1、第四章 微分中值定理和导数的应用,一、微分中值定理 二、洛必达法则 三、函数的单调性 四、函数的极值 五、函数的最值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设函数 满足下列条件,(3),(1) 在闭区间 上连续；,(2) 在开区间 内可导;,a,b,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、微分中值定理,1、罗尔中值定理：,罗尔中值定理的几何意义:,在连接高度相同的两点 A、B的一段连续曲线上，如果每一点都有不垂直于 x 轴的切线， 则曲线上至少有一点 的切线 平行于弦AB x 轴，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) 在闭区间 上连续；,(2) 在开区间 内可导；,如果函数 满足下列条件
2、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则在开区间 内至少 存在一点 ，使得,2、拉格朗日中值定理:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,拉格朗日中值定理的几何意义:,在连接A、B两点的一段连续曲线上， 如果每一点都有不垂直于 x 轴的切线， 则曲线上至少有一点 的切线 平行于弦AB ，,拉格朗日公式,注2: 上述定理的几个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2、不用求出函数 的导数，,说明,解：因,上均满足罗尔定理的条件，,因此在,上分别存在点,使得,即至少有,为,的根.,又,为三次多
3、项式，至多有三个根，,有几个根，并指出各根所在的区间,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3、证明,证：设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习、证明,证：设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果在某极限过程下,函数 f ( x)与g(x) 同时 趋于零或同时趋于无穷大，则 可能存在 也可能不存在,通常把这类极限称为不定式， 并分别简记为 常用洛必达法则来求解.,二、 洛必达法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、 型不定式,定理、如果函数 满足：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2、 型不
4、定式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理、如果函数 满足：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,注：如果反复使用洛必达法则也无法确定,则洛必达法则失效，需用别的方法求极限.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习题：,3、其它类型不定式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,型或者 型,型：,变为,例4、求,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,型:,通分相减变为 型,例5、求,（ 型）,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,通常用取对数的方法或利用,化为 型不定式，再化为 型或 型求解。,例6、 求,解:,所以,机动 目录 上页 下页
5、返回 结束,例7、求,解：设,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8、求,所以,解法一：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法二：,1、定理1：设函数 f (x) 在闭区间 a,b 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，则,若在(a,b)内 则 f (x)在区间a,b内单调增加（或单调减少）,三、函数的单调性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2、单调区间求法,(2)求 不存在的点，以这些点为分界点，将定义域分成若干区间，,(1)确定函数的定义域（有时是给定的区间）,(3)在各区间上判断 的符号，确定单调性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1、确定函数 的单调区间.,解：,
6、机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：函数的定义域为,当 时 不存在，且不存在使 的点,用 将定义域分成两个区间，讨论如下：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、函数的极值,函数的极大值极小值统称为极值， 极大值点和极小值点统称为极值点。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注2：极大值点与极小值点一般不唯一。如下图中A、C、E都是极大值点，B、 D都是极小值点。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注1：极值是局部性的，并非在整个区间上最大最小,注3：极大值未必大于 极小值，如左图A、D,2、定理1（极值第一判别法）：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设函数 在点 的某邻域内可导，
7、且,3、求极值的步骤：,(1)求函数的定义域(有时是给定的区间);,(3)以这些点为分界点，将定义域分成若干区间，讨论各个区间分界点两侧导数的符号以判别,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)求 不存在的点，,例1、求函数 的单调区间和极值.,解：函数的定义域为,用这三个点将定义域分成四个部分区间，讨论如下,极大值,极小值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由于,定理2(极值第二判别法)设函数 在点 具有,二阶导数，且 ，,例2、求函数 的极值.,解：函数的定义域为,所以 为极大值, 为极小值.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,五、函数的最值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在驻点处函数值分别为,最大值为,最小值为,解：,比较得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在端点的函数值为,
