1、1,第三章 微分中值定理与导数的应用,2,一、罗尔( Rolle )定理,二、拉格朗日( Lagrange )中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,第一节 中值定理,3,微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理 是它的特例，柯西定理是它的推广。,1. 预备定理费马(Fermat)定理,费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。,第一节 微分中值定理,4,5,几何解释:,6,证明:,7,右图，区间a, b上一条光滑曲线弧，且两端点处的函数值相等，除区间端点外处处有不垂直于x
2、 轴的切线，在最高点和最低点处切线有何特点？,观察与思考：,8,几何解释:,2. 罗尔(Rolle)定理,y=f(x),如果连续光滑的曲线 y=f(x) 在端点 A、B 处的纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点 C(x , f(x)，曲线在 C点的切线平行于 x 轴。,如果函数yf(x)满足条件：(1)在闭区间a, b上连续，(2)在开区间(a, b)内可导，(3) f(a)f(b)，则至少存在一点x(a, b)，使得f (x) 0。,9,证,由费马引理,10,注意：如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。,f(x)不满足条件(1),f(x)不满足条件(3),f(x)不满足
3、条件(2),11,但它满足定理的三个条件，有水平切线,可能有同学会问，为什么不将条件(1)(2)合并为f (x)在a ,b上可导？,可以.但条件加强了，就排斥了许多仅满足三个条件的函数.,例如函数 ，,则,显然x = 0时，函数不可导，即不符合加强条件；,12,例1,验证,13,例2 不求导数，判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个零点，以及其所在范围。解 f(1)=f(2)=f(3)=0，f(x)在1, 2，2, 3上满足罗尔定理的三个条件。在 (1, 2) 内至少存在一点 x1，使 f (x1)=0，x1是 f (x)的一个零点。在(2, 3)内至少存在一点 x2，使
4、f (x2)=0，x2也是f (x)的一个零点。f (x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1, 2)及(2, 3)内。,可导函数的两个零点之间必有其导数的零点。,14,设,且在,内可导, 证明至少存,在一点,使,分析:,要证,即,容易验证证,在,上满足罗尔定理条件.,证明 设,由罗尔定理定理得.至少存在一个x, 使得,即,从而,15,连续,可微,端点函数值相等,分析:,设函数 内可导，证明,16,由罗尔定理,至少存在一点,证,17,分析问题的条件, 作出辅助函数是证明的关键 .,18,对于罗尔定理中的第三个条件 很多函数都不满足，这样就限制了罗尔定理的适用范围，要是能取消就好了。,
5、19,观察与思考： 连续光滑的曲线y=f(x) 在端点A、B处的纵坐标不相等。,f (x)？， f (h)？,问题：直线AB的斜率k=？,答案：,f (x)f (h) k，,f(b)f(a)f (x)(ba) 。,f(b)f(a)？,20,三、拉格朗日(Lagrange)中值定理,拉格朗日中值公式,21,几何意义：,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,拉氏公式,22,证明,作辅助函数,23,例3,24,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,或,特别地,或,拉格朗日中值公式另外的表达方式：,25,推论1,证明,26,推论2,证明,27,例4,证
6、,由推论1知,28,例5,利用拉格朗日定理可证明不等式.,证,29,例6,证,由上式得,30,例7,证,类似可证：,特别，,31,4. 柯西(Cauchy)中值定理,设函数f(x)及g(x)满足条件：(1)在闭区间a, b上连续，(2)在开区间(a, b)内可导，(3)在(a, b)内任何一点处g(x)均不为零， 则至少存在一点x(a，b)内，使得,如果取g(x)x，那么柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理.,说明：,32,柯西中值定理的几何意义：,由参数方程确定的函数的导数为,直线AB的斜率为,曲线在点C1和C2的斜率为,33,证明,易知 F(x) 在 a, b 上满足罗尔定理的全部条件，因
7、此， 至少存在一点 x (a, b)，使,作辅助函数,34,练习：,P132 习题3-16. 改为:,7. 9. 11.(2)改为:,35,证,36,第二节 洛必达法则,在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在，这种极限称为未定式，记为,洛必达法则是求函数极限的一种重要方法.,37,说明：,38,例. 求,解:,原式,注意: 不是不定型不能用洛比达法则 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,39,例. 求,解:,原式,思考: 如何求,( n 为正整数) ?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,40,例,等价无穷小替换,思考：能不能直接洛必达法则
