间a, b上连续，(2)在开区间(a, b)内可导，则至少存在一点x(a, b)内，使得,几何意义：,3. 拉格朗日(Lagrange)中值定理,12,证明,作辅助函数,13,例3,14,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,或,特别地,或,拉格朗日中值公式另外的表达方式：,15,推论1,证明,16,推论2,证明,17,
4、例4,证,由推论1知,18,例5,利用拉格朗日定理可证明不等式.,证,19,例6,证,由上式得,20,例7,证,类似可证：,特别，,21,4. 柯西(Cauchy)中值定理,设函数f(x)及g(x)满足条件：(1)在闭区间a, b上连续，(2)在开区间(a, b)内可导，(3)在(a, b)内任何一点处g(x)均不为零， 则至少存在一点x(a，b)内，使得,如果取g(x)x，那么柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理.,说明：,22,柯西中值定理的几何意义：,由参数方程确定的函数的导数为,直线AB的斜率为,曲线在点C1和C2的斜率为,23,证明,易知 F(x) 在 a, b 上满足罗尔定理的全部
5、条件，因此， 至少存在一点 x (a, b)，使,作辅助函数,24,练习：,P132 习题3-16. 改为:,7. 9. 11.(2)改为:,25,证,26,第二节 洛必达法则,在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在，这种极限称为未定式，记为,洛必达法则是求函数极限的一种重要方法.,27,说明：,28,例1,例2,用洛必达法则求极限例题。,29,例3,等价无穷小替换,30,例4,例5,31,例6,或解：,及时分离非零因子,32,例7,33,例8,解,极限不存在,洛必达法则失效。,例9,不能使用洛必达法则。,解,34,例10,关键:将其它类型未定
6、式化为 或 型未定式。,步骤:,35,例11,步骤:,36,步骤:,例12,37,例13,或解(重要极限法)：,38,例14,解,39,第三节 泰勒(Taylor)公式,40,不足:,问题:,1、精确度不高；,2、误差不能估计。,41,分析:,2.若有相同的切线,3.若弯曲方向相同,近似程度越来越好,1.若在 点相交,42,N 阶接触,43,拉格朗日型余项,44,证明:,45,46,47,说明:,48,麦克劳林(Maclaurin)公式,此时泰勒公式称为麦克劳林公式.,拉格朗日型余项,皮亚诺型余项,49,解,近似公式,误差,其误差,50,解,51,52,53,54,55,56,常用函数的麦克劳
7、林公式,57,解,58,解,59,解,利用泰勒展开式求极限,60,例6,解,61,练习：,P143 习题3-3 1. 3. 5. 7. 10.,62,第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性,一、函数单调性的判定法,63,函数的单调性与导数符号的关系,观察与思考：,函数单调增加,函数单调减少,函数的单调性与导数的符号有什么关系？,64,函数单调增加时导数大于零，函数单调减少时导数小于零。,函数的单调性与导数符号的关系,观察结果：,函数单调减少,函数单调增加,65,定理,66,证,应用拉格朗日定理,得,67,例1,解,例2,解,68,例3,解,69,例4,解,70,例4,解,也可用列表的方式，,71,
8、导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,注意: 区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,驻点,72,例5,证,利用函数的单调性证明不等式,73,即原式成立。,例6,证,74,由连续函数的零点存在定理知，,利用函数的单调性讨论方程的根。,例7,证,75,小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,76,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,二、曲线的凹凸与拐点,77,观察与思考：,函数曲线除了有上升和下降外，还有什么特点？,78,定义一 如果在某区间
9、内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是凸的。,曲线凹向的定义,凹的,凸的,79,曲线凹向的定义,凹的,凸的,80,图形上任意弧段位于所张弦的上方：凸的,图形上任意弧段位于所张弦的下方：凹的,81,定义二,82,观察与思考：曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？,拐点,凹的,凸的,当曲线是凹的时， f (x)单调增加。,当曲线是凸的时， f (x)单调减少。,曲线凹向的判定,曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点。,83,定理,84,例8,解,85,例9,解,凹,凸,凹,拐点,拐点,86,87,例10,解,拐点的求法：,1.找出二阶导数为零的点或不可导点；,2. 若它两边的二阶导数值异号,则为拐点,若同号则不是拐点.,88,例11,解,89,利用函数图形的凹凸性,证明不等式,例12,证,90,解：f (x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)。当x(-, -1)时，f (x)0， 函数f(x)在(-, -1)内单调增加；当x(-1, 1)时，f (x)0， 函数f(x)在(1, +)内单调增加。,