8、？,41,例. 求,解:,注意到,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,42,43,例,例,能否继续用洛必达法则？,44,说明:,1) 前面两例表明,时,后者比前者趋于,更快 .,例如,而,用洛比达法则,2),45,3) 若,例如,极限不存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,46,例,47,例,解,极限不存在,洛必达法则失效。,48,二、其他不定型:,解决方法:,通分,取倒数,取对数,例. 求,解: 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,49,解: 原式,例. 求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,通分,取倒数,取对数,50,例. 求,解:,例5 目录 上页 下页 返回 结束,通
9、分,取倒数,取对数,51,例,52,例,或解(重要极限法)：,53,第三节 泰勒(Taylor)公式,一、问题的提出,二、Pn和Rn的确定,三、泰勒(Taylor)中值定理,四、简单的应用,五、小结 思考题,54,一、问题的提出,在近似计算和理论分析中，我们总希望能用一个简单的函数来近似的表示一个复杂的函数。我们知道，最简单的函数就是多项式，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算，便能求出其函数值来。因此我们常用多项式来近似表达函数。,【回顾已有结论】：,近似公式,55,【不足】,1、精确度不高；,2、误差不能估计.,因此，对于精度要求较高且需要估计误差的时候，就必须用高次多项式来近似表
10、达函数，同时可以给出误差公式。,（1）具备什么样条件的函数才能用多项式近似表达出来？,【问题】,56,（3）用这个多项式去近似代替给定的函数时所产生的误差是多少？即余项问题。,（2）如果存在这样的多项式，如何去求它？即定出这个多项式的系数。,57,分析:,2.若有相同的切线,3.若弯曲方向相同,近似程度越来越好,1.若在 点相交,58,二、Pn和Rn的确定,1. 求 n 次近似多项式,要求:,令,则,59,故,2. 余项估计,令,(称为余项) ,则有,60,61,62,三、泰勒(Taylor)中值定理,其中,拉格朗日型余项,63,64,说明:,65,皮亚诺形式的余项,在不需要余项的精确表达式时
11、 , 泰勒公式可写为,66,麦克劳林(Maclaurin)公式,此时泰勒公式称为麦克劳林公式.,拉格朗日型余项,皮亚诺型余项,67,四、简单的应用,【解】,代入公式,得,68,由公式可知,估计误差,其误差,【总结】,求n阶麦克劳林公式的步骤：,(3)写出麦氏展式.,69,【常用函数的麦克劳林公式】,尽量熟记这些公式,70,71,72,73,74,75,【例2】,【解】,由于分母,故需将,于是,分别展为,【思考】,是否正确？为什么？,76,例3,解,77,【解】,【练习】,78,第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性,一、函数单调性的判定法,79,函数的单调性与导数符号的关系,观察与思考：,函数单调
12、增加,函数单调减少,函数的单调性与导数的符号有什么关系？,80,函数单调增加时导数大于零，函数单调减少时导数小于零。,函数的单调性与导数符号的关系,观察结果：,函数单调减少,函数单调增加,81,定理,82,证,应用拉格朗日定理,得,83,例1,解,例2,解,84,例3,解,85,例4,解,86,例4,解,也可用列表的方式，,87,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,注意: 区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,驻点,88,例5,证,利用函数的单调性证明不等式,89,即原式成立。,例6,证,90,由连续函数的零点存在定理知，,利用函数的单调性讨论方程的根。,例7
13、,证,91,小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,92,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,二、曲线的凹凸与拐点,93,观察与思考：,函数曲线除了有上升和下降外，还有什么特点？,94,定义一 如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是凸的。,曲线凹向的定义,凹的,凸的,95,曲线凹向的定义,凹的,凸的,96,图形上任意弧段位于所张弦的上方：凸的,图形上任意弧
14、段位于所张弦的下方：凹的,97,定义二,98,观察与思考：曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？,拐点,凹的,凸的,当曲线是凹的时， f (x)单调增加。,当曲线是凸的时， f (x)单调减少。,曲线凹向的判定,曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点。,99,定理,100,例8,解,101,例9,解,凹,凸,凹,拐点,拐点,102,103,例10,解,拐点的求法：,1.找出二阶导数为零的点或不可导点；,2. 若它两边的二阶导数值异号,则为拐点,若同号则不是拐点.,104,例11,解,105,利用函数图形的凹凸性,证明不等式,例12,证,106,解：f (x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)。当x(-, -1)时，f (x)0， 函数f(x)在(-, -1)内单调增加；当x(-1, 1)时，f (x)0， 函数f(x)在(1, +)内单调增加。,
